河南省许昌市襄城县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷+解析）

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1. 中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题．
【详解】解：由题意得：A、B、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有C选项；
故选C．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2. 纳米是表示微小距离的单位，1纳米毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的碳纳米管——直径纳米．纳米相当于毫米，数据用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，,n为第一位有效数字前面0的个数．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数；一般形式为，，n为整数，确定a与n的值是解题的关键．
3. 分式的值为0，则的值是（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
5. 如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，，
解得＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
6. 在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A. 分类思想B. 方程思想C. 数形结合思想D. 转化思想
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了数学思想方法．根据“分类讨论思想”回答即可．
【详解】解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”，
故选：A．
7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
8. 我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②

③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
9. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线和角平分线的性质，求得，再根据直角三角形的性质，即可求得的长．
【详解】解：∵在中，平分交于点M，
∴，
∵过点M作交于点N，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，……；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题关键是得到数字的一般规律．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
12. 五边形的内角和等于___________度．
【答案】540
【解析】
【分析】直接根据边形的内角和进行计算即可．
【详解】解：五边形的内角和．
故答案为：540．
【点睛】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和．
13. 若为任意整数，则的值总能被________整除．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后找到能被整除的数或式即可得答案．正确因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【详解】解：
．
∴的值总能被整除．
故答案为：．
14. 如图，中，是的角平分线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，作，根据、、即可推出，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：
15. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________．
【答案】13
【解析】
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得，
方程可化为，
解得，
关于的分式方程的解为正数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程解法是解题关键．
三、解答题（共75分）
16. 以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）一 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据分式混合运算顺序即可判断；
（2）根据分式混合运算顺序和运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：上面的运算过程中第一步开始出现了错误，因为除法没有分配律，
故答案为：一．
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
【答案】（1）40海里；
（2）上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACB＝30°，得到∠ACB＝∠NAC，则AB＝BC，求出AB即可；
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短可知线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，求出∠PCB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得PB，再计算得出从B到P的时间即可．
【小问1详解】
解：由题意得：AB＝20×（10－8）＝40（海里），
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC−∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NAC，
∴AB＝BC＝40（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里；
【小问2详解】
如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°，
∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°−∠BPC−∠CBP＝30°，
∴在Rt△CBP中，PB＝BC＝20（海里），
∵20÷20＝1，
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键．
18. 已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．

（1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
（2）在（1）的条件下，求证：．
【答案】（1）①②③或①③④（写出一种情况即可）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可；
（2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可．
【小问1详解】
解：根据题意，可以选择的条件为：①②③；
或者选择的条件为：①③④；
【小问2详解】
证明：当选择的条件为①②③时，
，
，
即，
在和中，
，
；
当选择的条件为①③④时，
，
，
即，
在和中，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段关于直线对称的线段；
（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；
（3）描出线段上的点及直线上的点，使得直线垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质找到关于直线的对称点，，连接，则线段即为所求；
（2）根据平移的性质得到线段即为所求；
（3）勾股定理求得，，则证明得出，则，则点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求

如图所示，

∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴
∴，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20. 随着中国网民规模突破亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使伽瑶，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作个伽瑶玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？

【答案】原计划平均每天制作个摆件．
【解析】
【分析】设原计划平均每天制作个，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划平均每天制作个，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天制作个摆件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21. “平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题．阅读下列问题并完成相应任务：
问题一：，
问题二：已知，
任务：
（1）若，则______；
（2）______；
（3）计算：；
（4）如图，已知边长为的正方形中，阴影部分面积为10，边长为的正方形周长为12，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查平方差公式与完全平方差公式，熟练掌握平方差公式与完全平方差公式的变形是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
（1）把看做一个整体，即可将原式变形为，据此可得答案；
（2）根据完全平方公式的变形，即可得到答案；
（3）把看做一个整体，先利用平方差公式进行求解，再利用完全平方公式进行求解即可；
（4）先根据题意得到，，再由进行代值计算即可.
【小问1详解】
解：∵，，
∴
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
故答案为：；
小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：∵边长为的正方形周长为12，
∴，
∴，
∵阴影部分面积为10，
∴，
∴.
22. 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
（1）请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1），，当时，
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【小问1详解】
解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
23. 阅读理解
材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．
如：.
根据上述材料完成下列问题：
（1）当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当时，求代数式值的范围．
【答案】（1）减小；减小
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可；
（2）由，即可求解；
（3）由，再结合的取值范围即可求解.
【小问1详解】
解：∵当时，随着的增大而减小，
∴随着的增大，的值减小；
∵当时，随着的增大减小，
∵
∴随着的增大，的值减小.
故答案为：减小；减小.
【小问2详解】
∵，
∵当时，的值无限接近，
∴的值无限接近.
【小问3详解】
∵，
又∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键.解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…

…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…