江西省萍乡市2022-2023学年高二数学下学期7月期末考试试题（Word版附解析）

萍乡市2022—2023学年度第二学期期末考试

高二数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.

3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集，集合或，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合补集以及交集的概念，结合Venn图，即可求得答案.

【详解】集合或，故，

由Venn图可知影部分表示的集合为.

故选：A

2. 已知命题，命题，则是q的（    ）

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数与幂函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，又由不等式，可得，

因为集合，所以命题是命题的必要不充分条件.

故选：C.

3. 已知函数在处可导，若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的定义进行求解即可．

【详解】由已知得，

所以.

故选：C

4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可利用中间值法求解.

【详解】，

，

，

故，

故选：B

5. 已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求导，然后直接解方程可判断ACD；根据函数与的图象是否有交点可判断B.

【详解】对于A：，由解得或，所以存在“巧值点”；

对于B：，作函数与的图象，由图可知存在“巧值点”；

对于C：，由得，解得，所以存在“巧值点”；

对于D：，因为，所以无实数解，所以不存在“巧值点”.

故选：D

6. 唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（    ）

A. 37升 B. 21升 C. 26升 D. 32升

【答案】A

【解析】

【分析】先根据题意将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，进一步根据题意列出关于数列的递推公式，进一步计算出首项的值，然后根据递推公式逐项代入即可得到 的值，即李白在第5家店饮酒后所剩酒量.

【详解】由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，

则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5，

即，

，

，

.

故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.

故选：A.

7. 已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，存在，使得，由参变量分离法可得，求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】因为，则，

因为函数在区间上存在单调递增区间，则存在，使得，

即，可得，设，

因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，

当时，，故.

故选：B.

8. 函数的所有极值点从小到大排成数列，设是的前n项和，则下列结论正确的是（    ）

A. 数列为等差数列 B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】先对函数求导，结合导函数确定极值点，然后结合三角函数的性质和等差数列性质分别判断各选项即可．

【详解】，，

令可得或，，

对于A，易得函数的极值点为或，，

当时，从小到大为，，，，不是等差数列，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，,均为等差数列，公差均为首项分别为

，，

，

，故C正确；

对于D，

，

，故D错误．

故选：C．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断.

【详解】对于A，由，可知，故成立，A正确；

对于B，若，则，B错误；

对于C，, 则，C正确；

对于D，若，则，解得，D错误.

故选：AC.

10. 已知在数列中，，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 可能是等差数列

C.  D. 若，则是递增数列

【答案】BD

【解析】

【分析】令即可判断A，当时，利用等差数列的定义即可判断B，令即可验证C，利用数列单调性的定义证明即可判断D.

【详解】选项A，令时，，即，故选项A错误；

选项B，当时，，由此可知数列为首项为，公差为的等差数列，故选项B正确；

选项C，当时，，与已知条件矛盾，故选项C错误；

选项D，由选项B可知，时数列是递增数列，

当且时，，，，，，

将这个式子叠加得，

即，

则

所以，所以当且时，数列是递增数列，

即，则递增数列，故选项D正确；

故选：BD.

11. 下列说法错误的是（    ）

A. 独立性检验的结果一定正确

B. 用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，其零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联

C. 在线性回归分析中，相关系数的值越大，说明回归方程拟合的效果越好

D. 根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差的均值为0

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A，根据独立性检验原理分析判断，对于B，利用卡方检验法分析判断，对于C，结合线性回归方程中相关系数的实际意义分析判断，对于D，根据一元线性回归模型中对随机误差的假定分析判断.

【详解】对于A，独立性检验的结果不一定正确 ，假如我们有99%的把握认为与有关，此时只能说明这种判断的正确性为99%，而无法确定与有关，所以A错误，

对于B，用卡方检验法判断“是否有把握认为吸烟与患肺癌有关”时，其零假设为：吸烟与患肺癌之间无关联，所以B正确，

对于C，在线性回归分析中，相关系数绝对值越接近1，此时说明回归方程拟合的效果越好，所以C错误，

对于D，根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差的均值为0，所以D正确，

故选：AC

12. 设函数，曲线在点处的切线平行于轴，则（    ）

A.

B. 函数的图象是一个中心对称图形，其对称中心为

C. 曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值2

D. 函数在上的最小值为3

【答案】ABC

【解析】

【分析】求得，根据题意列出方程组，求得的值，得到函数的解析式，结合函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数，可得，

因为曲线在点处的切线平行于轴，

可得，解得，所以A正确；

又由函数，

因为函数的对称中心为，根据函数的图象变换，

可得函数的对称中心为，所以B正确；

作出函数的图象，如图所示，

设切点，求导得，

则在点的切线方程为，

令，可得，

联立方程组，解得，

所以曲线上任意一点的切线与直线和所围成的的面积为：

，所以C正确；

由图象可得，函数在上为增函数，其最小值为，所以D错误.

故选：ABC.

第Ⅱ卷

注意事项：

第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知数列满足，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用数列的周期性变化的特点求解.

【详解】由题意，，，，

，，

所以是周期为4的周期数列，故.

故答案为: .

14. 函数的单调递减区间是_________.

【答案】

【解析】

【分析】求出导函数，在上解不等式可得的单调减区间．

【详解】，其中，

令，则，故函数的单调减区间为，

故答案为：．

【点睛】一般地，若在区间上可导，我们用求，则在上的减区间，反之，若在区间上可导且为减函数，则，注意求单调区间前先确定函数的定义域．

15. 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①；②，令，，则回归方程应为__________.

【答案】.

【解析】

【分析】由题意，根据对数的运算性质，以及所提供的信息，列出等式，即可求解.

【详解】因为回归模型为，

因为，可得，

两边同时取对数，可得，

令，此时，

又因为，，所以，即，

所以.

故答案为：.

16. 已知定义在上的函数关于对称，且是奇函数，则下列说法中正确的有__________.（填正确选项的序号）

①；②；

③；④.

【答案】①②③

【解析】

分析】根据对称性和对称中心综合应用得出对称性和周期性，函数值，分别判断各个选项即可.
 

详解】函数关于对称，,

是奇函数，,

①正确;

,

,,②正确;

③正确;

,④错误.

故答案为:①②③

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下：

（1）求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程；

（2）该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下）

①；②；③.

【答案】（1）   

（2）有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.

【解析】

【分析】（1）根据回归直线方程的求解公式，可得答案；

（2）根据独立性检验的解题步骤，可得答案.

【小问1详解】

设所求回归直线方程为，

则，，

，

，

，

故所求回归直线方程为.

【小问2详解】

根据题意，得2×2列联表如下：

，

故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.

18. 已知数列满足___________，且，.

请从①N，②N两个条件中任选一个补充在题目的横线上，再解答.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求的前项和.

【答案】（1）N   

（2）

【解析】

【分析】（1）当选①时利用当时，求通项公式；当选②时，由等差中项的定义可知为等差数列，即可求通项公式，

（2）用裂项相消法求数列的前项和.

【小问1详解】

【若选①】时，，

当时，，

满足上式，故N；

【若选②】因为，所以是等差数列；

由得，公差；由得：，

所以N；

【小问2详解】

，

故.

19. 已知函数，其中m为实数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知对，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据对数运算，整理可得一元二次不等式，利用十字相乘法，可得答案；

（2）根据分离参数，整理不等式，构造函数，通过基本不等式求其最值，可得答案.

【小问1详解】

时，，不等式，即，

所以，化简为解得：或，

故所求不等式的解集为；

【小问2详解】

由题意知不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以实数的取值范围为.

20. 函数（，为实数，），已知是函数的极小值点.

（1）求的单调区间；

（2）若函数在区间上有3个零点，求的取值范围.

【答案】（1）增区间为，，减区间为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）求得，得出函数的单调区间，得到是函数的极小值点，求得，进而求得的单调区间；

（2）解法1、由（1）知，求得的极大值为，极小值为，以及，，结合题意，得到且，即可求解；

解法2、令，得到，令，利用导数求得函数的单调区间，以及，，，的值，结合题意转化为与在区间上有三个交点，即可求解.

【小问1详解】

解：由函数，可得，

令，得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当，时，，单调递增；

故是函数的极小值点，即，解得，

故的单调递增区间为，，单调递减区间为.

【小问2详解】

解法1、由（1）知，函数的极大值为，极小值为，

又由，，

要使在上有3个零点，则且 ，

解得，故实数的取值范围为.

解法2、令，可得，

令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

且，，，，

若在上有3个零点，则与在上有三个交点，

所以，即实数的取值范围为.

21. 已知函数关于点对称，其中为实数.

（1）求实数的值；

（2）若数列的通项满足，其前项和为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数中心对称性，整理方程，解得答案；

（2）根据倒序相加法，可得答案.

【小问1详解】

由题知，即，

整理得，解得 ；

【小问2详解】

由题知，，且，

则，

又，

故，

即.

22. 已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）设函数，试讨论的单调性.

【答案】（1）1    （2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）直接求导得，设得到导函数的单调性并计算得，则得到的单调性和最值；

（2）求导得，分讨论即可.

【小问1详解】

由题知，，令，

因为，

则，

则在上单调递增，且，

则当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以函数在处有最小值为 ；

【小问2详解】

，

由（1）知：当时，，

当时，，则

①若，

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增；

②若，当时，，单调递增，则在上单调递增；

③若，

当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增；

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中关于的符号变化，然后再对进行合理的分类讨论.