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浙教版七年级下册1.1平行线同步练习题
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这是一份浙教版七年级下册1.1平行线同步练习题，文件包含核心考点01平行线原卷版docx、核心考点01平行线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共83页， 欢迎下载使用。
考点一：同位角、内错角、同旁内角
考点二：平行线
考点三：平行公理及推论
考点四：平行线的判定
考点五：平行线的性质
考点六：平行线的判定与性质
考点七：生活中的平移现象
考点八：平移的性质
考点考向
一．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
二．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
三、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
四．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
五．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
六．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
七．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
八．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
考点精讲
一．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
1．（2022春•龙游县月考）如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（ ）
A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．（2022•东阳市校级开学）图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义．
3．（2022春•新昌县期末）据说中国最早的风筝是由古代哲学家墨翟制作的．如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与∠1构成同位角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【分析】根据同位角的定义解答．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同位角的定义，解题的关键是明确同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．（2022春•拱墅区期末）如图，说法正确的是（ ）
A．∠1和∠2是内错角B．∠1和∠3是内错角
C．∠1和∠3是同位角D．∠2和∠3是同旁内角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
【解答】解：A．∠1和∠2是同位角，故A选项不符合题意；
B．∠1和∠3是内错角，故B选项符合题意；
C..∠1和∠3是内错角，故C选项不符合题意；
D．∠2和∠3无明确位置关系，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握相关的定义是解答本题的关键．
二．平行线（共2小题）
5．（2022春•金东区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
6．（2021春•余杭区校级月考）在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．平行、垂直或相交
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．
【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．
三．平行公理及推论（共2小题）
7．（2021春•吴兴区期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．
8．（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【分析】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．
【解答】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
【点评】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
四．平行线的判定（共8小题）
9．（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（ ）
A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠BD．∠B+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠3，
∴AB∥EF，
故A不符合题意；
∵∠1＝∠4，
∴AB∥EF，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠B，
∴DF∥BC，
故C符合题意；
∵∠B+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
10．（2022春•新昌县期末）如图，下列条件中能判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠3＝∠5D．∠1+∠4＝180°
【分析】利用平行线的判定条件对各项进行分析即可．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，不能判定a∥b，故A不符合题意；
B、当∠1＝∠5时，不能判定a∥b，故B不符合题意；
C、当∠3＝∠5时，不能判定a∥b，故C不符合题意；
D、当∠1+∠4＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得a∥b，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定定理的掌握．
11．（2022春•临海市期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4B．∠1＝∠3C．∠B＝∠BACD．∠D＝∠DCE
【分析】根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由∠2＝∠4可以判定AD∥BC，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠1＝∠3可以判定AB∥CD，依据是“内错角相等，两直线平行”，故本选项正确；
C、由∠B＝∠BAC不能判断AB∥CD，故本选项错误；
D、由∠D＝∠DCE可以判定AD∥BC，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的判定定理，解答此类题目的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角及同旁内角．
12．（2022春•余杭区校级期中）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A+∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2+∠5＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠A+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠4＝∠A，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，
∴∠DFE＝∠2，
∴BC∥AD，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13．（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 30 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
【点评】本本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
14．（2022春•兰溪市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请说明DF∥BC的理由．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴GH∥AB，
∴∠2＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
15．（2022•仙居县校级开学）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？
【分析】先根据对顶角相等得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠3可得出∠1＝∠2，由此得出结论．
【解答】解：a∥b．
理由：∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
16．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
五．平行线的性质（共6小题）
17．（2022春•鄞州区校级期中）如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠AEB的度数为 35° ．
【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的性质得∠AEB＝35°．
【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等．
18．（2022春•鹿城区校级期中）如图，已知AD∥BC，点E在AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠C＝∠A．
（1）请说明∠E＝∠CDE的理由；
（2）若∠1＝75°，∠E＝30°，求∠A的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠A＝∠CBE，从而可得∠C＝∠CBE，即有CD∥AB，即可求证；
（2）由对顶角可得∠BFE＝∠1＝75°，再由三角形的内角和定理求得∠CBE＝75°，即可求∠A．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠C＝∠A，
∴∠C＝∠CBE，
∴CD∥AB，
∴∠E＝∠CDE；
（2）∵∠1＝75°，
∴∠BFE＝∠1＝75°，
∵∠E＝30°，
∴∠CBE＝180°﹣∠BFE﹣∠E＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE＝75°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是对熟记平行线的性质并灵活运用．
19．（2022春•西湖区校级期中）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠MEB＝∠NFD，∠NEA′＝∠MFC′，根据角的和差即可得到结论；
（2）由折叠知，∠C′FN＝＝63°，根据平行线的性质得到∠A′EN＝∠C′FN＝63°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥C′F，
∴∠MEA′＝∠MFC′，
∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，
即∠1＝∠2；
（2）由折叠知，∠C′FN＝＝63°，
∵A′E∥C′F，
∴∠A′EN＝∠C′FN＝63°，
∵∠1＝∠2＝54°，
∴∠BEF＝63°+54°＝117°．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2022春•嵊州市期末）已知射线AM∥CN（M，N在射线CA的右侧），点B在射线AM上，点D在射线CN上，点E在射线CA上（不与点A重合），且满足∠BAC+∠BED＝180°．
（1）如图1，点E在线段AC上．
①若∠BED＝60°，∠ABE＝20°，求∠CDE的度数．
②探究∠CDE与∠AEB的数量关系，并说明理由．
（2）设∠BED＝α，60°＜α＜90°，∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，请用α的代数式表示∠EPD的度数．
【分析】（1）①过点E作EF∥AM，由平行线的性质得∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，进而得∠ABE+∠CDE＝∠BED，便可求得结果；
②根据∠BAC+∠BED＝180°，∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，得∠BED＝∠ABE+∠AEB，由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，便可得∠AEB＝∠CDE；
（2）分两种情况：当点E有线段AC上时；当点E有CA的延长线上时；分别用α的代数式表示∠EPD的度数．
【解答】解：（1）①过点E作EF∥AM，如图，
∵AM∥CN，
∴AM∥EF∥CN，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∵∠BED＝60°，∠ABE＝20°，
∴20°+∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝40°；
②∠AEB＝∠CDE，理由如下：
∵∠BAC+∠BED＝180°，
又∵∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠BED＝∠ABE+∠AEB，
由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠AEB＝∠CDE；
（2）当点E有线段AC上时，如图，
∵∠AEB＝∠CDE，∠CDE+∠EDN＝180°，
∴∠AEB+∠EDN＝180°，
∵∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，
∴∠PEB+∠PDE＝90°，
∵∠BED＝α，
∴∠EPD＝180°﹣（∠PED+∠PDE）＝90°﹣α；
当点E有CA的延长线上时，过E作EF∥AM，如图，
∵AM∥CN，
∴AM∥EF∥CN，
∴∠CDE＝∠DEF，∠ABE＝∠BEF，
∴∠CDE﹣∠ABE＝∠DEF﹣∠BEF＝∠BDE＝α，
∴∠CDE＝∠ABE+α，
∴∠EDN＝180°﹣∠CDE＝180°﹣∠ABE﹣α，
∴∠EDP＝∠EDN＝90°﹣α﹣∠ABE，
∵∠BAC+∠BED＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣α，
∴∠AEB＝∠BAC﹣∠ABE＝180°﹣α﹣∠ABE，
∴∠BEP＝∠AEB＝90°﹣α﹣∠ABE，
∴∠DEP＝∠DEB﹣∠BEP＝，
∴∠EPD＝180°﹣∠DEP﹣∠EDP＝180°﹣α；
综上，∠EPD＝90°﹣α或180°﹣α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是作辅助线构造平行线．
21．（2022春•普陀区期末）如图1，直线AB∥CD，另一直线EF⊥AB分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到MA′，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到NC′，旋转的时间为t（0＜t＜60）秒．
（1）如图2，当t＝12秒时，射线MA′与NC′相交于点P，求∠MPN的度数．
（2）如图3，当射线MA′与NC′平行时，求t的值．
（3）当射线MA′与NC′互相垂直时，求t的值．
【分析】（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，利用平行线的性质得∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，再利用角的和差关系可得答案；
（2）根据平行线的性质得∠A'MN＝∠MNC'，则90﹣2t＝3t﹣90，解方程即可；
（3）分两种情形：2t+3t＝90或2t﹣90+3t﹣90＝90，分别解答即可．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，
∴∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，
∴∠MPN＝∠PMA+∠PNC＝2×12+3×12＝60°；
（2）∵MA'∥NC'，
∴∠A'MN＝∠MNC'，
∴90﹣2t＝3t﹣90，
∴t＝36；
（3）①∵2t+3t＝90，
∴t＝18，
②∵2t﹣90+3t﹣90＝90，
∴t＝54，
综上所述，t的值为18或54．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
六．平行线的判定与性质（共2小题）
23．（2021春•余杭区校级月考）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠1+∠ECD＝180°，等量代换得出∠2＝∠ECD，即可证明GD∥AC；
（2）由GD∥AC及角平分线的定义得到∠A＝∠BDG＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的定义可求得∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠ECD，
∴GD∥AC；
（2）解：由（1）得：GD∥AC，
∵∠A＝40°，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，
∵DG平分∠BDC，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”及“内错角相等，两直线平行”是解决本题的关键．
七．生活中的平移现象（共4小题）
25．（2022春•西湖区校级期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B．投篮时的篮球运动
C．小华乘手扶电梯从一楼到二楼
D．随风飘动的树叶在空中的运动
【分析】平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动．平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变；旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．
【解答】解：小华乘手扶电梯从一楼到二楼属于平移，其余选项属于旋转．
故选：C．
【点评】此题考查了平移与旋转的意义及在实际当中的运用，掌握其意义是解决此题的关键．
26．（2022春•兰溪市校级月考）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 3200 元．
【分析】利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：
2.7+5.3＝8（m），
8×2.5×160＝3200（元），
∴购买地毯至少需要3200元，
故答案为：3200．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
27．（2022春•孝南区期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a米，宽AD＝b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 （ab﹣a﹣2b+2） 米2．
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．
【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a﹣2）米，宽为（b﹣1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽＝（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2（米2）．
故答案为（ab﹣a﹣2b+2）．
【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．
28．（2021春•婺城区校级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：π取3）
（1）甬路的面积为 ab 平方米；种花的面积为 3a2 平方米．
（2）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
【分析】（1）利用矩形面积公式和圆的面积公式计算即可；
（2）用总面积减去甬路和花圃面积即可；
（3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可．
【解答】解：（1）甬路的面积：（3a﹣a﹣a）•b＝ab（平方米），
种花的面积：π•a2≈3a2（平方米），
故答案为：ab；3a2；
（2）种草的面积：3a•b﹣ab﹣πa2＝2ab﹣πa2，
当a＝2，b＝10时，
原式≈2×2×10﹣3×22＝40﹣12＝28（平方米），
答：长方形场地上种草的面积为28平方米；
（3）3×22×30+28×20+2×10×10
＝360+560+200
＝1120（元）
答：美化这块空地共需要资金1120元．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握四个花圃拼在一起组成圆形．
八．平移的性质（共5小题）
29．（2022春•萧山区期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】根据平移的性质得到AC＝DF，AD＝CF＝2，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF，AD＝CF＝2，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+FD+AD＝AB+BC+CF+DF+AD＝16+2+2＝20，
故选：C．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
30．（2022春•象山县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．
（1）请说明∠DAC＝∠F．
（2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝ 4cm ．
【分析】（1）先根据平移的性质得到AC∥DF，再利用平行线的性质得到∠ACB＝∠F，由AD∥BF得到∠ACB＝∠DAC，然后利用等量代换得到结论；
（2）根据平移的性质得到AD＝BE＝CF，设AD＝x，则CE＝x，BE＝CF＝x，则利用BC＝6得到x+x＝6，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵AD∥BF，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠F；
（2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF，
设AD＝x，则CE＝x，BE＝CF＝x，
∵BC＝6，
∴x+x＝6，
解得x＝4，
即AD的长为4cm．
故答案为：4cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．也考查了平行线的性质．
31．（2022春•富阳区期中）如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，点E、F在线段BC上，满足∠FOB＝∠FBO＝α，OE平分∠COF．
（1）OC与AB是否平行？请说明理由．
（2）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质，通过等量代换证明∠COA+∠OAB＝180°，即可证明OC∥AB；
（2）先求出∠CFO＝2α，推出∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）因为∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，推出∠EOB＝40°，可得∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，根据∠ABC＝80°，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB；
（2）∵∠CFO＝∠FOB+∠FBO，∠FOB＝∠FBO＝α，
∴∠CFO＝2α，
∴∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠COF＝40°﹣α；
（3）存在∠OEC＝∠OBA，理由如下：
∵∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，
∴∠EOB＝40°，
∵∠CEO＝∠ABO，
∴∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，
∵AB∥OC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠ABC＝80°，
∴40°+α+α＝80°，
∴α＝20°．
【点评】此题考查平移的性质，平行线的性质、角平分线的概念、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．（2022春•椒江区期末）已知射线AB⊥射线AC于点A，点D，F分别在射线AB，AC上，过点D，F作射线DE，FG，使∠BDE+∠AFG＝90°，如图1所示．
（1）试判断直线DE与直线FG的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，已知∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线相交于点P． ①当∠BDE＝60°时，则∠DPF＝ 135° ；
②当∠BDE＝α（α≠60°）时，∠DPF的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出∠DPF的度数．
（3）当∠BDE沿射线AB平移且∠BDE＝α时，请直接写出∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线所在直线相交形成的∠DPF的度数．
【分析】（1）过A作AK∥DE，可得∠BDE＝∠BAK，而∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，即有∠AFG＝∠KAC，故FG∥AK，从而DE∥FG；
（2）①过P作PT∥DE，由∠BDE＝60°，得∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，而FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，可得∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，故∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
②过P作PT∥DE，由∠BDE＝α，与①类似方法可得∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，即得∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）分两种情况：当P在∠AFG内部时，由（2）可知，此时∠DPF＝135°；当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，可得∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝45°．
【解答】解：（1）DE∥FG，理由如下：
过A作AK∥DE，如图：
∴∠BDE＝∠BAK，
∵∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，
∴∠AFG＝∠KAC，
∴FG∥AK，
∴DE∥FG；
（2）①过P作PT∥DE，如图：
∵∠BDE＝60°，
∴∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
故答案为：135°；
②∠DPF的大小保持不变，理由如下：
过P作PT∥DE，如图：
∵∠BDE＝α，
∴∠ADE＝180°﹣α，∠AFG＝90°﹣α，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝45°﹣α，∠PDE＝90°﹣α，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）当P在∠AFG内部时，如图：
由（2）可知，此时∠DPF＝135°；
当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，如图：
∴PQ∥DE∥FG，
设∠BDE＝β，
∴∠ADE＝180°﹣β，∠AFG＝90°﹣β，
∵DP平分∠ADE，PF平分∠AFG，
∴∠PDE＝90°﹣β＝∠DPQ，
∠MFG＝45°﹣β＝∠QPM．
∴∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝（90°﹣β）﹣（45°﹣β）＝45°，
综上所述，∠DPF的度数是135°或45°．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线及角的平移，解题的关键是作平行线，利用平行线性质解决问题．
33．（2022春•西湖区校级期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°+α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO＝[180°﹣（60°+α）]＝60°﹣，
∴∠MON＝60°﹣，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
巩固提升
一．选择题（共9小题）
1．（2022春•慈溪市期中）下列现象中，不属于平移的是（ ）
A．滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B．时针的走动
C．商场自动扶梯上顾客的升降运动
D．火车在笔直的铁轨上行驶
【分析】利用平移的两要素来判断即可．
【解答】解：A、滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行，是平移现象；
B、时针的走动，是围绕一个点旋转，不是平移现象；
C、商场自动扶梯上顾客的升降运动，是平移现象；
D、火车在笔直的铁轨上行驶，是平移现象．
故选：B．
【点评】本题考查平移的定义，解题关键就是了解平移的两要素：方向和距离．
2．（2021春•余姚市校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．
【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；
B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；
C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；
D、根据平行线的定义知是错误的．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．
3．（2022春•萧山区月考）如图，∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此解答即可得出结果．
【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知：
第一、二、三个图的∠1和∠2是同位角；
第四个图的∠1和∠2不是同位角．
故选：C．
【点评】本题主要考查同位角的概念，解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．
4．（2022春•丽水期末）如图，下列各角与∠B不是同旁内角的是（ ）
A．∠BAEB．∠BADC．∠CD．∠BAC
【分析】根据“两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的内部且在截线的同旁，这样的两个角叫做同旁内角”逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∠BAE与∠B是直线DE、直线BC，被直线AB所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；
B．∠BAD与∠B是直线DE、直线BC，被直线AB所截的内错角，因此选项B符合题意；
C．∠C与∠B是直线AB、直线AC，被直线BC所截的同旁内角，因此选项C不符合题意；
D．∠BAC与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
5．（2022春•仙居县期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能得到a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠3，不能判定a∥b，
故A符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴a∥b，
故B不符合题意；
∵∠3+∠4＝180°，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝∠3，
∴∠3+∠4＝180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．（2022春•萧山区期中）下列语句中正确的有（ ）个
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等；
③垂直于同一直线的两直线平行；
④△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行且相等．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据平行公理对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据平移的性质对④进行判断．
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以①错误；
如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，所以②错误；
在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，所以③错误；
△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行（或共线）且相等，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行公理及平行线的判定与性质．
7．（2022春•余杭区期中）仔细观察下列图形，其中∠1与∠2是内错角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据内错角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是内错角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是同位角，故此选项不合题意；
C、∠1与∠2是内错角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2是同旁内角角，此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z“形．
8．（2022春•温州期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【分析】分两种情况讨论：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD＝∠AEN；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，证明EN∥HK，则∠KHD＝180°﹣∠AEN．
【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，
∵PK∥MN，
∴∠K＝∠Q＝90°，
∴∠ENM＝∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC＝37°，
∴∠AEF＝37°，
∴∠AEN＝74°，
∴∠AHQ＝74°，
∵∠KHD＝∠AHQ，
∴∠KHD＝74°；
当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，
由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥KP，
∴∠T＝∠HKP＝90°，
∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，
∵∠EFC＝37°，
∴∠AEF＝37°，
∴∠AEN＝74°，
∴∠AHK＝74°，
∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；
综上所述：∠KHD＝74°或106°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
9．（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共4小题）
10．（2022春•萧山区期中）如图，下列条件中能推出a∥b的有 ①②③ ．
①∠3＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2+∠5＝180°，④∠1+∠4＝180°．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
故①符合题意；
∵∠1＝∠7，∠7＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故②符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠2+∠1＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故③符合题意；
由∠1+∠4＝180°，不能推出a∥b，
故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11．（2022春•鹿城区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF，且点E在BC边上，连结AD，若BC＝8，EC＝5，则AD＝ 3 ．
【分析】根据平移的性质得到EF＝BC＝8，AD＝CF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF，
∴EF＝BC＝8，AD＝CF，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
∴AD＝CF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12．（2022春•西湖区校级期中）如图，直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是 60° ．
【分析】根据平行线的性质可以∠2＝∠3，根据邻补角的定义求出∠2即可．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝180°﹣∠1，∠1＝120°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查平行线的性质，利用两直线平行同位角相等是解题的关键，记住平行线的性质，注意灵活应用，属于中考常考题型．
13．（2022春•诸暨市期中）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）则∠EOB的度数为 30° ；
（2）在平行移动AB的过程中，当∠OEC＝∠OBA时，∠OEC＝ 45 度．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB＝∠AOC，代入数据即可得解；
（2）根据（1）中所求以及平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠AOC＝×60°＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
则四边形AOCB为平行四边形，
则∠OEC＝∠EOB+∠AOB，∠OBA＝∠BOC＝∠COE+∠EOB，
又∵∠OEC＝∠OBA，
则∠AOB＝∠COE，
则∠COE＝∠EOF＝∠FOB＝∠AOB＝60°÷4＝15°，
则∠EOB＝2×15°＝30°，
此时∠OBA＝∠OEC＝30°+15°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及平行四边形的性质，比较综合，难度适中．
三．解答题（共6小题）
14．（2022春•长兴县月考）如图，△ABC沿直线l向右平移4cm，得到△FDE，且BC＝6cm，∠ABC＝45°．
（1）求BE的长．
（2）求∠FDB的度数．
【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
（2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
【解答】解：（1）由平移知，BD＝CE＝4．
∵BC＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+4＝10（cm）．
（2）由平移知，∠FDE＝∠ABC＝45°，
∴∠FDB＝180°﹣∠FDE＝135°．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单．
15．（2022春•苍南县校级月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2＝∠BCD，再根据∠1＝∠2即可得出∠1＝∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；
（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DG即可得出∠3＝∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B＝54°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠2＝36°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+36°＝71°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1＝∠BCD；（2）找出∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．
16．（2022春•长兴县月考）（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解；
（3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，
同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）﹣∠HGE＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
17．（2022春•临海市月考）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF＝∠FME，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEF＝∠FEM，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α＝．当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠MEF，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝56°，
∴∠AEG＝124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，
即α＝28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝β，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
18．（2022春•嵊州市期中）如图1，已知直线l1∥l2，l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．点P在线段AB上．
（1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝ 55° ．
（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．
（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，根据平行线的性质即可求解；
（4）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝∠3．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝∠1+∠2＝55°，
故答案为：55°；
（2）∠1+∠2＝∠3，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3；
（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC＝∠DBA+∠ACE＝40°+45°＝85°；
（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，
∴∠1＝∠FPC．
∵l1∥l4，
∴PF∥l2，
∴∠2＝∠FPD
∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC
∴∠CPD＝∠2﹣∠1．
当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，
∴∠2＝∠GPD
∵l1∥l2，
∴PG∥l1，
∴∠1＝∠CPG
∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD
∴∠CPD＝∠1﹣∠2．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
19．（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．
（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ 26 °，∠PFQ＝ 135 °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）如图1，
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQC＝45°+α，
∵∠EQN＝64°，
∴∠EGQ＝26°，
∴∠BPE＝26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案为：26；135；
（2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQC＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）根据题意，需要分三种情况：
如图3（1），当M′N∥PH′时，
110﹣5t＝30+10t，
∴t＝，
如图3（2），当NM′∥F′H′时，
90﹣（180﹣10t﹣30）＝110﹣5t，
∴t＝，
如图3（3），当NM′∥PF′时，
110﹣5t＝10t﹣15，
∴t＝，
综上所述：t＝或或．
【点评】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
考点一：同位角、内错角、同旁内角
考点二：平行线
考点三：平行公理及推论
考点四：平行线的判定
考点五：平行线的性质
考点六：平行线的判定与性质
考点七：生活中的平移现象
考点八：平移的性质
考点考向
一．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
二．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
三、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
四．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
五．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
六．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
七．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
八．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
考点精讲
一．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
1．（2022春•龙游县月考）如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（ ）
A．对顶角B．同位角C．内错角D．同旁内角
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
2．（2022•东阳市校级开学）图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同位角，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义．
3．（2022春•新昌县期末）据说中国最早的风筝是由古代哲学家墨翟制作的．如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与∠1构成同位角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【分析】根据同位角的定义解答．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：由图可得，与∠1构成同位角的是∠2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同位角的定义，解题的关键是明确同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
4．（2022春•拱墅区期末）如图，说法正确的是（ ）
A．∠1和∠2是内错角B．∠1和∠3是内错角
C．∠1和∠3是同位角D．∠2和∠3是同旁内角
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．
【解答】解：A．∠1和∠2是同位角，故A选项不符合题意；
B．∠1和∠3是内错角，故B选项符合题意；
C..∠1和∠3是内错角，故C选项不符合题意；
D．∠2和∠3无明确位置关系，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟练掌握相关的定义是解答本题的关键．
二．平行线（共2小题）
5．（2022春•金东区期中）下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
B、C、D正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
6．（2021春•余杭区校级月考）在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．平行、垂直或相交
【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．
【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．
故选：C．
【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．
三．平行公理及推论（共2小题）
7．（2021春•吴兴区期中）下列说法错误的个数是（ ）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．
8．（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【分析】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．
【解答】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
【点评】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
四．平行线的判定（共8小题）
9．（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（ ）
A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠BD．∠B+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠3，
∴AB∥EF，
故A不符合题意；
∵∠1＝∠4，
∴AB∥EF，
故B不符合题意；
∵∠1＝∠B，
∴DF∥BC，
故C符合题意；
∵∠B+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
10．（2022春•新昌县期末）如图，下列条件中能判定直线a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠3＝∠5D．∠1+∠4＝180°
【分析】利用平行线的判定条件对各项进行分析即可．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，不能判定a∥b，故A不符合题意；
B、当∠1＝∠5时，不能判定a∥b，故B不符合题意；
C、当∠3＝∠5时，不能判定a∥b，故C不符合题意；
D、当∠1+∠4＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得a∥b，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定定理的掌握．
11．（2022春•临海市期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠2＝∠4B．∠1＝∠3C．∠B＝∠BACD．∠D＝∠DCE
【分析】根据平行线的判定定理对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由∠2＝∠4可以判定AD∥BC，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
B、由∠1＝∠3可以判定AB∥CD，依据是“内错角相等，两直线平行”，故本选项正确；
C、由∠B＝∠BAC不能判断AB∥CD，故本选项错误；
D、由∠D＝∠DCE可以判定AD∥BC，不能判断AB∥CD，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查的是平行线的判定定理，解答此类题目的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角及同旁内角．
12．（2022春•余杭区校级期中）如图，点E在CD的延长线上，BE与AD交于点F，下列条件能判断BC∥AD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠A+∠CDA＝180°
C．∠4＝∠AD．∠2+∠5＝180°
【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AB∥CD，
故A不符合题意；
∵∠A+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD，
故B不符合题意；
∵∠4＝∠A，
∴AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠DFE+∠5＝180°，
∴∠DFE＝∠2，
∴BC∥AD，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
13．（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 30 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
【点评】本本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
14．（2022春•兰溪市期中）已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．请说明DF∥BC的理由．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠3＝∠4，
∴GH∥AB，
∴∠2＝∠B，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠B，
∴DF∥BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
15．（2022•仙居县校级开学）如图，直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，直线a与直线b平行吗？为什么？
【分析】先根据对顶角相等得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠3可得出∠1＝∠2，由此得出结论．
【解答】解：a∥b．
理由：∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠2＝∠3．
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴a∥b．
【点评】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行．
16．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，
由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
五．平行线的性质（共6小题）
17．（2022春•鄞州区校级期中）如图，已知DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠AEB的度数为 35° ．
【分析】由平行线的性质得∠ABC＝∠1＝70°，再由角平分线的定义得∠CBE＝35°，再次利用平行线的性质得∠AEB＝35°．
【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝70°，
∴∠ABC＝∠1＝70°，∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°，
∴∠AEB＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行内错角相等．
18．（2022春•鹿城区校级期中）如图，已知AD∥BC，点E在AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠C＝∠A．
（1）请说明∠E＝∠CDE的理由；
（2）若∠1＝75°，∠E＝30°，求∠A的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠A＝∠CBE，从而可得∠C＝∠CBE，即有CD∥AB，即可求证；
（2）由对顶角可得∠BFE＝∠1＝75°，再由三角形的内角和定理求得∠CBE＝75°，即可求∠A．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE，
∵∠C＝∠A，
∴∠C＝∠CBE，
∴CD∥AB，
∴∠E＝∠CDE；
（2）∵∠1＝75°，
∴∠BFE＝∠1＝75°，
∵∠E＝30°，
∴∠CBE＝180°﹣∠BFE﹣∠E＝75°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠CBE＝75°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是对熟记平行线的性质并灵活运用．
19．（2022春•西湖区校级期中）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠MEB＝∠NFD，∠NEA′＝∠MFC′，根据角的和差即可得到结论；
（2）由折叠知，∠C′FN＝＝63°，根据平行线的性质得到∠A′EN＝∠C′FN＝63°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥C′F，
∴∠MEA′＝∠MFC′，
∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，
即∠1＝∠2；
（2）由折叠知，∠C′FN＝＝63°，
∵A′E∥C′F，
∴∠A′EN＝∠C′FN＝63°，
∵∠1＝∠2＝54°，
∴∠BEF＝63°+54°＝117°．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．（2022春•嵊州市期末）已知射线AM∥CN（M，N在射线CA的右侧），点B在射线AM上，点D在射线CN上，点E在射线CA上（不与点A重合），且满足∠BAC+∠BED＝180°．
（1）如图1，点E在线段AC上．
①若∠BED＝60°，∠ABE＝20°，求∠CDE的度数．
②探究∠CDE与∠AEB的数量关系，并说明理由．
（2）设∠BED＝α，60°＜α＜90°，∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，请用α的代数式表示∠EPD的度数．
【分析】（1）①过点E作EF∥AM，由平行线的性质得∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，进而得∠ABE+∠CDE＝∠BED，便可求得结果；
②根据∠BAC+∠BED＝180°，∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，得∠BED＝∠ABE+∠AEB，由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，便可得∠AEB＝∠CDE；
（2）分两种情况：当点E有线段AC上时；当点E有CA的延长线上时；分别用α的代数式表示∠EPD的度数．
【解答】解：（1）①过点E作EF∥AM，如图，
∵AM∥CN，
∴AM∥EF∥CN，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∴∠ABE+∠CDE＝∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∵∠BED＝60°，∠ABE＝20°，
∴20°+∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝40°；
②∠AEB＝∠CDE，理由如下：
∵∠BAC+∠BED＝180°，
又∵∠BAC+∠ABE+∠AEB＝180°，
∴∠BED＝∠ABE+∠AEB，
由①知，∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∴∠AEB＝∠CDE；
（2）当点E有线段AC上时，如图，
∵∠AEB＝∠CDE，∠CDE+∠EDN＝180°，
∴∠AEB+∠EDN＝180°，
∵∠AEB与∠EDN的平分线交于点P，
∴∠PEB+∠PDE＝90°，
∵∠BED＝α，
∴∠EPD＝180°﹣（∠PED+∠PDE）＝90°﹣α；
当点E有CA的延长线上时，过E作EF∥AM，如图，
∵AM∥CN，
∴AM∥EF∥CN，
∴∠CDE＝∠DEF，∠ABE＝∠BEF，
∴∠CDE﹣∠ABE＝∠DEF﹣∠BEF＝∠BDE＝α，
∴∠CDE＝∠ABE+α，
∴∠EDN＝180°﹣∠CDE＝180°﹣∠ABE﹣α，
∴∠EDP＝∠EDN＝90°﹣α﹣∠ABE，
∵∠BAC+∠BED＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣α，
∴∠AEB＝∠BAC﹣∠ABE＝180°﹣α﹣∠ABE，
∴∠BEP＝∠AEB＝90°﹣α﹣∠ABE，
∴∠DEP＝∠DEB﹣∠BEP＝，
∴∠EPD＝180°﹣∠DEP﹣∠EDP＝180°﹣α；
综上，∠EPD＝90°﹣α或180°﹣α．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是作辅助线构造平行线．
21．（2022春•普陀区期末）如图1，直线AB∥CD，另一直线EF⊥AB分别交AB、CD于M、N，将射线MA绕点M以每秒2°的速度逆时针旋转到MA′，同时射线NC绕点N以每秒3°的速度顺时针旋转到NC′，旋转的时间为t（0＜t＜60）秒．
（1）如图2，当t＝12秒时，射线MA′与NC′相交于点P，求∠MPN的度数．
（2）如图3，当射线MA′与NC′平行时，求t的值．
（3）当射线MA′与NC′互相垂直时，求t的值．
【分析】（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，利用平行线的性质得∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，再利用角的和差关系可得答案；
（2）根据平行线的性质得∠A'MN＝∠MNC'，则90﹣2t＝3t﹣90，解方程即可；
（3）分两种情形：2t+3t＝90或2t﹣90+3t﹣90＝90，分别解答即可．
【解答】解：（1）过点P作PQ∥CD，则PQ∥AB，
∴∠AMP＝∠MPQ，∠QPN＝∠PNC，
∴∠MPN＝∠PMA+∠PNC＝2×12+3×12＝60°；
（2）∵MA'∥NC'，
∴∠A'MN＝∠MNC'，
∴90﹣2t＝3t﹣90，
∴t＝36；
（3）①∵2t+3t＝90，
∴t＝18，
②∵2t﹣90+3t﹣90＝90，
∴t＝54，
综上所述，t的值为18或54．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【分析】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，BC∥DF，如图，
根据题意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去；
②DF在MN下方时，如图，
根据题意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
六．平行线的判定与性质（共2小题）
23．（2021春•余杭区校级月考）如图，AD∥BC，∠1＝∠C，∠B＝60°，DE平分∠ADC交BC于点E，
试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ B ＝60°．（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ ADC ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ ADC ＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（ 角平分线定义 ）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠B＝60°．（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1＝∠C，（已知）
∴∠C＝∠B＝60°．（等量代换）
∵AD∥BC，（已知）
∴∠C+∠ADC＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°．（等式的性质）
∵DE平分∠ADC，（已知）
∴∠ADE＝∠ADC＝×120°＝60°．（角平分线定义）
∴∠1＝∠ADE．（等量代换）
∴AB∥DE．（内错角相等，两直线平行．）
故答案为：B，两直线平行，同位角相等，ADC，两直线平行，同旁内角互补，ADC，角平分线定义，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
24．（2022春•西湖区校级期中）如图，已知EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得到∠1+∠ECD＝180°，等量代换得出∠2＝∠ECD，即可证明GD∥AC；
（2）由GD∥AC及角平分线的定义得到∠A＝∠BDG＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的定义可求得∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ECD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠ECD，
∴GD∥AC；
（2）解：由（1）得：GD∥AC，
∵∠A＝40°，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，
∵DG平分∠BDC，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．熟记“两直线平行，同旁内角互补”、“两直线平行，同位角相等”及“内错角相等，两直线平行”是解决本题的关键．
七．生活中的平移现象（共4小题）
25．（2022春•西湖区校级期中）下列运动属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B．投篮时的篮球运动
C．小华乘手扶电梯从一楼到二楼
D．随风飘动的树叶在空中的运动
【分析】平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动．平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变；旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．
【解答】解：小华乘手扶电梯从一楼到二楼属于平移，其余选项属于旋转．
故选：C．
【点评】此题考查了平移与旋转的意义及在实际当中的运用，掌握其意义是解决此题的关键．
26．（2022春•兰溪市校级月考）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 3200 元．
【分析】利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：
2.7+5.3＝8（m），
8×2.5×160＝3200（元），
∴购买地毯至少需要3200元，
故答案为：3200．
【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
27．（2022春•孝南区期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB＝a米，宽AD＝b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 （ab﹣a﹣2b+2） 米2．
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答．
【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a﹣2）米，宽为（b﹣1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽＝（a﹣2）（b﹣1）＝ab﹣a﹣2b+2（米2）．
故答案为（ab﹣a﹣2b+2）．
【点评】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键．
28．（2021春•婺城区校级期中）如图是某一长方形闲置空地，宽为3a米，长为b米，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的甬路，剩余部分种草．（提示：π取3）
（1）甬路的面积为 ab 平方米；种花的面积为 3a2 平方米．
（2）当a＝2，b＝10时，请计算该长方形场地上种草的面积．
（3）在（2）的条件下，种花的费用为每平方米30元，种草的费用为每平方米20元，甬路的费用为每平方米10元．那么美化这块空地共需要资金多少元？
【分析】（1）利用矩形面积公式和圆的面积公式计算即可；
（2）用总面积减去甬路和花圃面积即可；
（3）表示出甬路、花圃、草地的面积，再求出各自的花费即可．
【解答】解：（1）甬路的面积：（3a﹣a﹣a）•b＝ab（平方米），
种花的面积：π•a2≈3a2（平方米），
故答案为：ab；3a2；
（2）种草的面积：3a•b﹣ab﹣πa2＝2ab﹣πa2，
当a＝2，b＝10时，
原式≈2×2×10﹣3×22＝40﹣12＝28（平方米），
答：长方形场地上种草的面积为28平方米；
（3）3×22×30+28×20+2×10×10
＝360+560+200
＝1120（元）
答：美化这块空地共需要资金1120元．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，关键是掌握四个花圃拼在一起组成圆形．
八．平移的性质（共5小题）
29．（2022春•萧山区期中）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】根据平移的性质得到AC＝DF，AD＝CF＝2，根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质可知，AC＝DF，AD＝CF＝2，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+FD+AD＝AB+BC+CF+DF+AD＝16+2+2＝20，
故选：C．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．
30．（2022春•象山县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，AD∥BF．
（1）请说明∠DAC＝∠F．
（2）若BC＝6cm，当AD＝2EC时，则AD＝ 4cm ．
【分析】（1）先根据平移的性质得到AC∥DF，再利用平行线的性质得到∠ACB＝∠F，由AD∥BF得到∠ACB＝∠DAC，然后利用等量代换得到结论；
（2）根据平移的性质得到AD＝BE＝CF，设AD＝x，则CE＝x，BE＝CF＝x，则利用BC＝6得到x+x＝6，然后解方程即可．
【解答】解：（1）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵AD∥BF，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠F；
（2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF，
设AD＝x，则CE＝x，BE＝CF＝x，
∵BC＝6，
∴x+x＝6，
解得x＝4，
即AD的长为4cm．
故答案为：4cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．也考查了平行线的性质．
31．（2022春•富阳区期中）如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，点E、F在线段BC上，满足∠FOB＝∠FBO＝α，OE平分∠COF．
（1）OC与AB是否平行？请说明理由．
（2）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质，通过等量代换证明∠COA+∠OAB＝180°，即可证明OC∥AB；
（2）先求出∠CFO＝2α，推出∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，再利用角平分线的定义求解即可；
（3）因为∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，推出∠EOB＝40°，可得∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，根据∠ABC＝80°，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠COA+∠C＝180°，
∵∠C＝∠OAB，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB；
（2）∵∠CFO＝∠FOB+∠FBO，∠FOB＝∠FBO＝α，
∴∠CFO＝2α，
∴∠COF＝180°﹣2α﹣100°＝80°﹣2α，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠COF＝40°﹣α；
（3）存在∠OEC＝∠OBA，理由如下：
∵∠COE＝∠EOF＝40°﹣α，∠FOB＝∠FBO＝α，
∴∠EOB＝40°，
∵∠CEO＝∠ABO，
∴∠ABO＝∠CEO＝∠EOB+∠FBO＝40°+α，
∵AB∥OC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠ABC＝80°，
∴40°+α+α＝80°，
∴α＝20°．
【点评】此题考查平移的性质，平行线的性质、角平分线的概念、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
32．（2022春•椒江区期末）已知射线AB⊥射线AC于点A，点D，F分别在射线AB，AC上，过点D，F作射线DE，FG，使∠BDE+∠AFG＝90°，如图1所示．
（1）试判断直线DE与直线FG的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，已知∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线相交于点P． ①当∠BDE＝60°时，则∠DPF＝ 135° ；
②当∠BDE＝α（α≠60°）时，∠DPF的大小是否保持不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出∠DPF的度数．
（3）当∠BDE沿射线AB平移且∠BDE＝α时，请直接写出∠ADE的角平分线与∠AFG的角平分线所在直线相交形成的∠DPF的度数．
【分析】（1）过A作AK∥DE，可得∠BDE＝∠BAK，而∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，即有∠AFG＝∠KAC，故FG∥AK，从而DE∥FG；
（2）①过P作PT∥DE，由∠BDE＝60°，得∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，而FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，可得∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，故∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
②过P作PT∥DE，由∠BDE＝α，与①类似方法可得∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，即得∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）分两种情况：当P在∠AFG内部时，由（2）可知，此时∠DPF＝135°；当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，可得∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝45°．
【解答】解：（1）DE∥FG，理由如下：
过A作AK∥DE，如图：
∴∠BDE＝∠BAK，
∵∠BDE+∠AFG＝90°，∠BAK+∠KAC＝90°，
∴∠AFG＝∠KAC，
∴FG∥AK，
∴DE∥FG；
（2）①过P作PT∥DE，如图：
∵∠BDE＝60°，
∴∠ADE＝120°，∠AFG＝30°，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝15°，∠PDE＝60°，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝15°，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝120°，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
故答案为：135°；
②∠DPF的大小保持不变，理由如下：
过P作PT∥DE，如图：
∵∠BDE＝α，
∴∠ADE＝180°﹣α，∠AFG＝90°﹣α，
∵FP平分∠AFG，DP平分∠ADE，
∴∠GFP＝45°﹣α，∠PDE＝90°﹣α，
由（1）知，DE∥FG，
∴PT∥DE∥FG，
∴∠FPT＝∠GFP＝45°﹣α，∠DPT＝180°﹣∠PDE＝90°+α，
∴∠DPF＝∠FPT+∠DPT＝135°；
（3）当P在∠AFG内部时，如图：
由（2）可知，此时∠DPF＝135°；
当P在∠AFG外部时，过P作PQ∥DE，如图：
∴PQ∥DE∥FG，
设∠BDE＝β，
∴∠ADE＝180°﹣β，∠AFG＝90°﹣β，
∵DP平分∠ADE，PF平分∠AFG，
∴∠PDE＝90°﹣β＝∠DPQ，
∠MFG＝45°﹣β＝∠QPM．
∴∠DPF＝∠DPQ﹣∠QPM＝（90°﹣β）﹣（45°﹣β）＝45°，
综上所述，∠DPF的度数是135°或45°．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线及角的平移，解题的关键是作平行线，利用平行线性质解决问题．
33．（2022春•西湖区校级期末）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ＝ ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°+α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO＝[180°﹣（60°+α）]＝60°﹣，
∴∠MON＝60°﹣，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
巩固提升
一．选择题（共9小题）
1．（2022春•慈溪市期中）下列现象中，不属于平移的是（ ）
A．滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行
B．时针的走动
C．商场自动扶梯上顾客的升降运动
D．火车在笔直的铁轨上行驶
【分析】利用平移的两要素来判断即可．
【解答】解：A、滑雪运动员在平坦的雪地上沿直线滑行，是平移现象；
B、时针的走动，是围绕一个点旋转，不是平移现象；
C、商场自动扶梯上顾客的升降运动，是平移现象；
D、火车在笔直的铁轨上行驶，是平移现象．
故选：B．
【点评】本题考查平移的定义，解题关键就是了解平移的两要素：方向和距离．
2．（2021春•余姚市校级期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．若两条线段不相交，则它们互相平行
【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．
【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；
B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；
C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；
D、根据平行线的定义知是错误的．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．
3．（2022春•萧山区月考）如图，∠1与∠2是同位角的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此解答即可得出结果．
【解答】解：根据同位角的定义，观察上图可知：
第一、二、三个图的∠1和∠2是同位角；
第四个图的∠1和∠2不是同位角．
故选：C．
【点评】本题主要考查同位角的概念，解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．
4．（2022春•丽水期末）如图，下列各角与∠B不是同旁内角的是（ ）
A．∠BAEB．∠BADC．∠CD．∠BAC
【分析】根据“两条直线被第三条直线所截，位于两条直线的内部且在截线的同旁，这样的两个角叫做同旁内角”逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∠BAE与∠B是直线DE、直线BC，被直线AB所截的同旁内角，因此选项A不符合题意；
B．∠BAD与∠B是直线DE、直线BC，被直线AB所截的内错角，因此选项B符合题意；
C．∠C与∠B是直线AB、直线AC，被直线BC所截的同旁内角，因此选项C不符合题意；
D．∠BAC与∠B是直线AC、直线BC，被直线AB所截的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确判断的前提．
5．（2022春•仙居县期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能得到a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：由∠1＝∠3，不能判定a∥b，
故A符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴a∥b，
故B不符合题意；
∵∠3+∠4＝180°，
∴a∥b，
故C不符合题意；
∵∠1+∠4＝180°，∠1＝∠3，
∴∠3+∠4＝180°，
∴a∥b，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．（2022春•萧山区期中）下列语句中正确的有（ ）个
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等；
③垂直于同一直线的两直线平行；
④△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行且相等．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据平行公理对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；根据平行线的判定对③进行判断；根据平移的性质对④进行判断．
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以①错误；
如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，所以②错误；
在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，所以③错误；
△ABC平移到△A′B′C′，则对应点的连线段AA′、BB′、CC′平行（或共线）且相等，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行公理及平行线的判定与性质．
7．（2022春•余杭区期中）仔细观察下列图形，其中∠1与∠2是内错角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据内错角定义进行解答即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是内错角，故此选项不合题意；
B、∠1与∠2是同位角，故此选项不合题意；
C、∠1与∠2是内错角，故此选项符合题意；
D、∠1与∠2是同旁内角角，此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了内错角，关键是掌握内错角的边构成“Z“形．
8．（2022春•温州期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【分析】分两种情况讨论：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，证明EN∥KH，则∠KHD＝∠AEN；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，证明EN∥HK，则∠KHD＝180°﹣∠AEN．
【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，
由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，
∵PK∥MN，
∴∠K＝∠Q＝90°，
∴∠ENM＝∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC＝37°，
∴∠AEF＝37°，
∴∠AEN＝74°，
∴∠AHQ＝74°，
∵∠KHD＝∠AHQ，
∴∠KHD＝74°；
当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，
由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥KP，
∴∠T＝∠HKP＝90°，
∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，
∵∠EFC＝37°，
∴∠AEF＝37°，
∴∠AEN＝74°，
∴∠AHK＝74°，
∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；
综上所述：∠KHD＝74°或106°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，图形的折叠，熟练掌握图形折叠的性质，平行线的性质，能够画出图形是解题的关键．
9．（2022春•西湖区校级期中）如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共4小题）
10．（2022春•萧山区期中）如图，下列条件中能推出a∥b的有 ①②③ ．
①∠3＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2+∠5＝180°，④∠1+∠4＝180°．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠5，
∴a∥b，
故①符合题意；
∵∠1＝∠7，∠7＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故②符合题意；
∵∠2+∠5＝180°，∠2+∠1＝180°，
∴∠1＝∠5，
∴a∥b，
故③符合题意；
由∠1+∠4＝180°，不能推出a∥b，
故④不符合题意；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11．（2022春•鹿城区校级期中）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF，且点E在BC边上，连结AD，若BC＝8，EC＝5，则AD＝ 3 ．
【分析】根据平移的性质得到EF＝BC＝8，AD＝CF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF，
∴EF＝BC＝8，AD＝CF，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝3，
∴AD＝CF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12．（2022春•西湖区校级期中）如图，直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是 60° ．
【分析】根据平行线的性质可以∠2＝∠3，根据邻补角的定义求出∠2即可．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝180°﹣∠1，∠1＝120°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查平行线的性质，利用两直线平行同位角相等是解题的关键，记住平行线的性质，注意灵活应用，属于中考常考题型．
13．（2022春•诸暨市期中）如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）则∠EOB的度数为 30° ；
（2）在平行移动AB的过程中，当∠OEC＝∠OBA时，∠OEC＝ 45 度．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB＝∠AOC，代入数据即可得解；
（2）根据（1）中所求以及平行线的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠AOC＝×60°＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
则四边形AOCB为平行四边形，
则∠OEC＝∠EOB+∠AOB，∠OBA＝∠BOC＝∠COE+∠EOB，
又∵∠OEC＝∠OBA，
则∠AOB＝∠COE，
则∠COE＝∠EOF＝∠FOB＝∠AOB＝60°÷4＝15°，
则∠EOB＝2×15°＝30°，
此时∠OBA＝∠OEC＝30°+15°＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及平行四边形的性质，比较综合，难度适中．
三．解答题（共6小题）
14．（2022春•长兴县月考）如图，△ABC沿直线l向右平移4cm，得到△FDE，且BC＝6cm，∠ABC＝45°．
（1）求BE的长．
（2）求∠FDB的度数．
【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
（2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
【解答】解：（1）由平移知，BD＝CE＝4．
∵BC＝6，
∴BE＝BC+CE＝6+4＝10（cm）．
（2）由平移知，∠FDE＝∠ABC＝45°，
∴∠FDB＝180°﹣∠FDE＝135°．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是能够了解平移的性质，属于基础题，比较简单．
15．（2022春•苍南县校级月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2＝∠BCD，再根据∠1＝∠2即可得出∠1＝∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；
（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DG即可得出∠3＝∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B＝54°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠2＝36°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+36°＝71°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1＝∠BCD；（2）找出∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．
16．（2022春•长兴县月考）（1）【问题】
如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】
如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解；
（3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∵PQ∥AB，AB∥CD，
∴CD∥PQ．
∴∠CFP+∠FPQ＝180°
∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°，
又∵PQ∥AB，
∴∠BEP＝∠EPQ＝25°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P，
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠CFP，
同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）﹣∠HGE＝α+∠AEP﹣∠HGE＝α．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
17．（2022春•临海市月考）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF＝∠FME，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEF＝∠FEM，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α＝．当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠MEF，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠EMF，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝56°，
∴∠AEG＝124°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝62°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣62°＝28°，
即α＝28°；
②分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝β．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝β，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
18．（2022春•嵊州市期中）如图1，已知直线l1∥l2，l3和l1、l2分别相交于A、B两点，l4和l1、l2分别交于C、D两点，∠ACP＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3．点P在线段AB上．
（1）若∠1＝22°，∠2＝33°，则∠3＝ 55° ．
（2）试找出∠1、∠2、∠3之间的等量关系，并说明理由．
（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
如图2，点A在B处北偏东40°的方向上，在C处的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度数．
（4）如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其他条件不变，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B两点不重合），直接写出结论即可．
【分析】（1）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，根据平行线的性质即可求解；
（4）分当P点在A的外侧与当P点在B的外侧两种情况进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）∠1+∠2＝∠3．
∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠3＝∠1+∠2＝55°，
故答案为：55°；
（2）∠1+∠2＝∠3，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，
∴∠1+∠2＝∠3；
（3）过A点作AF∥BD，则AF∥BD∥CE，则∠BAC＝∠DBA+∠ACE＝40°+45°＝85°；
（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，
∴∠1＝∠FPC．
∵l1∥l4，
∴PF∥l2，
∴∠2＝∠FPD
∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC
∴∠CPD＝∠2﹣∠1．
当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，
∴∠2＝∠GPD
∵l1∥l2，
∴PG∥l1，
∴∠1＝∠CPG
∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD
∴∠CPD＝∠1﹣∠2．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
19．（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE．
（1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝ 26 °，∠PFQ＝ 135 °．
（2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．
【分析】（1）延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，设∠MPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，根据AB∥CD可表示出∠PGQ，进而根据三角形内角和推论表示出∠EQC，进而表示出∠EQH，然后结合△EQH和△PFH内角和得出关系式，进一步得出结果；
（2）类比（1）的方法过程，得出结果；
（3）分为△PF′H′的三边分别与NM′平行，分别画出图形求解即可．
【解答】解：（1）如图1，
延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵PE⊥QE，
∴∠QEH＝QEG＝90°，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α，
∴∠EQH＝∠EQC＝45°+α，
∵∠EQN＝64°，
∴∠EGQ＝26°，
∴∠BPE＝26°．
在△EQH和△PFH中，
∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：90°+45°+α＝α+∠PFH，
∴∠PFH＝135°，
故答案为：26；135；
（2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H，
设∠BPE＝2α，则∠FPE＝∠BPE＝α，
∵AB∥CD，
∴∠PGQ＝∠BPE＝2α，
∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ，
∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α，
∴∠HQE＝∠EQC＝90°+α﹣∠PEQ，
在△EQH和△PFH中，
∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ，
∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH，
即：∠PEQ+90°+α﹣∠PEQ＝α+∠PFQ
∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°；
（3）根据题意，需要分三种情况：
如图3（1），当M′N∥PH′时，
110﹣5t＝30+10t，
∴t＝，
如图3（2），当NM′∥F′H′时，
90﹣（180﹣10t﹣30）＝110﹣5t，
∴t＝，
如图3（3），当NM′∥PF′时，
110﹣5t＝10t﹣15，
∴t＝，
综上所述：t＝或或．
【点评】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程．
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