92，山东省泰安市岱岳区黄前中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题

这是一份92，山东省泰安市岱岳区黄前中学2023-2024学年七年级上学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题3分，共48分）
1. 我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形是可以用一条线将图形分成两部分.
【详解】第2,3,4个图形为轴对称图形，所以答案选择D项.
【点睛】本题考查了轴对称图形，熟悉掌握概念是解决本题的关键.
2. 如图，，且，添加下列条件，不能判断的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】A.添加，SSA对应相等，不能证明全等，符合题意；
B. 添加，SAS对应相等，可以全等，不符合题意；
C. 添加，AAS对应相等，可以全等，不符合题意；
D. 添加，ASA对应全等，可以全等，不符合题意；您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．
3. 按下列各组数据能组成直角三角形的是（ ）
A. 11，15，13B. 1，4，5C. 8，15，17D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】能不能组成直角三角形, 需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方,按此验算即可.
【详解】解: A、,故不能组成直角三角形;
B,,故不能组成直角三角形;
C,故能组成直角三角形;
D、,故不能组成直角三角形;
故选C.
【点睛】解答此题要用到勾股数的定义, 及勾股定理的逆定理: 已知△ABC的三边满足, 则△ABC是直角三角形.
4. 如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A. 10°B. 20°C. 25°D. 30°
【答案】C
【解析】
【详解】如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH//EF，
∴∠2=∠AEC=25°．
故选C．
5. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，
∴2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
6. 如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点，，的周长是，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解.熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
7. 如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD
∴△CFE≌△AFD
∴EF=DF
设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，
故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
8. 如图，在中，，点D，E，F分别在边，上，且满足，，则∠FDE的度数为（ ）

A. 75°B. 80°C. 65°D. 95°
【答案】C
【解析】
【分析】由，，利用三角形内角和得，由得，再由，，利用得到，利用全等三角形对应角相等得到，利用三角形内角和即可得证．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
9. 如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（ ）

A. 7.5尺B. 8尺C. 8.5尺D. 9尺
【答案】C
【解析】
【分析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设芦苇长度为x尺，则为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴芦苇的长度为8.5尺．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
10. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先求出每边的平方，得出AB2+AC2=BC2，AD2+CD2=AC2，BD2+AB2=AD2，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2=12+22=5,
AC2=22+42=20,
AD2=12+32=10,
BC2=52=25,
CD2=12+32=10,
BD2=12+22=5，
∴AB2+AC2=BC2,AD2+CD2=AC2,BD2+AB2=AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理.
11. 如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（ ）平方米．
A. 96B. 204C. 196D. 304
【答案】A
【解析】
【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．
【详解】连接AC，
则在中， ，
∴AC=15，在 中，， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理和三角形面积的应用，解题的关键是正确添加辅助线.
12. 如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm．
A. 9B. 10C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】将容器侧面展开，建立A关于上边沿的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度为最短路径15，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求．
【详解】解：如图，
将容器侧面展开，作A关于EF的对称点，连接，则即为最短距离，
根据题意：，，
．
所以底面圆的周长为9×2=18cm.
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
13. 如图，在中，，，．的垂直平分线交于点D，交于点E．的垂直平分线交于点G，交于点F．则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角；连接，先根据等腰对等边求出，再根据垂直平分线的性质得到，求出，进而求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点G，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
14. 如图，把折叠，使A、B两点重合，得到折痕，再沿折叠，C点恰好与D点重合，则等于（ ）

A. 45°B. 30°C. 60°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题．
【详解】由折叠可得：，
∴；
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．
15. 如图，在中，，，是的两条中线，P是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短．由等腰三角形的性质得，则，即最小值是线段的长，从而可得答案．
【详解】连接，
∵，是中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴最小值的是．
故选：D．
16. 如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】证明，由全等三角形性质可得出．由图形的面积可得出③④正确．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，，
∴，故①正确；
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
故②正确；
∵，，
∴四边形的面积是；
故③错误；
∵，
∴
∴．
故④正确．
综上所述，正确的是①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
17. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是____________.
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性即可得出答案．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，
这里所运用的几何原理是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
18. 如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为__________．
【答案】或10
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段上时，②当点E在线段延长线上时，点F作的平行线，交于点H，交于点G，先求出，再求出，设，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即；
②当点E在线段延长线上时，
过点F作的平行线，交于点H，交于点G，
∵四边形为矩形，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵点F在线段的垂直平分线上，
∴，则，
∵沿直线折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，，
根据勾股定理可得：，即，
解得：，
即．
综上：或．
故答案为：或10．
19. 三角形的三边长，，满足，则此三角形的形状是__________（填锐角或直角或钝角）三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查知识点是勾股定理的逆定理，解题关键是熟记勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且满足，那么这个三角形是直角三角形．
20. 如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．本题根据轴对称图形的概念即可找出符合题意的小方格，注意不要遗漏．
【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．

故答案为：．
21. 如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要___m．
【答案】56.25．
【解析】
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】解：如图：
将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2=（2×3）2+4.52=56.25m
所以，花圈长至少56.25m．
故答案为56.25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
22. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2
【答案】81
【解析】
【详解】解：根据勾股定理知正方形A，B，C，D的面积的和是92=81cm2．
故答案是：81．
三、解答题（共7小题，共78分）
23. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2
即,
在和中，
24. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2∶1，求∠B的度数．
【答案】∠B＝36°
【解析】
【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，可设出∠DAC的度数，由直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．
【详解】解：∵D是线段AB垂直平分线上的点，
∴AD=BD，
∴△DAB是等腰三角形，
∴∠B=∠DAB．
∵∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，
∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，
∴x+2x+2x=90°，
∴x=18°，
∴∠B=36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质，属较简单题目．
25. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．

【答案】秋千绳索的长度为尺
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设尺，
尺，尺，
（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
答：秋千绳索的长度为尺．
26. 在中， ，，过点C在外作直线，于M，于N．与相等吗？请说明理由．
【答案】相等，理由见解析
【解析】
【分析】利用互余关系证明，可证，从而得到，，再利用线段的和差关系可得结论．
【详解】解：与相等．明理由是：
，，
．
，，
，，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
27. 如图1所示，在中，，的垂直平分线交于点N，交或的延长线于点M．
（1）如图1所示，若，求的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的的度数改为80°，其余条件不变，再求的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）15° （2）40°
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
（3）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形内角和定理得出即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：，
理由是：设
∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力，求解过程类似．
28. 如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE．
（1）求证：
（2）若的面积为5，求的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）10．
【解析】
【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明；
（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可．
【详解】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CED中，
所以；
(2)∵在△ABC中，D 是BC的中点
∴
∵
．
答：三角形ACE的面积为10．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
29. 如图，D为等边△ABC的边AC上一点，E为直线AB上一点，CD=BE．
(1)如图1，求证；AD=DE；
(2)如图2，DE交CB于点P．
①若DE⊥AC，PC=6，求BP的长；
②猜想PD与PE之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；(2)①BP=3；②PD=PE，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）只要证明△ADE是等边三角形即可；
（2）①利用直角三角形30度角性质即可解决问题；②过点D作DQ∥AB交BC于点Q，只要证明△CDQ是等边三角形，△DQP≌△EBP（AAS）即可解决问题．
【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=60°，
∵CD=BE，
∴AB-BE=AC-CD，即AD=AE，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴AD=DE．
(2)①∵DE⊥AC，∠A=60°，
∴∠E=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠E=∠BPE=30°=∠CPD，
∴BP=BE，CD=PC=3，
∵CD=BE，
∴BP=BE=3．
②PD=PE，理由如下：
如图2，过点D作DQ∥AB，交BC于点Q，
∴∠CDQ=∠A=60°，∠CQD=∠ABC=60°，∠DQP=∠EBP，
∴△DCQ是等边三角形，
∴DQ=CD=BE．
∵∠DPQ=∠EPB，∠DQP=∠EBP，
∴△DQP≌△EBP，
∴PD=PE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．