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备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题02 中点四大模型在三角形中的应用（知识解读）
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这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题02 中点四大模型在三角形中的应用（知识解读），共28页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）
【专题说明】
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】
模型1 ：倍长中线法
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型2：平行线夹中点
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
模型3：中位线
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型4：连接直角顶点，构造斜中定理
【典例分析】
【模型1 倍长中线法】
【典例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．
（1）延长DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；
（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
【模型2 平行线夹中点】
【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
②求BE的长．
【模型3 中位线】
【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）四边形DEFC的面积为 ．
【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．
（1）求证：四边形AFGD为菱形；
（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．
【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】
【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．
【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB．
证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）
【专题说明】
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
【方法技巧】
模型1 ：倍长中线法
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型2：平行线夹中点
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
模型3：中位线
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型4：连接直角顶点，构造斜中定理
【典例分析】
【模型1 倍长中线法】
【典例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分线，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【解答】（1）结论：若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD＝DE；
证明：当AC∥BE时，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
当AD＝DE时，
∵点D是BC中点，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．
（1）延长DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；
（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
【解答】解：方法一：延长DE到F，使得EF＝DE，连接BF．
在△DEC和△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB，
∴∠D＝∠F，DC＝FB，
∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F，
∴BA＝BF，
∴AB＝CD．
方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°，
在△CGE和△BFE中，
，
∴△CGE≌△BFE，
∴BF＝CG，
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG，
∴AB＝CD．
方法三：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
∵CF∥AB，
∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵∠BAE＝∠D，∠BAE＝∠F，
∴∠D＝∠F，
∴CF＝CD，
∴AB＝CD．
【模型2 平行线夹中点】
【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝＝13
∴AE＝＝
【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
【答案】
【解答】解：延长BE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
在△ABE与△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，
∴CF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BE＝BF＝，
故答案为：．
【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．
【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
②求BE的长．
【解答】解：①延长BE与CD相交于点F，则EF＝BE，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB与△DEF中，
，
∴△AEB≌△△DEF（AAS），
∴BE＝EF；
②∵△AEB≌△△DEF，
∴DF＝AB＝6，BE＝EF＝BF，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
∵BC⊥CD，
∴BF＝＝10，
∴BE＝BF＝5．
【模型3 中位线】
【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）．
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝3，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝HC＝，
故选：D．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
【答案】20
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周长为10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）四边形DEFC的面积为 ．
【解答】（1）证明：在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD＝BD，
∴CD⊥AB，∠DCB＝∠ACB＝30°，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵∠DHC＝90°，
∴DH＝DC＝，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF＝BC＝2，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2．
故答案为：2．
【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．
（1）求证：四边形AFGD为菱形；
（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE的中点为G，
∴DE＝2DG，
∵CD的中点为F，
∴FG是△DFG的中位线，
∴CE＝2FG，FG∥CE，
∴FG∥AD，
∵CE＝DE＝2BC，
∴FG＝DG＝BC，
∴AD＝FG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∵FG＝DG，
∴四边形AFGD为菱形；
（2）解：连接AG交DF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADO，AD＝BC＝2，
∵四边形AFGD为菱形，
∴AG⊥DF，AG＝2AO，
在Rt△ADO中，，
∴tan∠ADO＝＝，
∴设AO＝3x，DO＝2x，
∵AO2+DO2＝AD2，
∴（3x）2+（2x）2＝4，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AG＝2AO＝，
∴AG的长为．
【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】
【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．
【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB；
证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB；
证法3：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD，
∵∠CDB＝∠EDA，CD＝DE，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴CB＝AE，∠B＝∠DAE，
∴CB∥AE，
∴∠BCA+∠ACE＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∵CB＝AE，∠BCA＝∠EAC＝90°，AC＝CA
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴AB＝CE
∵CE＝2CD
∴AB＝2CD．
【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长＝2×10＝20，
故选：D．
【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【答案】C
【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB．
证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
故答案为：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；
证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）
【专题说明】
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行等的应用。
【方法技巧】
模型1 ：倍长中线法
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型2：平行线夹中点
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
模型3：中位线
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型4：连接直角顶点，构造斜中定理
【典例分析】
【模型1 倍长中线法】
【典例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．
（1）延长DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；
（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
【模型2 平行线夹中点】
【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
②求BE的长．
【模型3 中位线】
【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）四边形DEFC的面积为 ．
【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．
（1）求证：四边形AFGD为菱形；
（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．
【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】
【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．
【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB．
证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
专题02 中点四大模型在三角形中应用（知识解读）
【专题说明】
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点时延长中线交平行的应用。
【方法技巧】
模型1 ：倍长中线法
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.
当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE.
模型2：平行线夹中点
如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.
模型3：中位线
如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型4：连接直角顶点，构造斜中定理
【典例分析】
【模型1 倍长中线法】
【典例1】【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【变式1-1】（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分线，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
【变式1-2】如图，在△ABC中，已知：点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．
（1）请你添加一个条件使△ACD≌△EBD，并给出证明．
（2）若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
【解答】（1）结论：若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AC∥BE或AD＝DE；
证明：当AC∥BE时，
∵AC∥BE，
∴∠CAD＝∠E，∠ACD＝∠EBD，
又∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（AAS）；
当AD＝DE时，
∵点D是BC中点，
∴BD＝DC，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
（2）解：∵△ACD≌△EBD，
∴AC＝BE＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
【变式1-3】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．
（1）延长DE到F，使得EF＝DE；
（2）作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F；
（3）过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
【解答】解：方法一：延长DE到F，使得EF＝DE，连接BF．
在△DEC和△FEB中，
，
∴△DEC≌△FEB，
∴∠D＝∠F，DC＝FB，
∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F，
∴BA＝BF，
∴AB＝CD．
方法二：作CG⊥DE于G，BF⊥DE于F交DE的延长线于F
∵CG⊥DE，BF⊥DE，
∴∠CGE＝∠BFE＝90°，
在△CGE和△BFE中，
，
∴△CGE≌△BFE，
∴BF＝CG，
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG，
∴AB＝CD．
方法三：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F．
∵CF∥AB，
∴∠BAE＝∠F，∠B＝∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵∠BAE＝∠D，∠BAE＝∠F，
∴∠D＝∠F，
∴CF＝CD，
∴AB＝CD．
【模型2 平行线夹中点】
【典例2】如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝＝13
∴AE＝＝
【变式2-1】如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
【答案】
【解答】解：延长BE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
在△ABE与△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，
∴CF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BE＝BF＝，
故答案为：．
【变式2-2】如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．
【解答】解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
又∵M为BC中点，
∴BM＝MC．
在△BEM和△CFM中，
，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME＝MF．
即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．
【变式2-3】如图：已知AB∥CD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点，
①请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等；并证明之；
②求BE的长．
【解答】解：①延长BE与CD相交于点F，则EF＝BE，
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEB与△DEF中，
，
∴△AEB≌△△DEF（AAS），
∴BE＝EF；
②∵△AEB≌△△DEF，
∴DF＝AB＝6，BE＝EF＝BF，
∴CF＝CD﹣DF＝6，
∵BC⊥CD，
∴BF＝＝10，
∴BE＝BF＝5．
【模型3 中位线】
【典例3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD，AC＝7，AB＝4，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解答】解：延长BD交AC于H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA）．
∴AH＝AB＝4，BD＝DH，
∴HC＝AC﹣AH＝3，
∵BD＝DH，BE＝EC，
∴DE＝HC＝，
故选：D．
【变式3-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为 ．
【答案】20
【解答】解：∵点D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF、DE、DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∵△DEF的周长为10，
∴EF+DE+DF＝10，
∴2EF+2DE+2DF＝20，
∴AB+BC+AC＝20，
∴△ABC的周长为20．
故答案为：20．
【变式3-2】如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：CD＝EF；
（2）四边形DEFC的面积为 ．
【解答】（1）证明：在△ABC中，
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AD＝BD，
∴CD⊥AB，∠DCB＝∠ACB＝30°，
∵BC＝4，BD＝2，
∴CD＝＝，
∵∠DHC＝90°，
∴DH＝DC＝，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF＝BC＝2，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2．
故答案为：2．
【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CE＝DE＝2BC．CD的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG．
（1）求证：四边形AFGD为菱形；
（2）连接AG，若BC＝2，，求AG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵DE的中点为G，
∴DE＝2DG，
∵CD的中点为F，
∴FG是△DFG的中位线，
∴CE＝2FG，FG∥CE，
∴FG∥AD，
∵CE＝DE＝2BC，
∴FG＝DG＝BC，
∴AD＝FG，
∴四边形AFGD是平行四边形，
∵FG＝DG，
∴四边形AFGD为菱形；
（2）解：连接AG交DF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADO，AD＝BC＝2，
∵四边形AFGD为菱形，
∴AG⊥DF，AG＝2AO，
在Rt△ADO中，，
∴tan∠ADO＝＝，
∴设AO＝3x，DO＝2x，
∵AO2+DO2＝AD2，
∴（3x）2+（2x）2＝4，
∴x＝或x＝﹣（舍去），
∴AG＝2AO＝，
∴AG的长为．
【模型4 连接直角顶点，构造斜中定】
【典例4】用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，∠BCA＝90°，AD＝DB．求证：CD＝AB．
【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB；
证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB；
证法3：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD是斜边AB的中线，
∴BD＝AD，
∵∠CDB＝∠EDA，CD＝DE，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴CB＝AE，∠B＝∠DAE，
∴CB∥AE，
∴∠BCA+∠ACE＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝90°，
∵CB＝AE，∠BCA＝∠EAC＝90°，AC＝CA
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴AB＝CE
∵CE＝2CD
∴AB＝2CD．
【变式4-1】直角三角形斜边上的中线长为10，则该斜边长为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】D
【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得斜边长＝2×10＝20，
故选：D．
【变式4-2】如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．C．8D．9
【答案】C
【解答】解：∵∠AEB＝90°，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【变式4-3】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB．
证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵ ，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【解答】解：证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE＝∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE＝∠B，
∴EC＝EB，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠B+∠ACE＝90°．
又∵∠A+∠B＝90°，
∴∠ACE＝∠A．
∴EA＝EC．
∴EA＝EB＝EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE＝AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD＝AB．
故答案为：EC＝EB；∠A+∠B＝90°；
证法2：延长CD至点E，使得DE＝CD，连接AE、BE．如图3所示：
∵AD＝DB，DE＝CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB＝CE，
又∵CD＝CE，
∴CD＝AB．
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