69，湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份69，湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 分值：120分
一、选择题(本大题共 10小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)
1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、整理后不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．
2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（ ）
A. 缩小2倍B. 放大2倍C. 不变D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵的三边都放大2倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份∴的值不变，
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键．
3. 甲、乙、丙、丁四名学生参加市中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩都相同，他们的方差按顺序分别是，现在要选一名成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的意义即可解答．
【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四名运动员8次跳高的平均成绩都相同，他们的方差按顺序分别是且，
所以应选运动员乙．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用方差做决策，熟练掌握方差的意义（方差越小，数据波动越小）是解题关键．
4. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
5. 把方程化成的形式，则（ ）
A. 17B. 14C. 11D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案．
【详解】
，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
6. 把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解．
【详解】解：二次函数的图象向左平移1个单位，
再向下平移2个单位后得到的二次函数为，
故选：B．
7. 如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
8. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，则竹竿AB与AD的长度之比为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】在Rt△ABC中，AB=，
在Rt△ACD中，AD=，
∴AB：AD=：=，
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
9. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
10. 如图，的直角顶点与坐标原点重合，，若点在反比例函数的图象上，则过点的反比例函数的比例系数为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握反比例函数中的几何意义是解答本题的关键．
过点作轴于点，过点作轴于点，证明，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数的几何意义可得，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
过点的反比例函数的比例系数．
故选：．
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 已知反比例函数，当时，函数y随x的增大而_____________；
【答案】减小
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，函数y随x的增大而减小．
故答案为：减小
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义直接解答．
【详解】解：如图：
∵在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA＝＝ ．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
13. 如图，某滑雪运动员沿坡比为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为________米．
【答案】15
【解析】
【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为30°，然后运用正弦函数解答即可．
【详解】解：因为坡度比为，即，
∴ ，
由题意可知，运动员沿斜坡滑下30米，
则其下降的高度米．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，得出斜坡坡角的度数是解题关键．
14. 关于x的方程有两个相等的实数根，其中是锐角三角形的一个内角，则___________．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
又∵是锐角三角形的一个内角，
∴．
故答案为：．
15. 二次函数与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的解为_____．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，根据抛物线的对称轴，确定抛物线与轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解．
【详解】二次函数对称轴是
关于的对称点为
一元二次方程的解为，
故答案为，．
16. 已知a、b是方程的两根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题(本大题共9题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
【详解】解：原式
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解；
（2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
移项，得，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
19. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20. 第七届全国学生“学宪法、讲宪法”活动开展以来，全国各地师生积极响应．某校为了解本校学生对宪法知识的了解情况，对八年级学生进行了知识测试，测试成绩全部合格，现随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：
请根据上述统计图表，解答下列问题：
（1）表中___________，___________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）根据以上数据，如果90分以上（含90分）为优秀，若该学校八年级学生有900名，请你估算一下该学校八年级学生成绩优秀的人数．
【答案】（1），18
（2）见解析 （3）该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人．
【解析】
【分析】（1）根据已知频数和频率分数段即可计算调查的总人数，然后根据某个分数段的频率计算该分数段的频数，或者根据频数计算频率；
（2）根据表中数据绘制条形图即可；
（3）使用样本中的优秀率估计总体学生的优秀人数即可．
【小问1详解】
解：参与调查的总人数为：（人），
∴，，
故答案为；18；
【小问2详解】
解：补全的频数分布直方图如下图所示，
；
【小问3详解】
解：∵，
∴该学校八年级学生成绩优秀的人数约为180人．
【点睛】本题主要考查频数分布表，频数以及频率的定义，理解样本与总体、频数与频率之间的区别与联系是求解本题的关键．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于，两点．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值．
【答案】（1）
（2）4或16
【解析】
【分析】（1）先将点A的坐标代入一次函数的表达式可求出m的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数的表达式即可得；
（2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化简可得一个关于x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得．
【小问1详解】
由题意，将点代入一次函数得：，
，
将点代入得：，
解得 ，
则反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为，
联立，
整理得：，
一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，
关于的一元二次方程只有一个实数根，
，
解得：或16，
的值为4或16．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键．
22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．
【小问1详解】
解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，
∵，，，
∴四边形矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
【小问2详解】
解：连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为____________；
（2）若此种头盔的进价为30元个，测算在市场中，当售价为40元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【答案】23. ；
24. ①，；②当时，销售总利润达到最大，最大总利润．
【解析】
【分析】（1）设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程；
（2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量,即可得出关于y的二次函数；
①令，解之取其正值即可；
②利用二次函数的最值求解即可.
【详解】解：（1）；
（2）①由题意可得：，
令，即 ，
解得，.
∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
②，
∴当时，取得最大总利润，
此时
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键.
24. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图 1，在正方形中，点 E、 F分别是 、上的两点，连接、 ，，则的值为 ；
【类比探究】（2）如图 2 ，在矩形 中， ，点 E是 上的一点，连接、 ，且，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，，点E为 上一点，连接，过点 C作的垂线交的延长线于点 G，交 的延长线于点 F，求的值；
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到；
（2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值．
（3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进幼儿可求出．
【详解】（1）设与的交点为G，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
，，
．
在和中
，
，
，
．
故答案为：1
（2）∵四边形是矩形，

，
，
则，
，
∴．
（3）如图，过点F作，
则，，
，
∴四边形是矩形,
，
又，
，
则,
，
，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键．
25. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若关于x的函数是“T函数”，求m的值；
（2）若点与点是关于x的“T函数”，的图象上的一对“T点”，求r，s，t的值；
（3）若关于x的“T函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：（，，且m，n是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【答案】25. ；
26 ，，；
27 直线l必过定点．
【解析】
【分析】本题考查了新定义，关于y轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键．
（1）根据“T函数”的定义可知，的对称轴是y轴，据此求解即可；
（2）先根据关于y轴对称的点坐标变换规律，可得r、s的值，从而可得点A的坐标，再将点A的坐标代入“T函数”即可得；
（3）由过原点得，再根据“T函数”的定义可得，从而可得，与直线联立，可得，，根据可得从而进而可求出直线l必过定点．
【小问1详解】
依题意得：，且，
解得；
【小问2详解】
∵点与点是一对“T点”，
∴A，B关于y轴对称，
∴，，
∴A的坐标为，
把代入是关于x的“T函数”中，得：；
【小问3详解】
∵过原点，
∴，
∵是“T函数”，
∴，
∴，
联立直线l和抛物线得：，即：，
∴，，
又∵，
∴，即，
∴，
当时，，
∴直线l必过定点．分数段
频数
频率
9
a
36
0.4
27
0.3
0.2