2024中考数学凸四边形对角面积专题

这是一份2024中考数学凸四边形对角面积专题，共69页。试卷主要包含了下列有关比例中项的描述正确的有，如图1，抛物线经过点P两点，我们不妨约定，请阅读下列材料，完成相应的任务等内容，欢迎下载使用。

A．S1：S2＝1：4B．S1：S3＝1：2C．S1•S3＝S22D．S1+S2＝S3
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO，DO，△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别是S1，S2，S3，S4，下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系式中错误的是（ ）
A．S1+S3＝S2+S4B．
C．S3﹣S1＝S2﹣S4D．S2＝2S1
3．下列有关比例中项的描述正确的有（ ）
（1）若a，b，c满足＝，则b是a，c的比例中项；
（2）实数b是2，8的比例中项，则b＝4；
（3）如图1，点F是EG边上一点，且∠EDF＝∠G，则DE是EF，EG的比例中项；
（4）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，两对角线相交于点O，记△AOD，△ABO，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则S2是S1、S3的比例中项．
A．（2）（3）B．（1）（3）（4）
C．（1）（2）（3）（4）D．（1）（3）
二．填空题（共1小题）
4．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，AB＝6，BC＝9，CD＝11，则AD的长为 ；若连接OA，OB，OC，OD，记△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4之间的数量关系为 ．
三．解答题（共24小题）
5．如图1，抛物线经过点P（2，a），且与x轴交于点A（﹣4，0）、B（4，0）两点．
（1）求点P的坐标；
（2）将线段OP绕点O逆时针旋转45°后得到OQ，若直线OQ与抛物线C1，相交于点T，求点T的横坐标；
（3）将抛物线Cl平移至抛物线C2，使其顶点在原点O处，如图2所示，过点F（0，1）的直线与抛物线相交于C、D两点，分别过C、D向直线y＝﹣1作垂线，垂足为M、N，连接FM、FN．记△CMF的面积为S1，△MNF的面积为S2，△DNF的面积为S3，试求的值．
6．“黄金分割”是一种最能引起美感的分割比例，如图1，如果，那么称点C为线段AB的“黄金分割点”．“黄金分割”是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，这个比值称为“黄金分割比”，众所周知“黄金分割比”等于．根据条件完成下列问题：
（1）如图1，点C为线段AB的“黄金分割点”，若BC＝3，求AC和AB的长．
（2）如图2，尺规作图：已知线段AB，过点B作BC⊥AB，使，连结AC，以C为圆心，BC为半径作弧，交AC于E，以A为圆心，AE为半径作弧，交AB于D，证明：D为线段AB的“黄金分割点”．
（3）若直线将一个面积为S图形分成S1和S2两部分，若（S2＜S1），那么直线为图形的“黄金分割线”，如图3，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，点C是边DE上一点，过C作CB⊥DE交AE于B，连接AC，BD交于F，请问直线EF是不是四边形ABCD的“黄金分割线”，并证明你的结论．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点（﹣2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
（2）如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，△APQ和△OCQ的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2的值最大时求直线PO的解析式．
8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为 ；
（2）如图，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足四个条件：①；②；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC＝60°；若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
9．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或不是）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：
①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周长为12．
10．请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积分别为S1，S2，S3，S4则有S1•S3＝S2•S4，证明过程如下：…任务：
（1）请将材料中的证明过程补充完整；
（2）如图②，任意凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，求证：S1•S3＝S2•S4；
（3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，S△AOD＝4，S△BOC＝6，S△AOB＝3，则四边形ABCD的面积为 ．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1•S3，求的值．
12．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1S3，求OD的长．
13．已知梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD相交于O，S1，S2，S3，S4分别为△COD、△AOB、△AOD、△BOC的面积．证明：
（1）S3＝S4＝；
（2）S梯形ABCD＝（+）2．
14．如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）证明：∠ABO＝∠ACO；
（2）连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；
（3）①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若，求OD的长．
15．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S22＝S1•S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．
16．如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D连接OA，OC．
（1）求证：△AOD∽△BAD；
（2）记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S1，S2，S3，如果S22＝S1•S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．
（3）当△COD是直角三角形时，求∠BAC的度数．
17．（1）如图①，▱ABCD的两条对角线的交点为O．如果△AOB，△BOC，△COD，△DOA的面积分别为S1，S2，S3，S4，试探索S1，S2，S3，S4的关系；
（2）如果将（1）中的条件“▱ABCD”改为“四边形ABCD的对角线AC⊥BD”（如图②）．试探索：S1：S2与S4：S3之间的关系；
（3）如果将（2）中的对角线AC⊥BD的条件去掉（如图③），试探索S1，S2，S3，S4之间的关系．
18．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC与BD交于点O，设△BOC，△COD，△DOA及梯形ABCD的面积分别为S1、S2、S3、S．
（1）已知，请用或表示AD：BC；
（2）已知，请用，表示AD：BC；
（3）已知，请用表示AD：BC．
19．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即BD是AB与AD的比例中项），求AC、DC的长（结果保留根号）．
20．请阅读以下材料并完成相应的任务．17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比（如图①）即，其比值为．
已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图②）．
任务：
（1）如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝2，求正十边形边长AB的长度；
（2）在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sin18°与黄金比之间的关系，并说明理由．
21．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
22．如图，设D是△ABC的边AB上的一点，作DE∥BC 交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F．记△ADE，△DBF，△ABC的面积分别为S1，S2，S，则：
（1）S＝（+）2．
（2）S▱DECF＝2．
23．如图，已知D、E、F分别位于△ABC的三边上，且四边形CEDF为平行四边形，△ADF和△BDE的面积分别为S1和S2，△ABC为S，
（1）若S1＝4，S2＝25，则S＝ ；
（2）①求S1，S2，S的数量关系；
②若S1+S2＝29，求S▱CFDE的最大值．
24．【探索规律】
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则＝ ；
（2）某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积关系进行了研究．设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1、S2、S，EC的长为a，则S2＝ （用含a和h2的式子表示）；S1＝ （用含a、h1和h2的式子表示）；S＝ （用含a、h1的式子表示）；从而得出S＝2．
【解决问题】
（3）如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE∥BC，DF∥EG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为2、3、5，求△ABC的面积．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，OQ，PA，PB．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△AOQ周长的最小值；
（3）假设△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，且S＝S1+S2，求S的最大值．
26．如图，已知四边形DEFG为△ABC的内接平行四边形，设△ADE，△EFC，△DGB，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，S，求证：
（1）S▱DEFG＝2；
（2）S＝（+）2；
（3）S▱DEFG≤S1+S2+S3．
27．我们不妨约定：把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”．
（1）如下：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四边形”的是 ．（填序号）
（2）如图1，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E．若AE＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）①如图2，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且AB＝AD，记四边形ABCD，△BOC，△AOD的面积依次为S，S1，S2，若．求证：AD∥BC；
②在①的条件下，延长BA、CD交于点E，记BC＝m，DC＝n，求证：mDE＝nBE．
28．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．
（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．
①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．
②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示．
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD：BC＝1：2，AC、BD交于点O，记△AOD、△AOB、△BOC、△COD的面积分别为S1、S2、S3、S4，下列结论正确的是（ ）
A．S1：S2＝1：4B．S1：S3＝1：2C．S1•S3＝S22D．S1+S2＝S3
【分析】根据AD∥BC得到△AOD∽△COB，可得相似三角形相似比，再利用同高的三角形面积比等于底边比，可求面积比．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴OA：OC＝AD：BC＝OD：OB＝1：2，
∴S1：S2＝OD：OB＝1：2，
同理，S2：S3＝OA：OC＝1：2，
∴S1：S2：S3＝1：2：4，
∴S1•S3＝S22．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，以及同高三角形的面积的比等于底边比，并且考查了三角形的面积的计算方法．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC上一点，连接BO，DO，△COD，△AOD，△AOB，△BOC的面积分别是S1，S2，S3，S4，下列关于S1，S2，S3，S4的等量关系式中错误的是（ ）
A．S1+S3＝S2+S4B．
C．S3﹣S1＝S2﹣S4D．S2＝2S1
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴S2：S1＝OA：OC，S3：S4＝OA：OC，S1+S3＝S2+S4，S3﹣S1＝S2﹣S4，
即，
但不能得出S2＝2S1，
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质和三角形的面积公式解答是关键．
3．下列有关比例中项的描述正确的有（ ）
（1）若a，b，c满足＝，则b是a，c的比例中项；
（2）实数b是2，8的比例中项，则b＝4；
（3）如图1，点F是EG边上一点，且∠EDF＝∠G，则DE是EF，EG的比例中项；
（4）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，两对角线相交于点O，记△AOD，△ABO，△OBC的面积分别为S1，S2，S3，则S2是S1、S3的比例中项．
A．（2）（3）B．（1）（3）（4）
C．（1）（2）（3）（4）D．（1）（3）
【分析】（1）根据比例中项的定义即可求解；
（2）根据比例的基本性质，a：b＝b：c依此即可求解；
（3）根据AA可得△DEF∽△GED，根据相似三角形的性质和比例中项的定义即可求解；
（4）根据AD∥BC得到△AOD∽△COB，可得相似三角形相似比，再利用同高的三角形面积比等于底边比，可求面积比，再根据比例中项的定义即可求解．
【解答】解：（1）若a，b，c满足＝，则b2＝ac，b是a，c的比例中项，符合题意；
（2）依题意有b2＝2×8，
解得b＝±4，不符合题意；
（3）∵∠EDF＝∠G，∠E＝∠E，
∴△DEF∽△GED，
∴EF：DE＝DE：EG，
∴DE2＝EF•EG，
∴DE是EF，EG的比例中项，符合题意；
（4）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴OA：OC＝AD：BC＝OD：OB，
∴S1：S2＝OD：OB，
同理S2：S3＝OA：OC＝OD：OB，
∴S1：S2＝S2：S3，
∴S1•S3＝S22，则S2是S1、S3的比例中项，符合题意．
故选：B．
【点评】考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．
二．填空题（共1小题）
4．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，AB＝6，BC＝9，CD＝11，则AD的长为 8 ；若连接OA，OB，OC，OD，记△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4之间的数量关系为 S1+S3＝S2+S4 ．
【分析】证出AD+BC＝AB+DC，则可得出答案；设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，推出S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d）＝S2+S4．
【解答】解：∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，
∴AE＝AN，DE＝DF，BN＝BM，CF＝CM，
∴AE+DE+BM+CM＝AN+BN+DF+CF，
即AD+BC＝AB+DC，
∵AB＝6，BC＝9，CD＝11，
∴9+AD＝6+11，
∴AD＝8．
如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，
设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，
S1＝r（a+b），S2＝r （b+c），S3＝r（c+d），S4＝r（a+d），
∴S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d），
S2+S4＝r（a+d）+r （b+c）＝r（a+b+c+d），
∴S1+S3＝S2+S4．
故答案为：8，S1+S3＝S2+S4．
【点评】本题考查了切线长定理和内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
三．解答题（共24小题）
5．如图1，抛物线经过点P（2，a），且与x轴交于点A（﹣4，0）、B（4，0）两点．
（1）求点P的坐标；
（2）将线段OP绕点O逆时针旋转45°后得到OQ，若直线OQ与抛物线C1，相交于点T，求点T的横坐标；
（3）将抛物线Cl平移至抛物线C2，使其顶点在原点O处，如图2所示，过点F（0，1）的直线与抛物线相交于C、D两点，分别过C、D向直线y＝﹣1作垂线，垂足为M、N，连接FM、FN．记△CMF的面积为S1，△MNF的面积为S2，△DNF的面积为S3，试求的值．
【分析】（1）把A（﹣4，0）代入y＝，求出完整解析式，再把x＝2代入，求出a的值，即可得到点P的坐标；
（2）将线段OP绕点O逆时针旋转45°后得到OQ，过点P作PE⊥y轴于E，过点P作PG⊥OP交OQ延长线于G，过点G作GH⊥EP延长线于H．利用AAS证△EOP≌△HPG，得出点G的坐标，求出直线OG的解析式为y＝﹣x，求解方程，即可得到点T的横坐标；
（3）表示出直线CD解析式为y＝mx+1（m≠0），根据“直线与抛物线相交于C、D两点”，得到方程＝mx+1，根据一元二次方程根与系数的关系，得出x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4，数形结合推出MN＝|x1﹣x2|＝4，计算表示出＝16m2+16，S1S3＝4m2+4，代入计算出的值即可．
【解答】（1）解：根据题意，把A（﹣4.0）代入y＝，
得：．
解得：c＝﹣4，
∴抛物线C1解析式为y＝，经过点P（2，a），
∴a＝．
∴点P的坐标为（2，﹣3）；
（2）解：如图，将线段OP绕点O逆时针旋转45°．后得到OQ，过点P作PE⊥y轴于E，过点P作PG⊥OP交OQ延长线于G，过点G作GH⊥EP延长线于H．
∴∠OPG＝∠OEP＝∠PHG＝90°，∠POG＝∠PGO＝45°，
∴OP＝PG，∠EOP+∠OPE＝∠HPG+∠OPE＝90°，
∴∠EOP＝∠HPG，
∵点P的坐标为（2，﹣3），
∴EP＝2．OE＝3．
在△EOP和△HPG中，
∠OEP＝∠PHG，
∠EOP＝∠HPG，
OP＝PG，
∴△EOP≌△HPG（ AAS），
∴HG＝EP＝2，PH＝OE＝3，
∴点G的横坐标＝2+3＝5，点G的纵坐标＝﹣3+2＝﹣1，
∴点G的坐标为（5，﹣1），
设直线OG的解析式为y＝kx（k≠0），
把点G的坐标（5，﹣1）代入得：5k＝﹣1，
解得：k＝﹣．
∴直线OG的解析式为y＝﹣x，
∵直线OQ与抛物线C1相交于点T，
∴，
解得：x1＝，x2＝．
∴点T的横坐标为或．
（3）解：将抛物线C1平移至抛物线C2，使其顶点在原点O处，抛物线C1解析式为解析式为y＝，抛物线C2解析式为y＝x2，
∵过点F（0.1）的直线与抛物线相交于C、D两点，
∴设直线CD解析式为y＝mx+n（m≠0），
把点F（0.1）代入得：n＝1，
直线CD解析式为y＝mx+1（m≠0），
∴＝mx+1，整理得：x2﹣4mx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4，
（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（4m）2+16＝16m2+16，
∵分别过C、D向直线y＝﹣1作垂线，垂足为M、N，连接FM、FN，
∴△MNF以MN为底的高＝2，
MN＝|x1﹣x2|＝＝4，
∴＝（）2＝16m2+16，
S1S3＝×（mx1+2）×（mx2+2）×（﹣x1x2）
＝4m2+4．
∴＝＝4．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象与性质、图形与坐标、全等三角形的判定与性质、一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点、数形结合、推理计算是解题的关键．
6．“黄金分割”是一种最能引起美感的分割比例，如图1，如果，那么称点C为线段AB的“黄金分割点”．“黄金分割”是指将整体一分为二，较小部分与较大部分的比值等于较大部分与整体部分的比值，这个比值称为“黄金分割比”，众所周知“黄金分割比”等于．根据条件完成下列问题：
（1）如图1，点C为线段AB的“黄金分割点”，若BC＝3，求AC和AB的长．
（2）如图2，尺规作图：已知线段AB，过点B作BC⊥AB，使，连结AC，以C为圆心，BC为半径作弧，交AC于E，以A为圆心，AE为半径作弧，交AB于D，证明：D为线段AB的“黄金分割点”．
（3）若直线将一个面积为S图形分成S1和S2两部分，若（S2＜S1），那么直线为图形的“黄金分割线”，如图3，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，点C是边DE上一点，过C作CB⊥DE交AE于B，连接AC，BD交于F，请问直线EF是不是四边形ABCD的“黄金分割线”，并证明你的结论．
【分析】（1）根据黄金分割比和BC＝3，列方程即可得到结论；
（2）设BC长为x，则AB长为2x，利用勾股定理可得AC＝＝＝x，进而可得AD＝AE＝（﹣1）x，即可得＝，问题得解；
（3）根据相似三角形比例线段关系，证明BG＝GC，AH＝HD，则梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝S梯形ABCD，所以GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
【解答】（1）解：∵点C为线段AB的“黄金分割点”，
∴＝，
∵BC＝3，
∴AC＝，AB＝；
（2）证明：∵，
∴设BC长为x，则AB长为2x，
∵BC⊥AB，
∴AC＝＝＝x，
∵CE＝BC＝x，
∴AE＝AC﹣CE＝（﹣1）x，
∴AD＝AE＝（﹣1）x，
∴＝＝，
即点D是线段AB的黄金分割点；
（3）解：直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：
∵BC∥AD，
∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，
∴，，
∴，即 ①，
同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：
，即②，
由①、②得：，
∴AH＝HD，
∴BG＝GC．
∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，
∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝S梯形ABCD．
∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、含36°角的等腰三角形、黄金分割、直角梯形等知识点．试题难度不大，理解题中给出的黄金分割点、黄金分割线的概念是正确解题的基础．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点（﹣2，﹣3）．
（1）求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
（2）如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，△APQ和△OCQ的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2的值最大时求直线PO的解析式．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣3）代入抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a，解方程即可得到结论；
（2）根据抛物线为 y＝x2+2x﹣3 对称轴为x＝﹣1，得到点M（﹣1，m），求得C（0，﹣3），根据勾股定理得到AC2＝＝18，AM2＝（﹣3+1）2+（0﹣m）2＝4+m2，CM2＝（0+1）2+（﹣3﹣m）2＝m2+6m+10，当∠ACM＝90°时，当∠AMC＝90°时，当∠CAM＝90°时，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）由S1＝S△APO﹣S△AOQ，S2＝S△AOC﹣S△AOQ，可得S1﹣S2＝S△APO﹣S△AOC，过点P作PF⊥x轴交于点F，设P（m，m2+2m﹣3），则S1﹣S2＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，S1﹣S2的值最大为，此时P（﹣1，﹣4），再由待定系数法可求直线OP的解析式为y＝4x．
【解答】解：（1）把点（﹣2，﹣3）代入抛物线 y＝ax2+2ax﹣3a，
得﹣3＝4a﹣4a﹣3a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为 y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，解得 x1＝3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）抛物线为 y＝x2+2x﹣3 对称轴为x＝﹣1，
∴点M（﹣1，m），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵A（﹣3，0），
∴AC2＝＝18，AM2＝（﹣3+1）2+（0﹣m）2＝4+m2，CM2＝（0+1）2+（﹣3﹣m）2＝m2+6m+10，
当∠ACM＝90°时，AC2+CM2＝AM2，
∴18+m2+6m+10＝4+m2，
解得m＝﹣4，
∴M（﹣1，﹣4）；
当∠AMC＝90°时，AC2＝CM2+AM2，
∴18＝m2+6m+10+4+m2，
解得m＝，m＝﹣4，
∴M（﹣1，）或（﹣1，）；
当∠CAM＝90°时，AC2+AM2＝CM2，
∴18+4+m2＝m2+6m+10，
解得m＝2，
∴M（﹣1，2），
综上所述，M的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣1，1）或（﹣1，2）；
（3）∵抛物线为y＝x2+2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵S1＝S△APO﹣S△AOQ，S2＝S△AOC﹣S△AOQ，
∴S1﹣S2＝S△APO﹣S△AOC，
过点P作PF⊥x轴交于点F，设P（m，m2+2m﹣3），
∵P点在第三象限，
∴PF＝﹣m2﹣2m+3，
∵OA＝OC＝3，
∴S△ACO＝×AO×CO＝，
∴S1﹣S2＝×3×（﹣m2﹣2m+3）﹣＝﹣（m+1）2+，
∴当m＝﹣1时，S1﹣S2的值最大为，
此时P（﹣1，﹣4），
设直线PO的解析式为y＝kx，
∴k＝4，
∴直线OP的解析式为y＝4x．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
8．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有 正方形，菱形 ；
②若凸四边形ABCD是“十字形”，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为 ab ；
（2）如图，以“十字形”ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足四个条件：①；②；③“十字形”ABCD的周长为32；④∠ABC＝60°；若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cm/s的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B后停止运动，当点P沿上述路线运动到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
【分析】（1）①由“十字形”的定义即可求解；②由四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC即可求解；
（2）证明S3＝S4、S1＝S2，得到四边形ABCD是菱形，再证明△ABC 是等边三角形，得到AE＝OE＝2，进而求解．
【解答】解：（1）①∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
则正方形、菱形是“十字形”，
故答案为：正方形，菱形；
②如图1中，∵四边形ABCD是“十字形”．
∴AC⊥BD，
则四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BDC＝BD•（OA+OC）＝BD•AC＝ab，
故答案为 ；
（2）当，，S＝S1+S2+S3+S4时，
∴，，
∴，，
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴S1S2＝S3S4，
∴，
∴，
∴，
∴S3＝S4，
同法可证 S1＝S2，
∴S1＝S2＝S3＝S4，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝60°，
∴，∠ACB＝60°，
如图2中，过点F作 FH⊥BC 于H，过点E作 EJ⊥BC 于J．
∵点P的运动时间＝，
∵FH⊥BH，∠FBH＝30°，
∴，
∴，
∵EJ⊥BC，
∴EF+FH≤EJ，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝BC＝8，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC＝8，OA＝OC＝4，
∵AE＝OE＝2，
在 Rt△EJC 中，CE＝4+2＝6，
，
∴点P走完全程所需的时间为 ．
此时 ，
设直线EF的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则直线EF的解析式为：．
【点评】主要考查了一次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
9．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ；
②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或不是）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac）．记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：
①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周长为12．
【分析】（1）“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，哪个图形的对角线互相垂直，哪个图形就是十字形；要判断CB与CD是否相等，先要证明△BEC≌△DEC；
（2）根据圆周角定理及邻补角的概念可得AC⊥BD．过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD．再根据矩形的判定与性质及勾股定理可得结论；
（3）首先确定A，B，C，D的坐标，再得到DO、AC、BC、AO、CO、BO的长，然后根据三角形的面积公式得到a、b，再由菱形的判定与性质可得关于c的方程，从而确定答案．
【解答】解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”．
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”．
故答案为：菱形，正方形；
②如图：
假设四边形ABCD是十字形，则AC⊥BD．
∵AD＝AB，
∴DE＝BE，
∵∠BEC＝∠DEC＝90°，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC（SAS），
∴CB＝CD，这与CB≠CD矛盾，
∴假设不成立，
∴该四边形不是“十字形”．
故答案为：不是；
（2）∵∠ABD﹣∠CBD＝∠ADB﹣∠CDB，
∴∠ABD+∠CDB＝∠ADB+∠CBD，
∵∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠ABD+∠CAB＝∠ADB+∠CAD，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠AEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵∠AED+∠AEB＝180°，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
∴AC⊥BD．
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD．
∴OA＝OD＝1，ON2＝OD2﹣DN2，OM2＝OA2﹣AM2，AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，
∴OE2＝OM2+ME2，ON＝ME，
∴OE2＝ON2+OM2＝2﹣（AC2+BD2）．
∵7≥AC2+BD2≥6，
∴2﹣≥OE2≥2﹣
∴，
∴≤OE≤（OE＞0）．
（3）由题意得：A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac）．
∵c＜0，a＞0，
∴DO＝﹣ac，AC＝，BC＝﹣ac﹣c，AO＝，CO＝，BO＝﹣c，
∴S＝AC•BD＝﹣（ac+c）•，
S1＝AO•OB＝﹣•＝﹣，
S2＝CO•OD＝﹣•＝﹣，
S3＝AO•OD＝﹣•＝﹣，
S4＝BO•OC＝﹣•＝﹣．
∵＝+，＝+，
∴，
∴＝2，即a＝1，
∴S＝﹣c，S1＝﹣，S4＝﹣．
∵+＝，
∴S＝S1+S2+2，
∴﹣c＝﹣+2，
∴﹣＝﹣c•，
∴＝，即b＝0，
∴C（，0），D（0，﹣c），A（﹣，0），B（0，c），
∴四边形ABCD为菱形，
∴4AD＝12，
∴AD＝3，即AD2＝90．
∵c2﹣c＝AD2，
∴90＝c2﹣c，
即（c﹣10）（c+9）＝0，
∴c1＝10（舍去），c2＝﹣9，
∴y＝x2﹣9．
【点评】此题考查的是二次函数综合题目，涉及了正方形、菱形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
10．请阅读下列材料，完成相应的任务：
凸四边形的性质研究
如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积分别为S1，S2，S3，S4则有S1•S3＝S2•S4，证明过程如下：…任务：
（1）请将材料中的证明过程补充完整；
（2）如图②，任意凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别记△AOB，△BOC，△COD，△AOD的面积为S1，S2，S3，S4，求证：S1•S3＝S2•S4；
（3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，S△AOD＝4，S△BOC＝6，S△AOB＝3，则四边形ABCD的面积为 21 ．
【分析】（1）根据三角形的高相同，面积比等于底的比求解即可；
（2）分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，再根据三角形的高相同，面积比等于底的比计算即可；
（3）根据“任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等”求解即可．
【解答】（1）解：∵＝，＝＝，
∴，
∴S1•S3＝S2•S4；
（2）证明：如图，分别过点A，C作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
∵，＝＝
∴，
∴S1•S3＝S2•S4；
（3）解：∵S△AOD＝4，S△BOC＝6，S△AOB＝3，根据任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，
∴S△COD＝4×6÷3＝8，
∴四边形ABCD的面积＝S△AOD+S△BOC+S△AOB+S△COD＝4+6+3+8＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了面积及等积变换，掌握三角形的高相同，面积比等于底的比、任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等是解题的关键．
11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1•S3，求的值．
【分析】（1）由OA＝OA，OB＝OC，AB＝AC可证出△ABO≌△ACO（SSS），根据全等三角形的性质可得出∠ABO＝∠ACO，由OA＝OC可得出∠ACO＝∠CAO，进而可得出∠ABD＝∠OAD，结合∠ADO＝∠ADB可证出△OAD∽△ABD；
（2）过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由（1）可得知∠BAO＝∠CAO，利用角平分线的性质可得出OE＝OF，利用三角形的面积公式可得出＝，＝，结合S22＝S1•S3可得出＝，设AD＝1，CD＝x，则AB＝AC＝x+1，进而可得出x（x+1）＝1，解之取其正值，再将其代入＝＝＝中即可求出结论．
【解答】（1）证明：在△ABO和△ACO中，，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO．
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠ABD＝∠OAD．
又∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD．
（2）解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F．
由（1）知∠BAO＝∠CAO，
∴OE＝OF，
∴＝＝，＝．
又∵S22＝S1•S3，
∴＝．
设AD＝1，CD＝x，则AB＝AC＝x+1，
∴x（x+1）＝1，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∴＝＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质及等腰三角形的性质，找出∠ABD＝∠OAD；（2）通过解一元二次方程，找出CD与AD的关系．
12．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1S3，求OD的长．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）依据S22＝S1S3，可设＝＝k，即可得到S2＝kS3，S1＝kS2＝k2S3，再根据S1＝S2+S3，即可得出方程k2﹣k﹣1＝0，求得k1＝，再根据k＝＝，即可得到OD的长．
【解答】（1）证明：在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD；
（2）解：∵S22＝S1S3，
∴可设＝＝k，
∴S2＝kS3，S1＝kS2＝k2S3，
又∵△AOB≌△AOC，
∴S1＝S2+S3，即k2S3＝kS3+S3，
∴k2﹣k﹣1＝0，
解得k1＝，k2＝（不合题意，舍去），
又∵k＝＝，OB＝1，
∴＝，
解得．
【点评】本题考查圆的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
13．已知梯形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD相交于O，S1，S2，S3，S4分别为△COD、△AOB、△AOD、△BOC的面积．证明：
（1）S3＝S4＝；
（2）S梯形ABCD＝（+）2．
【分析】（1）由AB∥CD，可得△COD∽△AOB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得＝①，又由△AOD与△AOB等高，可得S△AOD：S△AOB＝S3：S2＝OD：OB②，联立①②，即可得S3＝S2•＝，又由△ABC与△ABD同底等高，可得S△ABC＝S△ABD，继而证得S4＝S3；
（2）由S梯形ABCD＝S1+S2+S3+S4，S3＝S4＝，即可证得S梯形ABCD＝（+）2．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴△COD∽△AOB，
∴＝（）2，
∴＝①，
∵△AOD与△AOB等高，
∴S△AOD：S△AOB＝S3：S2＝OD：OB②，
由①②得：S3：S2＝，
∴S3＝S2•＝，
∵△ABC与△ABD同底等高，
∴S△ABC＝S△ABD，
∵S△AOD＝S△ABD﹣S△AOB，S△BOC＝S△ABC﹣S△AOB，
∴S△AOD＝S△BOC，
即S4＝S3，
∴S3＝S4＝；
（2）∵S梯形ABCD＝S△COD+S△AOB+S△AOD+S△BOC，
∴S梯形ABCD＝S1+S2+S3+S4，
∵S3＝S4＝，
∴S梯形ABCD＝S1+2+S2＝（+）2．
【点评】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度适中，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比．
14．如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）证明：∠ABO＝∠ACO；
（2）连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长；
（3）①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若，求OD的长．
【分析】（1）利用等腰三角形中等边对等角，或等弧所对圆周角相等来证明；
（2）分∠CDO＝90°，∠COD＝90°，∠C＝90°三种情况，分别讨论即可；
（3）①先证△ADO∽△BDA，推出AD2＝OD⋅BD，等量代换可得AD2＝OD⋅（OD+CO），变形可得；
②先证△ABO≌△ACO（SSS），推出S1＝S2+S3，作AH⊥BD交BD于H，设AH＝h，OD＝x，可得，，，利用列方程，求出x的值即可．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
同理：∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠OBC＝∠ACB﹣∠OCB，
即∠ABO＝∠ACO；
（2）解：（i）当∠CDO＝90°时，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC为正三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DCO＝30°，
∴，，
∴；
（ii）当∠COD＝90°时，∠BOC＝90°，
∴；
（iii）当∠C＝90°时，∠OAC＝90°，与三角形内角和定理矛盾，所以舍去．
综上所述：或；
（3）解：①∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C，
∵∠ABO＝∠ACO，
∴∠OAC＝∠B，
∵∠ODA＝∠ADB，
∴△ADO∽△BDA，
∴，
∴AD2＝OD•BD，
∴AD2＝OD•（OD+BO）
∴AD2＝OD•（OD+CO），
∴AD2＝OD2+OD⋅OC，
∴；
②在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
作AH⊥BD交BD于H，设AH＝h，OD＝x，
，，
∴，
又，
∴，
∴x2＝1﹣x，
∴，
∵x＞0，
∴，即．
【点评】本题属于圆内综合题，考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
15．如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S22＝S1•S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．
【分析】（1）先判断出∠OBA＝∠OAC，即可得出结论；
（2）分两种情况：当∠ODC＝90°时，先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出AC＝2CD，再求出CD即可得出结论；当∠COD＝90°，利用等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）先表示出S1＝AC•OM，S2＝AD•OM，S3＝CD•OM，再由S22＝S1•S3，得出（AD•OM）2＝AC•OM•CD•OM，化简得出AD2＝AC•CD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，OA＝OB＝OC，
∴△AOB≌△COA（SSS），
∴∠OBA＝∠OAC，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△OAD∽△ABD；
（2）解：∵△OCD是直角三角形，
当∠ODC＝90°时，连接BC，如图1，
∴BD⊥AC，
∴BC＝AB，
∵AC＝AB，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝2CD，∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠OCD＝30°，
在Rt△ODC中，OD＝OC＝，
∴CD＝OD＝，
∴AC＝2CD＝，
∴BC＝；
当∠COD＝90°时，连接BC，如图2，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴BC＝OB＝，
故B、C两点的距离为或；
（3）证明：如图3，
过点O作ON⊥AB于N，OM⊥AC于M，
由（1）知，△AOB≌△COA，
∴OM＝ON，
∴△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1＝AB•ON＝AC•OM，S2＝AD•OM，S3＝CD•OM，
∵S22＝S1•S3，
∴（AD•OM）2＝AC•OM•CD•OM，
∴AD2＝AC•CD，
∴点D为线段AC的黄金分割点．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等边三角形的判定和性质，判断出OM＝ON是解本题的关键．
16．如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC为⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D连接OA，OC．
（1）求证：△AOD∽△BAD；
（2）记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S1，S2，S3，如果S22＝S1•S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．
（3）当△COD是直角三角形时，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△AOD∽△BAD；
（2）理由三角形的面积公式证明AD2＝AC•CD即可．
（3）分三种情形①如图2中，当∠ODC＝90°时．②如图3中，当∠COD＝90°．③∠OCD＝90°分别求解即可．
【解答】解：（1）证明：在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△AOD∽△BAD；
（2）如图，作OH⊥AC于H．
∵S22＝S1•S3，且S1＝AC•OH，S2＝AD•OH，S3＝CD•OH，
∴AD2＝AC•CD，
∴点D是AC的黄金分割点．
（3）①如图2中，当∠ODC＝90°时，
∵BD⊥AC，OA＝OC，
∴AD＝DC，
∴BA＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
②如图3中，当∠COD＝90°．
则∠BOC＝90°，
∴∠BAC＝∠BOC＝45°
③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．
综上所述，∠BAC＝60°或45°．
【点评】本题考查圆的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
17．（1）如图①，▱ABCD的两条对角线的交点为O．如果△AOB，△BOC，△COD，△DOA的面积分别为S1，S2，S3，S4，试探索S1，S2，S3，S4的关系；
（2）如果将（1）中的条件“▱ABCD”改为“四边形ABCD的对角线AC⊥BD”（如图②）．试探索：S1：S2与S4：S3之间的关系；
（3）如果将（2）中的对角线AC⊥BD的条件去掉（如图③），试探索S1，S2，S3，S4之间的关系．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可证得四个小三角形面积相等；
（2）我们可以表示出这四个面积，S1＝OA•OB，S2＝OB•OC，S3＝OC•OD，S4＝OD•OA，于是我们发现S1S3＝S2S4；
（3）虽然两条对角线不垂直了，但是思路和（2）是一样的；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，
∴S1＝S2，
同理S2＝S3，S3＝S4，S4＝S1，
∴S1＝S2＝S3＝S4；
（2）∵AC⊥BD，垂足为O，
∴S1＝OA•OB，S2＝OB•OC，S3＝OC•OD，S4＝OD•OA，
∴S1S3＝S2S4，
∴；
（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h1，点D到线段AC所在直线的距离为h2，
∴S1＝OA•h1，S2＝OC•h1，S3＝OC•h2，S4＝OA•h2，
∴S1S3＝S2S4；
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，作出正确的辅助线是本题的关键．
18．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC与BD交于点O，设△BOC，△COD，△DOA及梯形ABCD的面积分别为S1、S2、S3、S．
（1）已知，请用或表示AD：BC；
（2）已知，请用，表示AD：BC；
（3）已知，请用表示AD：BC．
【分析】（1）先由AD∥BC判断△AOD∽△COB，则利用相似三角形的性质得＝＝，再根据三角形面积公式得到＝，所以＝；
（2）与方法一样得到＝＝，再利用三角形面积公式得到S△AOB＝S2，则＝，设＝x，＝y，利用分式的基本性质得到x＝，于是y＝﹣1，所以＝﹣1；
（3）与（2）的方法一样求解．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝；
（2）∵＝＝，
∵AD∥BC，
∴△ABC的面积＝△DBC的面积，
∴S△AOB＝S2，
∴＝＝，
设＝x，＝y，
∴x＝＝＝，
∴y＝﹣1，
即＝﹣1；
（3）＝＝，
设＝x，＝y，
∴x＝＝（）2，
∴＝，
∴y＝，
即＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：利用平行于三角形一边的直线与其它两边相交所得的三角形与原三角形相似是证明三角形相似常见的方法．解决本题的关键是利用代数法简化和利用分式的基本性质变形．
19．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即BD是AB与AD的比例中项），求AC、DC的长（结果保留根号）．
【分析】结合本题，由黄金分割的概念可得：则AC＝BD＝AB，据此求出AC，再求DC即可．
【解答】解：由题意得：
∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm．
【点评】本题主要考查了黄金分割以及圆周角定理，准确找出黄金分割所对应的比例的前项和后项是解答的关键．
20．请阅读以下材料并完成相应的任务．17世纪德国著名天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较长部分与整体长度之比等于较短部分与较长部分的长度之比（如图①）即，其比值为．
已知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形的一种；当底角被平分时，形成两个较小的等腰三角形，这两个三角形之一相似于原三角形，而另一个三角形可用于产生螺旋形曲线（如图②）．
任务：
（1）如图③，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线与半径OA的交点．若OA＝2，求正十边形边长AB的长度；
（2）在（1）的条件下，利用图③进一步探究，请你写出sin18°与黄金比之间的关系，并说明理由．
【分析】（1）由题意易得∠AOB＝36°，则可得∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，然后可得△ABM∽△AOB，进而可得AB2＝AO2﹣AO⋅AB，然后问题可求解；
（2）延长AO交⊙O于点P，连接PB，由题意可得∠OPB＝18°，则有AP＝2OA＝4，然后可根据三角函数进行求解．
【解答】解：（1）∵正十边形的中心角为36°，
∴∠AOB＝36°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝72°，
∵BM平分∠ABO，
∴∠ABM＝∠OBM＝36°，∠BMA＝72°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴OM＝BM＝AB，
∴△ABM∽△AOB，
∴，即，
∴AB2＝AO2﹣AO⋅AB，
∴，解得（负值已舍去），
∵OA＝2，
∴；
（2）sin18°是黄金比的一半；
理由如下：如图，延长AO交⊙O于点P，连接PB，
∵∠AOB＝36°，
∴∠OPB＝18°，
∵AP是⊙O的直径，AP＝2OA＝4，
∴∠ABP＝90°，
∴，即．
∴sin18°是黄金比的一半．
【点评】本题主要考查黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握黄金分割比、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
21．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
【分析】（1）设OA＝OC＝2m，则OD＝DC＝m，利用勾股定理求出AD，求出AE，可得结论；
（2）连接OH，OI．证明BM＝BN，∠MBN＝36°即可．
【解答】（1）解：设OA＝OC＝2m，则OD＝DC＝m，
∵OC⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝＝＝m，
∵DE＝DO＝m，
∴AE＝m﹣m，
∴＝＝．
故答案为：．
（2）证明：连接OH，OI．
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI＝×360°＝72°，
∴∠G＝36°，
同理∠F＝∠FBI＝∠GHF＝∠BIG＝36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN＝∠F+∠GHF＝72°，
同理∠BNM＝72°，
∴∠BMN＝∠BNM，
∴BM＝BN，
∵∠FBI＝36°，
∴△BMN是黄金三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正多边形与圆，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，黄金三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．如图，设D是△ABC的边AB上的一点，作DE∥BC 交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F．记△ADE，△DBF，△ABC的面积分别为S1，S2，S，则：
（1）S＝（+）2．
（2）S▱DECF＝2．
【分析】（1）由相似三角形的性质推出＝，＝，得到＝＝1，即可证明问题．
（2）由（1）的结论和完全平方公式即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AC交BC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝1，
∴＝+，
∴S＝．
（2）∵S＝（+）2，
∴S1+S2+S▱DECF＝（+）2，
∴S1+S2+S▱DECF＝S1+S2+2，
∴S▱DECF＝2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
23．如图，已知D、E、F分别位于△ABC的三边上，且四边形CEDF为平行四边形，△ADF和△BDE的面积分别为S1和S2，△ABC为S，
（1）若S1＝4，S2＝25，则S＝ 49 ；
（2）①求S1，S2，S的数量关系；
②若S1+S2＝29，求S▱CFDE的最大值．
【分析】（1）连接CD，先根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△DEB，再根据相似三角形的对应边成比例得出的值，可得出△CED的面积，进而可得出结论；
（2）连接CD，先根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△DEB，再根据相似三角形的对应边成比例得出的值，可得出△CED的面积，进而可得出结论；
（3）根据不等式的性质可得出结论．
【解答】解：（1）连接CD，
∵四边形CEDF为平行四边形，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴∠A＝∠BDE，∠AFD＝∠DEB，
∴△AFD∽△DEB，
∵△ADF和△BDE的面积分别为4和25，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴S△CED＝25×＝10
∴S四边形CEDF＝2×S△CED＝20，
∴S＝S1+S2+S四边形CEDF＝4+25+20＝49．
故答案为：49．
（2）连接CD，
∵四边形CEDF为平行四边形，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴∠A＝∠BDE，∠AFD＝∠DEB，
∴△AFD∽△DEB，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△CED＝S2＝，
∴S四边形CEDF＝2，
∴S＝S1+S2+2．
（3）∵（﹣）2≥0，
∴S1+S2﹣2≥0即2≤S1+S2＝29，
∴S▱CFDE的最大值为29．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
24．【探索规律】
如图①，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．
（1）若△ADF、△EFC的面积分别为4和1，则＝ 2 ；
（2）某校数学兴趣小组的同学对△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积关系进行了研究．设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1、S2、S，EC的长为a，则S2＝ ah2 （用含a和h2的式子表示）；S1＝ （用含a、h1和h2的式子表示）；S＝ ah1 （用含a、h1的式子表示）；从而得出S＝2．
【解决问题】
（3）如图②，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，点F、G在BC上，且DE∥BC，DF∥EG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为2、3、5，求△ABC的面积．
【分析】（1）证明△ADF∽△FEC，由相似三角形的性质可得出答案；
（2）由三角形面积公式得出S2＝×CE×h2＝ah2．由相似三角形的性质得出＝，则DF＝，由三角形面积公式得出S1＝，证四边形BDFE是平行四边形，由平行四边形面积公式得出S＝DF×h2＝ah1，进而得出S＝2．
（3）过点D作DM∥AC交BC于点M，证△DFM≌△EGC（AAS），得S△DFM＝S△EGC＝5，证明△DAE∽△BDM，则＝，得＝，由相似三角形的性质得S△ABC＝9S△ADE＝18．
【解答】解：（1）∵DF∥BC，EF∥AB，
∴∠AFD＝∠ACB，∠DAF＝∠EFC，
∴△ADF∽△FEC，
∵△ADF、△EFC的面积分别为4，1，
∴＝（ ）2＝，
∴＝2，
∵△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2，
∴＝2；
故答案为：2．
（2）S2＝×CE×h2＝ah2．
由（1）得：△ADF∽△FEC，
∴＝，
∴DF＝＝，
∴S1＝×DF×h1＝××h1＝，
∵EF∥AB，DF∥BC，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴四边形BDFE的面积S＝DF×h2＝×h2＝ah1，
∵S1S2＝×ah2＝＝，
∴S2＝4S1S2，
∴S＝2．
故答案为：ah2；；ah1；
（3）如图②，过点D作DM∥AC交BC于点M，
∴∠DMF＝∠ECG，
∵DE∥BC，DF∥BG，
∴四边形DFGE为平行四边形，
∴DF＝EG，∠DFG＝∠EGC，
∴△DFM≌△EGC（AAS），
∴S△DFM＝S△EGC＝5，
∵S△DBF＝3，
∴S△BDM＝3+5＝8，
∵DE∥BM，DM∥AC，
∴∠ADE＝∠DBM，∠BDM＝∠BAE，
∴△DAE∽△BDM，
∴＝（ ）2＝＝，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝9S△ADE＝9×2＝18．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0），交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，OQ，PA，PB．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△AOQ周长的最小值；
（3）假设△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，且S＝S1+S2，求S的最大值．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣6；
（2）作点O关于直线BC的对称点O'，连接AO'，QO′，CO′，BO′，求出C（0，﹣6），可得OB＝OC＝6，故∠BCO＝45°，而O、O'关于直线BC对称，知BC与OO'互相垂直平分，从而四边形BOCO'是正方形，可得O′（6，﹣6），即得AO'＝10，由QO+QA＝QO'+QA≥AO'＝10，即可得到答案；
（3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，设P（m，m2﹣2m﹣6），由PQ∥AC，可得△PAQ与△PCQ的面积相等，故S＝S1+S2＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PBC＝S梯形OCPH+S△PBH﹣S△BOC＝﹣（m﹣3）2+，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣6 与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣6；
（2）作点O关于直线BC的对称点 O'，连接AO'，QO′，CO′，BO′，如图：
∵抛物线y＝ax2+bx﹣6交y轴于点C，
∴C（0，﹣6），
∴OB＝OC＝6，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O'关于直线BC对称，
∴BC与OO'互相垂直平分，
∴四边形BOCO'是正方形，
∴O′（6，﹣6），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，AO'＝＝10，
∵QO'＝QO，
∴QO+QA＝QO'+QA≥AO'＝10，即点Q位于直线 AO'与直线BC交点时，QA+QO的最小值为10，
∴△AOQ周长的最小值为AO+QA+QO＝2+10＝12；
（3）连接PC，过点P作PH⊥BO于点H，如图，
设P（m，m2﹣2m﹣6），
∵PQ∥AC，
∴△PAQ与△PCQ的面积相等，
∴S＝S1+S2
＝S△PAQ+S△PBQ
＝S△PBC
＝S梯形OCPH+S△PBH﹣S△BOC
＝+（6﹣m）•（﹣m2+2m+6）﹣×6×6
＝﹣m2+9m
＝﹣（m﹣3）2+，
∵﹣＜0，0＜m＜6，
∴当m＝3时，S有最大值，
∴S的最大值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，轴对称﹣最短路径等问题，解题的关键是掌握“将军饮马“问题的解决方法及用含字母的代数式表示相关图形的面积．
26．如图，已知四边形DEFG为△ABC的内接平行四边形，设△ADE，△EFC，△DGB，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，S，求证：
（1）S▱DEFG＝2；
（2）S＝（+）2；
（3）S▱DEFG≤S1+S2+S3．
【分析】（1）过点D作DH∥AC交BC于点H，先证S△DGH＝S△EFC＝S2，由△ADE∽△ABC得，由△DBH∽△ABC得，由此得√＝＝1，则S＝，再结合S﹣S1﹣S2﹣S3＝S▱DEFG即可得出结论；
（2）由（1）可可得出结论；
（3）由（1）可知：S▱DEFG＝2，进而得S1+S2+S3﹣S▱DEFG＝≥0，，据此可得出结论．
【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC交BC于点H，如图：
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝GF，
又DH∥AC，
∴四边形DECH为平行四边形，
∴DE＝CH，△DGH和△EFC等高，
∴GF＝CH，
即：GH+HF＝CF+HF，
∴GH＝CF，
∴S△DGH＝S△EFC＝S2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即：，
∵DH∥AC，
∴△DBH∽△ABC，
∴，
即：，
∴√＝＝1，
∴
∴S＝，
即：S＝s1+s2+s3﹣，
∵S﹣S1﹣S2﹣S3＝S▱DEFG，
∴S▱DEFG＝＝2；
（2）由（1）可知：S＝，
（3）由（1）可知：S▱DEFG＝2；
∴S1+S2+S3﹣S▱DEFG
＝S1+S2+S3﹣2
＝≥0，
∴S1+S2+S3﹣S▱DEFG≥0，
∴S1+S2+S3≥S▱DEFG，
即：S▱DEFG≤S1+S2+S3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答此题的关键．
27．我们不妨约定：把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”．
（1）如下：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四边形”的是 ③④ ．（填序号）
（2）如图1，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E．若AE＝4，求四边形ABCD的面积．
（3）①如图2，四边形ABCD为“菠菜四边形”，且AB＝AD，记四边形ABCD，△BOC，△AOD的面积依次为S，S1，S2，若．求证：AD∥BC；
②在①的条件下，延长BA、CD交于点E，记BC＝m，DC＝n，求证：mDE＝nBE．
【分析】（1）根据“菠菜四边形”的定义结合各个特殊四边形的定义可得出结论．
（2）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，求出四边形AFCE是矩形，根据矩形的性质得出∠FAE＝90°，求出∠DAE＝∠BAF＝90°﹣∠BAE，根据AAS得出△AFB≌△AED，根据全等得出AE＝AF＝3，S△AFB＝S△AED，求出S正方形AFCE＝9，求出S四边形ABCD＝S正方形AFCE，代入求出即可．
（3）①记△AOB、△COD的面积为S3、S4，则S＝S1+S2+S3+S4，S1S2＝S3S4，根据已知条件可得S3＝S4，进而可得S△ABD＝S△ADC，得出AD∥BC；
②由平行线的性质结合等腰三角形的性质可得BD平分∠ABC，过点D作DH⊥BE于点H，作DN⊥BC于点N，则DH＝DN，所以S△BDC：S△BDE＝BC：BE；S△BDC：S△BDE＝DC：DE；则＝，由此即可得出结论．
【解答】（1）解：根据菱形和正方形的定义可知，一定是“菠菜四边形”的是菱形和正方形；
故答案为：③④；
（2）解：如图1，过A作AF⊥BC，交CB的延长线于F，
∵AE⊥CD，∠C＝90°
∴∠AED＝∠F＝∠C＝90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∴∠FAE＝90°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF＝90°﹣∠BAE，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AE＝AF＝4，S△AFB＝S△AED，
∴四边形AFCE是正方形，
∴S正方形AFCE＝4×4＝16，
∴S四边形ABCD
＝S四边形ABCE+S△AED
＝S四边形ABCE+S△AFB
＝S正方形AFCE
＝16．
∴四边形ABCD的面积为16．
（3）证明：①记△AOB、△COD的面积为S3、S4，
则S＝S1+S2+S3+S4，
∵，
∴S＝S1+S2+2，即S3+S4＝2，
∵S1S2＝S3S4，
∴S3+S4＝2，
即（﹣）2＝0，
∴S3＝S4，
∴S△AOB+S△AOD＝S△COD+S△AOD，
即S△ABD＝S△ADC，
∴AD∥BC．
②由①知，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBC，即BD平分∠ABC．
如图2，过点D作DH⊥BE于点H，作DN⊥BC于点N，
∴DN＝DH，
∴S△BDC：S△BDE＝BC：BE；
∵S△BDC：S△BDE＝DC：DE；
∴＝，
∴mDE＝nBE．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，角平分线的性质，对于同底等高的三角形面积相等的推导是解题的关键．
28．如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点（不与B，C重合），F是CD延长线上一点，且DF＝BE，连接AE，AF，EF．
（1）求证：△AEF为等腰直角三角形．
（2）过点A作EF的垂线，与直线EF，BC分别交于G，H两点，记∠DFE＝α，EF交AD于点I．
①当α＝30°，AI＝2，求线段AE的长．
②设，△AGI的面积记作S1，△HGE的面积记作S2，用含k的代数式表示．
【分析】（1）证明Rt△ADF≌△ABE，从而∠DAF＝∠BAE，AF＝AE，进一步得出结论；
（2）①可得出∠GAI＝∠DFE＝30°，解直角三角形AGI求得AG，解直角三角形AGF求得AF，进而得出AE；
②根据tan∠GAI＝tan∠DFE得出，进而得出，可证得△AGI∽△HGE，进而求得结果．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD边，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠ADC＝∠B＝90°，
∵DF＝BE，
∴Rt△ADF≌△ABE（HL），
∴∠DAF＝∠BAE，AF＝AE，
∴∠DAF+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝∠ABC＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形；
（2）解：①∵AH⊥EF，
∴∠AGF＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠AGF＝∠ADF，
∵∠GIA＝∠DIF，
∴∠GAI＝∠DFE＝30°，
∴GI＝AI•cs30°＝2×＝，
由（1）知：△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴AF＝；
②由①知：∠GAI＝∠DFE，
∴tan∠GAI＝tan∠DFE，
∴，
由①知：∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF＝，
∴AG＝EG，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴△AGI∽△HGE，
∴．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/26 13:34:09；用户：何磊；邮箱：rFmNt5TdOnZ3Ih8EcEHcUKPS5UI@；学号：36814325黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．