2023-2024学年广东省惠州市大亚湾区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市大亚湾区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.无理数6− 13的大小在( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
3.下列计算正确的是( )
A. (2a2)3=6a6B. a8÷a2=a4
C. (−2)2=2D. (a−b)2=a2+b2
4.已知ab=25，则a2−b2a2−ab的值为( )
A. 72B. 35C. 25D. 23
5.下列说法正确的是( )
A. 相等的角是对顶角
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
6.下列说法正确的是( )
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B. 一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
7.如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，点E在AB上，连接BD、BE、EA，若∠P=40°，则∠E的度数为( )
A. 50°
B. 65°
C. 115°
D. 130°
8.准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为( )
A. 1mB. 54mC. 2mD. 65m
9.如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则△BDE面积为( )
A. 45B. 65C. 95D. 185
10.小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.计算：2−1× 8−|1− 2|= ______．
12.不等式组：−2x+1≤x−12x−1<12(x+4)的解集是______．
13.由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为______元．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为______．
15.如图，点A在双曲线y=kx(k>0,x>0)上，点B在直线l：y=mx−2(m>0)上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，则k的值为______．
16.如图，直线y=−32x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是______．
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程：x2−4x−2m+5=0有两个不相等实数根x1，x2．
(1)若m=5，求此时方程的解；
(2)当x1⋅x2>0时，求m的取值范围．
18.(本小题8分)
如图1是某厂房遮雨棚示意图(尺寸如图所示)，遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形.如图2是遮雨棚顶部截面示意图，AB所在圆的圆心为O.求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
19.(本小题8分)
一张方桌设有四个座位，丙先坐了如图所示的座位上，甲、乙、丁3人等可能坐到①、②、③中的3个座位上．
(1)甲坐①号座位的概率是______；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲、乙坐同侧共排的概率．
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、D坐标分别是(2,0)、(8,0)、(0,4)，顶点C在函数y=kx(x>0)的图象上．
(1)求k的值；
(2)将▱ABCD沿y轴向下平移，当顶点B落在y=kx(x>0)的图象上时，边CD与该函数图象相交于点E，连接EB，求此时△BEC的面积．
21.(本小题10分)
某水果超市销售某种水果，其成本是每千克12元，售价为每千克27元时，每天可销售120kg.超市在销售过程中发现售价每降低2元时，每天销量可增加80kg，于是决定调整销售策略，降低销售这种水果．
(1)若超市每天要获销售利润3080元，又要尽可能让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元；
(2)当销售单价定为多少时，超市所获利润最大，最大利润是多少？
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转得到A′BC′，旋转角为α(0°<α<360°)，过点A作AE//C′A′交直线CC′于点E，交AA′于点D．
(1)求证：ED=C′D；
(2)若∠ABC=60°，在△ABC绕点B旋转过程中是否存在某个时刻，使得EC′=AA′，如果存在，请直接写出此时α的度数；如果不存在，说明理由．
23.(本小题13分)
如图，AB是⊙O直径，点C为劣弧BD中点，弦AC、BD相交于点E，点F在AC的延长线上，EB=FB，FG⊥DB，垂足为G．
(1)求证：DE=BG；
(2)求证：BF是⊙O的切线；
(3)若DEEG=23时，AE=4，求⊙O的直径AB的长．
24.(本小题13分)
【知识与方法】
如图1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，AC/​/x轴，BC//y轴，则C(______，______)，AC= ______，BC= ______．
【知识应用】
如图2，勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标数据(单位：km)，笔直铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为______km；
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．
【知识拓展】
如图3，点B是抛物线y=x2−4 3x与x轴的一个交点，点D在抛物线对称轴上且位于x轴的上方，∠DOB=30°，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线OD的距离最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：∵ 9< 13< 16，
即3< 13<4，
∴−4<− 13<−3，
∴6−4<6− 13<6−3，
即2<6− 13<3，
故选：B．
先用夹逼法估算 13的取值范围，进一步得出− 13的取值范围，再估算6− 13的取值范围即可．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意；
B.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；
C. (−2)2=2，故此选项符合题意；
D.(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完全平方公式分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵ab=25，
∴设a=2k，b=5k，
∴a2−b2a2−ab
=(a+b)(a−b)a(a−b)
=a+ba
=2k+5k2k
=72．
故选：A．
首先根据ab=25，设a=2k，b=5k，再将a2−b2a2−ab化简为a+ba，然后将a=2k，b=5k代入计算即可得出答案．
此题主要考查了分式的运算，求分式的值，熟练掌握分式的约分，以及求分式值的方法与技巧是解决问题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：D．
根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答案．
本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定理以及性质进而判定出命题的正确性．
6.【答案】C
【解析】解：A.为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B.数据1，2，5，5，5，3，3的众数是5.平均数为247，故本选项不合题意；
C.若甲、乙两组数据的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，说法正确，故本选项符合题意；
D.抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面向上”，故本选项不合题意；
故选：C．
选项A根据抽样调查和全面调查的意义判断即可；选项B根据众数和平均数的定义判断即可；选项C根据方差的意义判断即可；选项D根据随机事件的定义判断即可．
本题考查了方差，众数，平均数以及全面调查与抽样调查，掌握相关定义是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：连接DE，
∵AD是圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴直径DA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°−∠P=50°，
∴∠BOD=∠AOP=50°，
∴∠BED=12∠BOD=25°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=90°+25°=115°．
故选：C．
连接DE，由圆周角定理得到∠AED=90°，由切线的性质得到∠PAO=90°，求出∠AOP=90°−∠P=50°，由对顶角的性质得到∠BOD=∠AOP=50°，由圆周角定理得到∠BED=12∠BOD=25°，即可求出∠AEB=∠AED+∠BED=115°．
本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由切线的性质得到∠AED=90°，由圆周角定理得到∠BED=12∠BOD．
8.【答案】B
【解析】解：设小路的宽度为xm，则四条小路的长为(30+4x+24+4x)m，
依题意，得：x(30+4x+24+4x)=80，
整理，得：4x2+27x−40=0，
解得：x1=54，x2=−8(不合题意，舍去)．
故选：B．
设小路的宽度为xm，则四条小路的长为(30+4x+24+4x)m，根据四条小路所占面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由图得，∠AHB=90°，AH=2，BH=4，AC=CF=2，CG=FD=1，∠ACG=∠CFD=90°，
由勾股定理得，
AB= AH2+BH2= 22+42=2 5，
CD= CF2+FD2= 22+12= 5，
由图得，AC/​/BD，BD=3，AC=2，
∴BDAC=BEAE=DECE=32，
即BE=32AE，DE=32CE，
∴32AE+AE=2 5，32CE+CE= 5，
∴AE=4 55，CE=2 55，
∴BE=6 55，DE=3 55，
在△AGC和△CDF中，
AC=CF∠ACG=∠CFDCG=FD，
∴△AGC≌△CDF(SAS)，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠CAG+∠CGA=90°，
∴∠FCD+∠CGA=90°，
∴∠CEG=90°，
∴∠DEB=90°，
∴S△BDE=12BE⋅DE=12×6 55×3 55=95，
故选：C．
先由勾股定理求出AB、CD的长，再根据平行线分线段成比例定理求出BE与AE、DE与CE之间的数量关系，从而求出BE、DE的长，再证得△AGC和△CDF全等，即可证得∠DEB=90°，于是根据直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直角三角形的面积等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y=(x−2)2，当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2,0)，故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y=(x−1)2−1，当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2,0)，故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=x2−4，当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2,0)，故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y=−x2+4，当x=2时，y=0，所以平移后的抛物线过点(2,0)，故④符合题意；
故选：D．
分别求出平移或翻折后的解析式，将点(2,0)代入可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求出平移或翻折后的解析式是解题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：原式=12×2 2+1− 2
= 2+1− 2
=1．
故答案为：1．
先根据负整数指数幂和绝对值的意义计算，然后把 8化简后进行乘法运算，最后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和负整数指数幂是解决问题的关键．
12.【答案】23≤x<2
【解析】解：−2x+1≤x−1①2x−1<12(x+4)②，
解不等式①，得x≥23，
解不等式②，得x<2，
故不等式组的解集为23≤x<2．
故答案为：23≤x<2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】300
【解析】解：设该商品的原售价为x元，
依题意得：75%x+25=90%x−20，
解得：x=300．
故答案为：300．
设该商品的原售价为x元，根据“如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出该商品的原售价．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ= OP2−1，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【解答】
解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，OQ= OP2−PQ2= OP2−1，
∴当OP最小时，OQ最小，
∴当OP垂直于直线y=2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为： 22−1= 3．
故答案为： 3．
15.【答案】 3
【解析】解：设AB与x轴交于点D，如图所示：

对于y=mx−2(m>0)，当x=0时，y=−2，
∴点C的坐标为(0,−2)，
∴OC=2，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=AB=OC=2，
∵点A，B关于x轴对称，
∴AD⊥x轴，AD=12AB=1，
在Rt△OAD中，OA=2，AD=1，
由勾股定理得：OD= OA2−AD2= 3，
∴点A的坐标为( 3,1)，
∵点A在双曲线y=kx(k>0,x>0)上，
∴k= 3×1= 3．
故答案为： 3．
设AB与x轴交于点D，先求出点C(0,−2)，则OC=2，根据菱形的性质得OA=AB=OC=2，再根据点A，B关于x轴对称得AD⊥x轴，AD=12AB=1，然后在Rt△OAD中，由勾股定理求出OD= 3，进而得点A的坐标为( 3,1)，最后将点A代入双曲线y=kx之中即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点，菱形的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握菱形和轴对称图形的性质，理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．
16.【答案】(−1,−2)或(5,2)
【解析】解：当y=0时，−32x+3=0，解得x=2，
当x=0时，y=3，
所以，点A(2,0)，B(0,3)，
所以，OA=2，OB=3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′(−1,−2)，
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′(5,2)，
综上，点B′的坐标是(−1,−2)或(5,2)．
故答案为：(−1,−2)或(5,2)．
根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据旋转性质可得△AOB≌△AO′B′，根据全等三角形对应边相等可得AO′、O′B′的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
本题考查了坐标与图形的变化−旋转，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的性质与大小求解是解题的关键，注意要分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答．
17.【答案】解：(1)由题意得：x2−4x−2×5+5=0，
整理得：x2−4x−5=0，
解得：x1=5，x2=−1；
(2)∵x2−4x−2m+5=0有两个不相等实数根x1，x2，
∴x1⋅x2=−2m+5，
∵x1⋅x2>0，
∴−2m+5>0，
解得：m<52，
∵Δ=(−4)2−4(−2m+5)>0，
解得：m>12，
∴m的取值为：12【解析】(1)把相应的值代入，再解方程即可；
(2)利用根与系数的关系进行解答即可．
本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是一元二次方程的理解．
18.【答案】解：图2中，EF=2米，AE=2 3米，
设OA=x米，则OE=(x−2)米，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，
OA2=OE2+AE2，
即x2=(x−2)2+(2 3)2，
解得x=4，
即OA=4米，
∵AE=2 3米，
∴sin∠AOE=AEOA=2 34= 32，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=120°，
∴AB的长为120π×42180=32π3(米)，
∴覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要帆布的面积为32π3×60=640π(平方米)．
【解析】根据垂径定理和勾股定理求出半径和圆心角度数，再根据弧长公式求出弧AB的长，再求出盖厂房遮雨棚顶部需要帆布的面积即可．
本题考查截一个几何体，几何体的表面积以及与圆有关的计算，掌握垂径定理、勾股定理、弧长的计算公式是正确解答的关键．
19.【答案】13
【解析】解：(1)∵甲、乙、丁3人等可能坐到①、②、③中的3个座位上，
∴甲坐①号座位的概率是13，
故答案为：13；
(2)画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中甲、乙坐同侧共排的结果有2种，即②③，③②，
∴甲、乙坐同侧共排的概率=26=13．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，有6种等可能的结果，其中甲、乙坐同侧共排的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)∵A(2,0)、B(8,0)，
∴AB=6，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∴C(6,4)，
∵C点在函数y=kx(x>0)的图象上．
∴k=xy=6×4=24；
(2)平移后如图，由(1)可知反比例函数解析式为y=24x，
将x=8代入y=24x得，y=3，
∴B(8,3)，C(6,7)，D(0,7)，
∴直线CD为：y=7，
∴E(247,7)，
∴EC=6−247=187，
∴S△BEC=12×187×4=367．
【解析】(1)根据条件，求出点C的坐标即可求出k值；
(2)画出平移后图象，得到平移后B(8,3)，C(6,7)，D(0,7)，根据面积公式计算即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
21.【答案】解：(1)设这种水果应降低x元，
根据题意，得(27−x−12)(120+x2×80)=3080．
解得x1=4，x2=8．
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以x=8符合题意．
所以27−x=27−8=19(元)．
答：这种水果的销售单价应为19元；
(2)设这种水果应降低x元时，超市所获利润为y元，
根据题意得y=(27−x−12)(120+x2×80)=−40x2+480x+1800=−40(x−6)2+3240，
∵−40<0，
∴当x=6时，y有最大值，最大值为3240，
答：当销售单价定为21时，超市所获利润最大，最大利润是3240元．
【解析】(1)这种水果应降低x元，超市每天可获得销售利润3080元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：如图，连接AE，AC′，

∵BC=BC′，
∴∠C′CB=∠CC′B，
∵∠ACB=∠AC′B=90°，∠EC′C=180°，
∴∠ACC′=∠ACB−∠C′CB=90°−∠C′CB，
∠EC′A′=∠EC′C−∠AC′B−∠CC′B=180°−90°−∠CC′B=90°−∠CC′B，
∴∠ACC′=∠EC′A′，
∵AE//C′A′，
∴∠EC′A′=∠AED，
∴∠ACC′=∠AED，
∴AC=AE，
由旋转的性质可得，AC=A′C′，
∴AE=A′C′．
∵AE//C′A′，
∴四边形AC′A′E是平行四边形，
∴ED=C′D．
(2)解：如图，当点C′在线段AB上时，

∵∠AC′B=90°，点C′在线段AB上，
∴∠AC′A′=90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴四边形AC′A′E是矩形，
∴EC′=AA′，
∵∠ABC=60°，
∴此时旋转角α的度数为60°．
如图，当点C′在线段AB的延长线上时，

∵∠AC′B=90°，点C′在线段AB的延长线上，
∴∠AC′A′=90°，
∵四边形AC′A′E是平行四边形，
∴▱AC′A′E是矩形，
∴EC′=AA′，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBC′=120°，
∴此时旋转角α的度数为240°，
故存在，此时旋转角α的度数为60°或240°．
【解析】(1)连接AE，AC′，根据旋转的性质得出AE=A′C′.证明四边形AC′A′E是平行四边形即可得证；
(2)由(1)问可知，四边形AC′A′E为平行四边形，当其为矩形时，可使对角线EC′=AA′.在△ABC的旋转过程中，当点C′在直线AB上时，可使∠AC′A′为直角，此时平行四边形AC′A′E为矩形，求出此时对应的旋转角α即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，以及旋转的性质，正确作出辅助线是解题关键．
23.【答案】证明：(1)过点E作EM⊥AB于点M，连接BC，如图所以：
∵点C为劣弧BD中点．
∴∠DAE=∠EAB．
∵AD⊥BD，EM⊥AB．
∴ED=EM．
∵BC⊥AC，BE=BF．
∴∠EBC=∠FBC．
又∵∠DAE=∠DBC．
∴∠DAB=∠EBF．
∵∠DAB+∠ABD=∠EBF+∠BFG=90°．
∴∠ABD=∠BFG．
在△EMB和△BGF中．
∠EMB=∠BGF=90°∠ABD=∠BFGBE=BF．
∴△EMB≌△BGF(AAS)．
∴EM=BG．
∴DE=BG．
证明：(2)由(1)可知，∠ABD=∠BFG．
∵FG⊥BD．
∴∠EBF+∠BFG=90°．
∴∠EBF+∠ABD=90°．
∴∠ABF=90°．
∵AB是⊙O直径．
∴BF是⊙O的切线．
解：(3)设DE=2x，则EG=3x，
由(1)可知BG=DE=2x．
∴FB=BE=5x．
在Rt△BGF中，FG= (5x)2−(2x)2= 21x.
∵tan∠FBG=tan∠DAB．
∴FGBG=DBAD．
即 21x2x=7xAD．
解得AD=23 21x.
在Rt△ADE中，AD2+DE2=42．
即(23 21x)2+(2x)2=42．
解得x2=65．
Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=283x2+49x2=70．
∴AB= 70．
【解析】(1)过点E作EM⊥AB于点M，连接BC，由等弧所对的圆周角相等可得∠DAB=∠EAB，根据角平分线的性质可得ED=EM，易证△EMB≌△BGF，可得EM=BG，即可证得DE=BG．
(2)由(1)可知，∠ABD=∠BFG，易证∠ABF=90°，即可证得BF是⊙O的切线．
(3)设DE=2x，则EG=3x，可得可知BG=DE=2x，FB=BE=5x，根据tan∠FBG=tan∠DAB，可得AD=23 21x，再根据勾股定理可求得AB的长．
本题考查圆的综合运用，涉及圆周角，切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】x2 y1 x2−x1 y1−y2 20 13
【解析】解：【知识与方法】∵AC/​/x轴，
∴C点与A点的纵坐标相同，
∵BC/​/y轴，
∴C点与B点的横坐标相同，
∴D(x2,y1)，
∴AC=x2−x1，BC=y1−y2，
故答案为：x2，y1，x2−x1，y1−y2；
【知识应用】(1)∵A(12,1)，B(−8,1)，
∴AB/​/x轴，
∴AB=20，
故答案为：20；
(2)如图建立坐标系，
∵修从C到铁路AB的最短公路，
∴l⊥AB，
∴C点在y轴上，
∵D到A，C的距离相等，
∴AD=CD，
∴D点在AC的垂直平分线上，
设D(0,t)，
∴ 144+(t−1)2=t+17，
解得t=−4，
∴D(0,−4)，
∴CD=13，
故答案为：13；
【知识拓展】当y=0时，x2−4 3x=0，
解得x=0或x=4 3，
∴B(4 3,0)，
∵y=x2−4 3x=(x−2 3)2−12，
∴抛物线的对称轴为直线x=2 3，
∴OE=2 3，
∵∠DOB=30°，
∴DE=OE⋅tan30°=2，
∴D(2 3,2)，
设直线OD的解析式为y=kx，
∴2 3k=2，
解得k= 33，
∴直线OD的解析式为y= 33x，
过点P作PQ/​/y轴交DO于点Q，
设P(t,t2−4 3t)，则Q(t, 33t)，
∴PQ= 33t−t2+4 3t=−t2+133 3t=−(t−13 36)2+16912，
当t=13 36时，PQ的值最大，此时△POD的面积最大，点P到直线OD的距离也最大，
设P点到直线OD的距离为h，
∴12×2 3×16912=12×4h，
∴h=169 324，
∴点P到直线OD的距离最大值为169 324．
【知识与方法】与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等，与y轴平行的直线上的点的横坐标相等；
【知识应用】(1)根据AB/​/x轴，可求AB的长；
(2)根据题意建立坐标系，可知C点在y轴上，再结合已知可知D点在AC的垂直平分线上，设D(0,t)，由DA=CD可得 144+(t−1)2=t+17，求出D点坐标，即可求CD的长；
【知识拓展】先求出D(2 3,2)，直线OD的解析式为y= 33x，过点P作PQ/​/y轴交DO于点Q，设P(t,t2−4 3t)，则Q(t, 33t)，当t=13 36时，PQ的值最大，此时△POD的面积最大，点P到直线OD的距离也最大，设P点到直线OD的距离为h，根据等积法可得12×2 3×16912=12×4h，求出h=169 324，即为点P到直线OD的距离最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，线段垂直平分线的性质，利用等积法求点P到直线OD的距离最大值是解题的关键．