第15讲 平行线与相交线中的三种模型（核心考点讲与练）-七年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

第15讲 平行线与相交线中的三种模型（核心考点讲与练）

模型一：猪脚模型

一．选择题（共2小题）

1．（2019•青岛模拟）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°

2．（2018秋•淮阴区期末）如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（　　）

A．75° B．90° C．100° D．105°

二．填空题（共2小题）

3．（2019•大丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3＝　   　度．

4．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，∠2＝50°，则∠3＝　   　度，∠3+∠4+∠5＝　   　度．

三．解答题（共4小题）

5．（2021秋•如东县期末）如图1，T，Z为直线UV同侧的两点，W为直线UV上的一点，连接WT，WZ．若∠UWT＝∠VWZ，则称点W为T，Z两点关于直线UV的反射点．

（1）如图2，点O是A，B两点关于CD的反射点．若∠BOD＝35°，直接写出射线OA的方向；

（2）如图3，A，B为CD同侧的两点，点O为CD上的一点，AC∥BO，AO∥BD．若∠C＝∠D，求证：点O是A，B两点关于CD的反射点；

（3）如图4，点G是M，N两点关于EF的反射点，GP，GQ分别平分∠FGN，∠FGM．若∠PGQ＝50°，请补全图形并求∠EGQ的度数．

6．（2021秋•沙坪坝区期末）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．

（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；

（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；

（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若∠ACH＝∠ECH，请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．

7．（2021春•拱墅区期中）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．

（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．

（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．

8．（2019秋•陈仓区期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．

（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．

（3）如图3，写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系？（不需证明）

（4）如图4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

模型二：铅笔模型

一．选择题（共1小题）

1．（2020春•灵山县期末）如图，已知AB∥ED，则∠B+∠C+∠D的度数是（　　）

A．180° B．270° C．360° D．450°

二．解答题（共2小题）

2．（2017春•宝丰县期中）如图，已知：AB∥CD，求证：∠B+∠D+∠BED＝360°．（至少用三种方法）

3．（2019春•福山区期末）已知，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）如图1，∠1+∠2＝　   　；

（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　   　；

（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　   　；

（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　   　．

模型三：锯齿模型

一．选择题（共5小题）

1．（2021秋•宜宾期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）

A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°

2．（2019秋•南岗区校级月考）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图形中所有平行的是（　　）

A．AB∥CD∥EF B．CD∥EF 

C．AB∥EF D．AB∥CD∥EF，BC∥DE

3．（2021•旌阳区模拟）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　）

A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°

4．（2017春•如皋市校级期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　）

A．55° B．50° C．40° D．30°

5．（2021春•硚口区月考）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④

二．填空题（共1小题）

6．（2022春•泰兴市校级月考）如图，直线AB∥CD，∠B＝66°，∠D＝37°，则∠E的度数是 　   　．

三．解答题（共6小题）

7．（2021秋•朝阳区期末）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若∠ABE＝140°，∠DCE＝120°，求∠BEC的度数．

老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．

解：如图②，过点E作EF∥AB．

∴∠BEF+∠ABE＝180°（ 　   　）．

∵∠ABE＝140°，

∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°．

∵AB∥CD（ 　   　），

∴EF∥CD（ 　   　）．

∴∠CEF+（ 　   　）＝180°．

∴∠DCE＝120°，

∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°．

∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝（ 　   　）°．

【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝40°，∠GFP＝30°，求∠EPF的度数．

【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝α，∠GFP＝β，直接写出∠EPF与α、β之间的数量关系．

8．（2022春•义乌市校级月考）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠4＝∠A，试说明∠ACB＝∠DEB．

解：∵∠1+∠2＝180°（已知），

又∵∠1+∠5＝180°（平角的意义），

∴∠2＝∠5（同角的补角相等），

∴AB∥EF（ 　   　），

∴∠3＝　   　（两直线平行，内错角相等）．

∵∠4＝∠A（已知），

∴　   　＝∠A（等量代换），

∴　   　∥AC（ 　   　），

∴∠ACB＝∠DEB（ 　   　）．

9．（2022春•阳高县月考）问题情境

我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用．

已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF．

问题初探

（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数．

分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数．

由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　   　，∠EMC的度数为 　   　．

类比再探

（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由．

（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．

10．（2019春•全南县期末）（1）如图1已知：∠B＝25°，∠BED＝80°，∠D＝55°．探究AB与CD有怎样的位置关系．

（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明．

（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明．

11．（2018春•黄冈期中）如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．

（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；

（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．

12．探究：

（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？

（2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；

（3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明；

（4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？

（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？

（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？