13，江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份13，江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：120分 考试时长：120分钟
一、单选题（本大题6小题，每题3分，共18分）
1. 下面是大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学四个杰出科技企业的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：在为平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此求解即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，故本选项正确；
、不是轴对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，熟悉相关性质是解题的关键．
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，依次判断四个选项，即可求解，本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义．
【详解】、，不是最简二次根式，不符合题意；
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、，是最简二次根式，符合题意，
故选：．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项，有理数的乘方的运算法则进行计算求解即可．
【详解】解：A中，正确，故符合题意；
B中，错误，故不符合题意；
C中，错误，故不符合题意；
D中，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，完全平方公式，合并同类项以及有理数的乘方．解题的关键在于熟练掌握运算法则并正确的计算．
4. 要使分式无意义的x的值是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ；
【答案】A
【解析】
【分析】分式无意义，分母2x-1为零．
【详解】根据题意，得
2x−1=0，解得，x=.
故答案选：A.
【点睛】本题考查的知识点是分式有意义的条件 ，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.
5. 如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC＝DEB. ∠BAD＝∠CAEC. AB＝AED. ∠ABC＝∠AED
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6. 化简：的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
．
故选：D．
二、填空题（本大题6小题，每题3分，共18分）
7. 我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 的倒数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据若两个数互为倒数，则这两个数的乘积为1即可得出结果．
【详解】的倒数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查倒数的定义，涉及二次根式的化简，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
9. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】解：平分，，，，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
10. 如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=25°，则∠2的度数为___________．
【答案】70°
【解析】
【详解】试题分析：根据等腰直角三角形的性质可得：∠ACB=∠B=45°，根据两直线平行，内错角相等可得：∠2=∠1+∠ACB=25°+45°=70°.
11. 已知，则代数式的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，实数的混合运算，将代入，求解即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
【详解】∵，
∴，
故答案为：4．
12. 多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：．根据，即可判断出添加的单项式．
【详解】解：①，
添加的单项式可以是．
②，
添加的单项式可以是．
③，
添加的单项式可以是．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）14；（2）12
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，
（1）先将代数式因式分解，再将，代入求解即可；
（2）直接逆用同底数幂乘法运算求解即可；
熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：（1）原式，
当，时，
原式；
（2）原式
，
当，时，
原式．
14. 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：连接AP，证明Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF.
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，
∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
15. 下面是小华化简分式的过程：
（1）小华的解答过程在第__________步开始出现错误；
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值．
【答案】（1）① （2）正确解析见解析，
【解析】
【分析】（1）根据分式的混合运算法则即可求解．
（2）利用分式的混合运算法则化简分式，再将带入原式即可求解．
【小问1详解】
解： 因为，
所以第①步开始出现错误，
故答案为：①．
【小问2详解】
原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则即可求解．
16. 如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题．
（1）在图1中，画出线段的中点M．
（2）图2，线段与水平网格线相交于D、E两点，在l上画一点P，连接和，使小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计作图．
（1）取格点，，连接交于点，点即为所求；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图1中，点即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图2中，点即为所求；
；
17. 2023年12月27日9时由南昌东站开往黄山北站的次复兴号动车组驶出南昌东站，线路起自江西省南昌市南昌东站，经上饶市、景德镇市，安徽省黄山市，终至黄山北站．按照设计，行驶270千米，昌景黄高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，用时比普通快车用时少90分钟，求昌景黄高铁列车的平均行驶速度．
【答案】360千米/时
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通快车的平均行驶速度是千米小时，则昌景黄高铁列车的平均行驶速度是千米小时，利用时间路程速度，结合行驶270千米昌景黄高铁列车用时比普通快车用时少90分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出普通快车的平均行驶速度，再将其代入中，即可求出昌景黄高铁列车的平均行驶速度．
【详解】解：90分钟小时．
设普通快车的平均行驶速度为x千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为3x千米/时．
根据题意得：，解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．
则．
答：高铁列车的平均行驶速度为360千米/时．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解：
（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解；
（2）拓展：
①把代数式因式分解；
②若代数式为时（其中，），则的值为______．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式．
（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；
（2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：①
，
，
，
，
②代数式为，
或，
所以的值为时，或．
19. 我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：
请根据上述规律填空：____________；
我们知道，任何一个两位数个数上数字n十位上的数字为都可以表示为，根据上述规律写出：______，并用所学知识说明你的结论的正确性．
【答案】(1)，1444；(2)．
【解析】
【分析】根据已知算式得出规律，再得出即可；
根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】，
故答案为，1444；
，
证明：，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
20. 如图，在中，，，D是的中点，点E在上，点F在上，且．
（1）不添加任何线段，请直接写出图中所有小于的相等的角；
（2）线段与有何关系？请写出，并说明理由．
【答案】（1），，，
（2），，见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
（1）根据等腰三角形的性质得出，连接，通过证明，利用全等三角形的性质和等角的补角相等求解即可；
（2）连接，通过证明，根据全等三角形的性质和角的和差求解即可．
【小问1详解】
∵，，
∴，
连接，
，，
为的中点，
平分，，
，
，
在和中，
∵
，
∴，
∴，，
综上，小于的相等的角有，，，；
【小问2详解】
关系为：，，
证明：如图，连接．
，，
是等腰直角三角形，．
为的中点，
平分，．
，．
和中，
∵，
，
，．
，
，即,
，．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：______
方法2：______
③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______；
(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值．
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．
【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2
【解析】
【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n；
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积；
③根据以上相同图形的面积相等可得；
（2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得；
（3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得．
【详解】（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n．
②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
即（m﹣n）2，
方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；
③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．
（2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0，
∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0，
∴m+n=6，mn=4
∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20，
∴（m﹣n）2=20；
（3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n），
或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n2，
故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识．
22. 观察下列方程的特征及其解的特点．
①x＋＝－3的解为x1＝－1，x2＝－2；
②x＋＝－5的解为x1＝－2，x2＝－3；
③x＋＝－7的解为x1＝－3，x2＝－4
解答下列问题：
（1）请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________；
（2）根据这类方程的特征，写出第n个方程为________，其解为________；
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x＋＝－2(n＋2)(其中n为正整数)的解．
【答案】（1）x＋＝－9；x1＝－4，x2＝－5；（2）x＋＝－(2n＋1)；x1＝－n，x2＝－n－1（4）x1＝－n－3，x2＝－n－4
【解析】
【分析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=1×2，6=2×3，12=3×4…，等号右边的规律为：-3=-(2×1+1)，-5=-(2×2+1)，-7=-(2×3+1)…，解的规律：x1=方程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解
（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；
（3）等号左右两边都加3，可得x+3＋＝=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可．
【详解】解：（1）x＋＝－9，x1＝－4，x2＝－5，
（2）x＋＝－(2n＋1)，x1＝－n，x2＝－n－1，
（3）x＋＝－2(n＋2)，
x＋3＋＝－2(n＋2)＋3，
(x＋3)＋＝－(2n＋1)，
∴x＋3＝－n或x＋3＝－(n＋1)，
即x1＝－n－3，x2＝－n－4
检验：当x1＝－n－3时，x＋3＝－n≠0；
当x2＝－n－4时，x＋3＝－n－1≠0.
∴原分式方程的解是x1＝－n－3，x2＝－n－4
【点睛】本题是一道有关找规律题目，根据已知的方程找出方程中分式的分子、方程等号右边以及根与方程序号之间的关系是解答本题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23. 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．
【答案】（1），
（2）这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）自变量时，函数取最大值，最大值为
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案：，；
【小问2详解】
设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
【小问4详解】
①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．解：
…………①
………………………②
．………………………③