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2024年中考数学专题训练 专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）
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这是一份2024年中考数学专题训练 专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读），共25页。
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【典例分析】
【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】
【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【模型2 截取构造对称全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．
【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】
【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．
【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求∠EAC的度数；
（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．
【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分线+平行线】
【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？
（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．
【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【典例分析】
【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】
【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
【解答】证明：作MN⊥CD于N，如图所示：
∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，
∴MA＝MN，
∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
∴MB＝MN，
∵∠B＝90°，MN⊥CD，
∴CM是∠BCD的平分线，
即CM平分∠BCD．
【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
【模型2 截取构造对称全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
【解答】解：PB+PC＞AB+AC（2分）
如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP．（4分）
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，
又AP是公共边，AE＝AC，
故△ACP≌△AEP（6分）
从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）
而BE＝AB+AE＝AB+AC，（8分）
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC（10分）
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．
【解答】解：如图，在BC上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
在△ACD和△ECD中，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝ED，∠A＝∠CED，
∵∠A＝2∠B，
∴∠CED＝2∠B，
∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∵AC＝6，AD＝2，
∴AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8．
【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．
【解答】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，
故答案为：60°
（2）BC＝AB+CE
理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，
∴△ABD≌△FBD（SAS）
∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°
∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD
∴△CDF≌△CDE（SAS）
∴CE＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CE
故答案为：BC＝AB+CE
【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】
【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．
【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵AB＝AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠CBE，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△FBE≌Rt△CBE（ASA），
∴EF＝EC，
∴CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求∠EAC的度数；
（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝∠E+∠EAC＝∠C+∠CBD，
∴∠EAC＝∠CBD＝22.5°；
（2）BD＝2AE，理由如下：延长AE、BC交于点F，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDA＝∠CDB，
∴∠FAC＝∠DBC，
在△AFC与DBC中，
，
∴△AFC≌△DBC（ASA），
∴AF＝BD，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD＝AF＝2AE，
【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，
∵BE是角平分线，AD⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，
又∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分线+平行线】
【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．
（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN，
∵BM+CN＝7，
∴MN＝7，
故选：B．
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？
（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．
【解答】解：（1）△BME与△ECN都是等腰三角形；理由如下：
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴△BME与△ECN都是等腰三角形；
（2）∵MN＝ME+EN，BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9，
∴MN＝9．
【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，
∵EG∥AC，
∴∠DEG＝∠C，
在△DEG和△DCA中，
，
∴△DEG≌△DCA（ASA），
∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC
故EG＝AC
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG＝EF，
∴∠G＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠BAD，
∴EF∥AB．
【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【解答】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【典例分析】
【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】
【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【模型2 截取构造对称全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．
【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】
【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．
【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求∠EAC的度数；
（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．
【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分线+平行线】
【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？
（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．
【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。
结论：PB=PA。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。
结论：△OPB≌△OPA。
【模型分析】
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。
结论：△AOB是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型4 角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。
结论：△POQ是等腰三角形。
【模型分析】
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【典例分析】
【模型1 角平分线上的点向两边作垂线】
【典例1】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．
【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N
则∠CMD＝∠BND＝90°，
∵AD是∠EAF的平分线，
∴DM＝DN，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∠ACD+∠MCD＝180°，
∴∠MCD＝∠NBD，
在△CDM和△BDN中，
∠CMD＝∠BND＝90°，
∠MCD＝∠NBD，
DM＝DN，
∴△CDM≌△BDN，
∴CD＝DB．
【变式1-1】（2020秋•西城区校级期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A+∠C＝180°．
【解答】证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF，∠DEC＝∠F＝90°，
在RtCDE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），
∴∠FAD＝∠C，
∴∠BAD+∠C＝∠BAD+∠FAD＝180°．
【变式1-2】已知，如图，∠A＝∠B＝90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD．（提示：需过点M作CD的垂线段）
【解答】证明：作MN⊥CD于N，如图所示：
∵DM平分∠ADC，∠A＝90°，MN⊥CD，
∴MA＝MN，
∵M是AB的中点，
∴MA＝MB，
∴MB＝MN，
∵∠B＝90°，MN⊥CD，
∴CM是∠BCD的平分线，
即CM平分∠BCD．
【典例2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PCD＝∠BPC+∠PBC＝40°+∠ABC，
∴∠ACD＝∠ABC+40°，
∴∠ACD﹣∠ABC＝80°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝80°，
即∠CAB＝80°．
作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，
∴∠CAP＝∠CAE＝50°．
【变式2】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选：C．
【模型2 截取构造对称全等】
【典例3】在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
【解答】解：PB+PC＞AB+AC（2分）
如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP．（4分）
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，
又AP是公共边，AE＝AC，
故△ACP≌△AEP（6分）
从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE（7分）
而BE＝AB+AE＝AB+AC，（8分）
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC（10分）
【变式3-1】已知：如图，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，且AC＝6，AD＝2．求BC的长．
【解答】解：如图，在BC上截取CE＝CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
在△ACD和△ECD中，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝ED，∠A＝∠CED，
∵∠A＝2∠B，
∴∠CED＝2∠B，
∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∵AC＝6，AD＝2，
∴AD＝BE＝2，AC＝CE＝6，
∴BC＝BE+CE＝2+6＝8．
【变式3-2】已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD．
【解答】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE+EC＝AB+CD．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线．延长BD至E，使DE＝AD，连接EC
（1）直接写出∠CDE的度数：∠CDE＝ ；
（2）猜想线段BC与AB+CE的数量关系为 ，并给出证明．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝20°
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝60°＝∠CDE，
故答案为：60°
（2）BC＝AB+CE
理由如下：如图，在BC上截取BF＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，且BD＝BD，AB＝BF，
∴△ABD≌△FBD（SAS）
∴AD＝DF，∠ADB＝∠BDF＝60°
∴∠FDC＝180°﹣∠ADB﹣∠BDF＝60°＝∠EDC，且DE＝DF，CD＝CD
∴△CDF≌△CDE（SAS）
∴CE＝CF，
∴BC＝BF+CF＝AB+CE
故答案为：BC＝AB+CE
【模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形】
【典例4】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE．
【解答】证明：如图所示，延长BA，CE交于点F，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
又∵AB＝AC，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBE＝∠CBE，
在Rt△FBE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△FBE≌Rt△CBE（ASA），
∴EF＝EC，
∴CF＝2CE，
∴BD＝2CE．
【变式4-2】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求∠EAC的度数；
（2）用等式表示线段AE与BD的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠E＝∠C＝90°，
∵∠ADB＝∠E+∠EAC＝∠C+∠CBD，
∴∠EAC＝∠CBD＝22.5°；
（2）BD＝2AE，理由如下：延长AE、BC交于点F，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠EDA＝∠CDB，
∴∠FAC＝∠DBC，
在△AFC与DBC中，
，
∴△AFC≌△DBC（ASA），
∴AF＝BD，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD＝AF＝2AE，
【变式4-3】如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
【解答】证明：如图，延长AD交BC于点F，
∵BE是角平分线，AD⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，
又∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
【模型4 角平分线+平行线】
【典例5】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．
（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．
（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【解答】解：（1）EF与BE、CF之间的关系为：EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
（2）第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在，即EF＝BE+CF．理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
同理：CF＝FO．
∴EF＝OE+OF＝BE+CF．
∴第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在．
（3）图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO，此时EF＝BE﹣CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO＝∠CBO．
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC．
∴∠EBO＝∠EOB．
∴BE＝EO．
∴△BEO是等腰三角形，
同理可证△CFO是等腰三角形，
∵BE＝EO，OF＝FC
∴BE＝EF+FO＝EF+CF，
∴EF＝BE﹣CF．
【变式5-1】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN＝7，则MN的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN，
∵BM+CN＝7，
∴MN＝7，
故选：B．
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，
（1）请判断△BME与△ECN的形状，并说明理由？
（2）若BM+CN＝9，求线段MN的长．
【解答】解：（1）△BME与△ECN都是等腰三角形；理由如下：
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴△BME与△ECN都是等腰三角形；
（2）∵MN＝ME+EN，BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9，
∴MN＝9．
【变式5-3】如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．
【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，
∵EG∥AC，
∴∠DEG＝∠C，
在△DEG和△DCA中，
，
∴△DEG≌△DCA（ASA），
∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC
故EG＝AC
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EG＝EF，
∴∠G＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠BAD，
∴EF∥AB．
【变式5-4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【解答】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF+BF，
∴AB＝AD+BC，即AD＝AB﹣BC．
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