2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省湖州市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|x2-x-2≤0}，B={x|x<1}，则A∩B=( )
A. (-1,1)B. {-1,0}C. [-1,2]D. {-1,0,1,2}
2.已知复数z满足(1-i)(i-z)=3+i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数z-=( )
A. -1-2iB. -1+2iC. -1-iD. -1+i
3.设a=lg26，b=lg515，c=lg721，则( )
A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c
5.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)对任意x∈(0,3π4)都有f(x)>12，则当ω取到最大值时，函数f(x)图象的一条对称轴是( )
A. x=9π28B. x=27π28C. x=9π20D. x=27π20
6.已知单位向量a，b满足|a-2b|= 7，则a在b上的投影向量是( )
A. 12aB. -12aC. 12bD. -12b
7.7个人排成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( )
A. 480种B. 720种C. 960种D. 1200种
8.已知函数f(x)的定义域为R，若f(2x+1)为偶函数，f(x+2)为奇函数，则( )
A. f(-1)=0B. f(1)=0C. f(2022)=0D. f(2023)=0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2023年6月18日，很多商场都在搞“618”促销活动.市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据(如表所示)，用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是y =-0.32x+a ，相关系数r=-0.9923，则下列说法正确的有( )
A. 变量x与y负相关且相关性较强B. a =40
C. 当x=75时，y的估计值为14.5D. 相应于点(95,10)的残差为0.4
10.已知函数f(x)的图象是由函数y=2sinxcsx的图象向右平移π6个单位得到，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)在区间[-π6,π3]上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x=π3对称D. f(x)的图象关于点(π6,0)对称
11.已知a>0，b>0，且a2+b=1，则( )
A. a2-b≤-1B. 12<2a- b<2
C. a+ b≤ 2D. lg2a+lg2 b>-1
12.已知函数f(x)=|ex-1|，x1<0，x2>0，函数y=f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线与在点B(x2,f(x2))处的切线互相垂直，且分别与y轴交于M、N两点，则( )
A. x1+x2为定值B. x1x2为定值
C. 直线AB的斜率取值范围是(0,+∞)D. |AM||BN|的取值范围是(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知(x-1x3)n(n∈N+,3≤n≤16)的展开式中含有常数项，则n的一个可能取值是______.
14.设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)=______，D(ξ)=______.
15.湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3：2：1，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是______.
16.在四面体ABCD中，AB=CD= 3，BC=2 3，且AB⊥BC，CD⊥BC，异面直线AB，CD所成角为π3，则该四面体外接球的表面积是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设袋子中装有大小相同的6个红球和4个白球，现从袋中任取4个小球(每球取出的机会均等).
(1)求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率；
(2)若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，记X表示取出的4个球的总得分，求随机变量X的分布列和数学期望.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga2-x2+x(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的奇偶性；
(2)若关于x的方程f(x)=lga(x-m)有实数解，求实数m的取值范围.
19.(本小题12分)
第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本次亚运会共设40个大项，61个分项，482个小项.为调查学生对亚运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为10n(n∈N*)，统计得到以下2×2列联表，经过计算可得K2≈4.040.
(1)求n的值，并判断有多大的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
(2)①为弄清学生不了解亚运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对亚运会项目了解的人数为X，求随机变量X的数学期望.
附表：
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π6).
(1)求A；
(2)设AB的中点为D，若CD=a，且b-c=1，求△ABC的面积.
21.(本小题12分)
如图，圆台O1O2的上底面的半径为1，下底面的半径为 2，AB是圆台下底面的一条直径，PO1是圆台上底面的一条半径，C为圆O2上一点，点P，C在平面AO1O2的同侧，且AC=BC，PO1//BC.
(1)证明：PO1⊥平面PAC；
(2)若三棱锥P-ABC的体积为43，求平面PO1A与平面PBC所成角的正弦值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex-ax，g(x)=lnx-ax，a∈R.
(1)当a=1时，求函数y=f(g(x))的单调区间；
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值为m，求函数F(x)=ex-emlnx的最小值.
(其中e≈2.71828是自然对数的底数)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出集合A，利用交集定义能求出A∩B.
【解答】
解：∵集合A={x∈Z|x2-x-2≤0}={x∈Z|-1≤x≤2}={-1,0,1,2}，
B={x|x<1}，
∴A∩B={-1,0}.
故选：B.
2.【答案】D
【解析】解：∵(1-i)(i-z)=3+i，
∴z=i-3+i1-i=i-(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=-1-i，
∴复数z的共轭复数为z-=-1+i.
故选：D.
根据复数的除法得到复数z，再根据共轭复数即可求得结果．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：lg26>lg24=2，1∵0∴1lg35>1lg37；
∴lg515>lg721；
∴a>b>c.
故选：D.
容易看出lg26>2，11lg37，从而得出lg515>lg721，这样即可得出a，b，c的大小关系．
考查对数函数的单调性，增函数的定义，对数的换底公式，以及不等式的性质．
4.【答案】

【解析】
5.【答案】A
【解析】解：∵x∈(0,3π4)，ω>0，
∴π4<ωx+π4<3πω4+π4，
∵f(x)>12，∴3πω4+π4≤5π6，
∴0<ω≤79，所以ω的最大值为79，
当ω=79时f(x)=sin(79x+π4)，令79x+π4=kπ+π2,k∈Z，
解得x=9π28+97kπ,k∈Z，
当k=0时，对称轴为x=9π28，故A正确；
若9π28+97kπ=27π28，则k=12∉Z，故B错误；
若9π28+97kπ=9π20，则k=110∉Z，故C错误；
若9π28+97kπ=27π20，则k=45∉Z，故D错误．
故选：A.
先根据x∈(0,3π4)，得到π4<ωx+π4<3πω4+π4，结合f(x)>12，得到3πω4+π4的范围，求出ω的范围，进而得到ω的最大值，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：由已知得|a-2b|2=a2-4a⋅b+4b2=7，
因为|a|=|b|=1，所以1-4a⋅b+4=7，即a⋅b=-12.
所以a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|(b|b|)=-12b.
故选：D.
先将|a-2b|= 7两边平方得到向量的数量积，再根据a在b方向上的投影向量公式得出结果．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，
与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，
把形成的五个空选两个排列丙和丁，
根据分步计数原理知共有A44A22A52=960.
故选：C.
本题是一个分步计数问题，甲、乙要求相邻，则把甲和乙看成一个元素，与除去丙和丁以外的共4个元素进行全排列，其中甲和乙之间还有一个排列，根据丙和丁不相邻，把形成的五个空选两个排列丙和丁．得到结果．
本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题，对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理．
8.【答案】C
【解析】解；函数f(x+2)为奇函数，则f(x+2)=-f(-x+2)，可得f(x)=-f(-x+4)
函数f(2x+1)为偶函数，则f(2x+1)=f(-2x+1)，可得f(x+1)=f(-x+1)，
所以f(x)=f(-x+2)，即-f(-x+4)=f(-x+2)，即f(x+2)=-f(x)，
即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，故函数f(x)是以4为周期的函数，
由f(x+2)=-f(-x+2)，令x=0，得f(2)=-f(2)，知f(2)=0，
则f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0，故C正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故ABD不一定成立．
故选：C.
根据奇偶性可求得函数f(x)是以4为周期的函数，再利用赋值法求函数值，即可判断．
本题主要考查函数的奇、偶性，以及周期性，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对A，由回归直线可得变量x，y线性负相关，且由相关系数|r|=0.9923可知相关性强，故A正确；
对B，由题可得x-=15(90+95+100+105+110)=100，y-=15(11+10+8+6+5)=8，
故回归直线恒过点(100,8)，故8=-0.32×100+a ，即a =40，故B正确；
对C，当x=75时，y =-0.32×75+40=16，故C错误；
对D，相应于点(95,10)的残差e =10-(-0.32×95+40)=0.4，故D正确．
故选：ABD.
根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将x=75代入回归直线方程判断C，求得x=95时y的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D.
本题主要考查相关系数的性质，考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：y=2sinxcsx=sin2x，y=sin2x向右平移π6个单位得到：y=sin2(x-π6)=sin(2x-π3)，
∴f(x)=sin(2x-π3)，
∴f(x)的最小正周期为π，A正确；
x∈[-π6,π3]时，2x-π3∈[-2π3,π3]，∴f(x)在[-π6,π3]上没有单调性，B错误；
解x=π3时，2x-π3=π3，∴x=π3不是f(x)的对称轴，C错误；
解2x-π3=0得，x=π6，∴(π6,0)是f(x)的对称中心，D正确．
故选：AD.
根据条件得出f(x)=sin(2x-π3)，从而判断A正确；由x∈[-π6,π3]得出2x-π3∈[-2π3,π3]，从而判断B错误；x=π3时，得出2x-π3=π3，判断C错误；解2x-π3=0可得出D正确．
本题考查了三角函数的平移变换，y=Asin(ωx+φ)的周期的计算公式，正弦函数的单调区间，正弦函数的对称轴和对称中心，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，当a2=b=12时，a2-b=0，故A错误；
对于B，a>0，b>0，且a2+b=1，则0所以-1对于C，(a+ b)2=a2+b+2a b=1+2 a2b≤1+a2+b=2，仅当a= 22,b=12取等号，
又a+ b>0，则a+ b≤ 2，故C正确；
对于D，lg2a+lg2 b=lg2a b=lg2 a2b≤lg2a2+b2=lg212=-1，仅当a= 22,b=12取等号，故D错误．
故选：BC.
用特值法判断A；
推出a- b范围，结合指数函数的单调性判断B；
利用基本不等式判断C；利用对数的运算性质结合基本不等式判断D.
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：当x<0时，f(x)=1-ex，导数为f'(x)=-ex，
可得在点A(x1,1-ex1)处的斜率为k1=-ex1，
切线AM的方程为y-(1-ex1)=-ex1(x-x1)，
令x=0，可得y=1-ex1+x1ex1，即M(0,1-ex1+x1ex1)，
当x>0时，f(x)=ex-1，导数为f'(x)=ex，
可得在点B(x2,ex2-1)处的斜率为k2=ex2，
令x=0，可得y=ex2-1-x2ex2，即N(0,ex2-1-x2ex2)，
由f(x)的图象在A，B处的切线相互垂直，可得k1k2=-ex1⋅ex2=-1，
即为x1+x2=0，x1<0，x2>0，故A正确，B错误；
直线AB的斜率kAB=ex2-1-(1-ex1)x2-x1=ex2+ex1-2x2-x1≥2 ex2ex1-2x2-x1=2 e^x2+x1-2，
因为x1≠x2，所以上面不等式中的等号不成立，故C正确；
|AM|= x12+(x1ex1)2= 1+e2x1(-x1),|BN|= x22+(x2ex2)2= 1+e2x2⋅x2，
|AM||BN|= 1+e2x1(-x1) 1+e2x2⋅x2= 1+e2x1 1+e-2x1=ex1∈(0,1)，故D正确．
故答案为：ACD.
结合导数的几何意义可得x1+x2=0，即可判断AB；结合基本不等式可判断C；结合直线方程及两点间距离公式可得|AM|，|BN|，化简可判断D.
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】4，8，12，16
【解析】解：∵(x-1x3)n(n∈N+,3≤n≤16)的展开式中含有常数项，
它的通项公式为Tr+1=Cnr⋅(-1)r⋅xn-4r，
∴n-4r=0有解，即n=4r，r=0，1，2，⋅⋅⋅，
则n的一个可能取值是4，8，12，16.
故答案为：4，8，12，16.
由题意，求得二项式的通项公式，由题意，可得x的幂指数等于零有解，由此可得n的取值范围．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】12-p 14
【解析】解：由ξ的分布密度曲线关于x=1对称，可知μ=1，σ=12，
又P(ξ<0)=p，所以P(0<ξ<1)=12-P(ξ<0)=12-p，D(ξ)=σ2=14.
故答案为：12-p；14.
由密度曲线可知μ=1，σ=12，根据正态分布的性质计算可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为3：2：1，三所学校共有数学强基学生48人，
则甲校的数学强基小组人数24；乙校的数学强基小组人数为16；丙校的数学强基小组人数8，
所有学生的成绩平均分为117，方差为21.5.已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为118和114，方差分别为15和21，
把甲校的数学强基小组学生的平均分记为x-=118，方差记为sx2=15；
把乙校的数学强基小组学生的平均分记为y-=114，方差记为sy2=21；
把丙校的数学强基小组学生的平均分记为z-，方差记为sz2；
把所有学生的平均分记为ω-=117，方差记为s2=21.5.
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得ω-=2448x-+1648y-+848z-，即117=2448×118+1648×114+848z-，解得z-=120，
因此，s2=148{24[sx2+(x--ω-)2]+16[sy2+(y--ω-)2]+8[sz2+(z--ω-)2]}，
即21.5=148{24×[15+(118-117)2]+16×[21+(114-117)2]+8×[sz2+(120-117)2]}，
解得sz2=12.
故答案为：12.
根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与方差的计算公式求解．
本题主要考查平均数与方差的计算公式，属于基础题．
16.【答案】16π或24π
【解析】解：如图：过B作BE//CD且BE=CD，连接DE，AE，过A作AF//DE且AF=DE，连接CF，DF，
因为CD⊥BC，所以BE⊥BC，又AB⊥BC，AB∩BE=B，AB，BE⊂面ABE，
所以BC⊥面ABE，所以可以将四面体ABCD补成一个如图所示的直三棱柱ABE-FCD，
所以四面体ABCD与直三棱柱ABE-FCD有共同的外接球，
且球心位于底面ABE外心沿BC方向的BC2处，即R= r2+(BC2)2，(设四面体的外接球半径为R，△ABE的外接圆半径为r)，
因为异面直线AB，CD所成角为π3，所以∠ABE=π3或2π3，
当∠ABE=π3时， 3sin60∘=2r,r=1，
当∠ABE=2π3时，AE=3，则3sin120∘=2r,r= 3，
则R= r2+(BC2)2= r2+3，
所以该四面体外接球的半径R=2或 6，
则外接球的表面积为4πR2=16π或24π，
故答案为：16π或24π.
由题意将四面体补成一个直三棱柱，由此可求出外接球的半径，求得答案．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，
则P=C63C41+C64C40C104=1942；
(2)由题意X所有可能的取值为：X=4，5，6，7，8，
则P(X=4)=C60C44C104=1210,P(X=5)=C61C43C104=435,P(X=6)=C62C42C104=37，P(X=7)=C63C41C104=821,P(X=8)=C64C40C104=114，
所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望为E(X)=4×1210+5×435+6×37+7×821+8×114=325.
【解析】(1)取出的4个小球中红球个数比白球个数多的事件分为：3个红球1白球、4个红球，结合古典概型公式求解；
(2)由题意X所有可能的取值为：X=4，5，6，7，8，求出对应概率，得随机变量X的分布列，利用数学期望公式计算期望．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由2-x2+x>0得-2∴函数f(x)的定义域为(-2,2)；
又f(-x)+f(x)=lga2+x2-x+lg22-x2+x=lga(2+x2-x⋅2-x2+x)=lga1=0，
所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数．
(2)方程f(x)=lga(x-m)有实根，也就是方程2-x2+x=x-m即m=x-2-x2+x在(-2,2)内有解，
∴实数k属于函数y=x-2-x2+x=x+1-42+x在(-2,2)内的值域．
令x+2=t，则t∈(0,4)，因为y=t-4t-1在(0,4)内单调递增，所以t-4t-1∈(-∞,2).
故实数m的取值范围是(-∞,2).
【解析】(1)根据函数奇偶性的定义，计算即可求解；
(2)方程f(x)=lga(x-m)有实根，也就是方程2-x2+x=x-m即m=x-2-x2+x在(-2,2)内有解，从而得出实数k属于函数y=x-2-x2+x=x+1-42+x在(-2,2)内的值域．利用换元法求出其值域即可得到实数m的取值范围；
本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查换元法以及对数的运算性质，突出考查运算求解能力与化归、转化思想．属于中档题．
19.【答案】解：(1)被调查的男女生人数均为10n(n∈N*)，其中男生中了解的有6n，则不了解的有4n，
其中女生中不了解的有5n，则了解的有5n，
2×2列联表如下表所示：
K2=20n×(6n×5n-4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，又n∈N*，可得n=20，
因为P(K2≥3.841)=0.05，
所以有95%的把握认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关；
(2)①采用分层抽样的方法从抽取的不了解亚运会项目的学生中随机抽取9人，
所以这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，
再从这9人中抽取3人进行面对面交流，
“至少抽到一名女生”的概率为P=1-C43C93=2021；
②由题意可知X∼B(10,1120)，故E(X)=10×1120=112.
【解析】(1)完善2×2列联表，根据K2的计算可得出关于n的等式，即可解得正整数n的值，结合临界值表可得出结论；
(2)①分析可知，抽取的这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合数结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
②分析可知X∼B(10,1120)，利用二项分布的期望公式可求得E(X)的值．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵b+c=2asin(C+π6)，
∴sinB+sinC=2sinAsin(C+π6)，
∴sinB+sinC=2sinA( 32sinC+12csC)，
∴sinB+sinC= 3sinAsinc+sinAcsC，
又∵B=π-(A+C)，∴sinB=sin(A+C)，
∴sin(A+C)+sinC= 3sinAsinc+sinAcsC，
∴sinAcsC+csAsinC+sinC= 3sinAsinC+sinAcsC，
∴csAsinC+sinC= 3sinAsinC，
又∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，
∴csA+1= 3sinA，
∴ 3sinA-csA=1，∴2sin(A-π6)=1，
∴sin(A-π6)=12，
∵0∴A-π6=π6，
∴A=π3；
(2)在△ABC中，由余弦定理可得csA=b2+c2-a22bc，
∴csπ3=b2+c2-a22bc，
∴b2+c2-a2=bc，
∴(b-c)2+2bc-a2=bc，
又∵b-c=1，
∴a2=bc+1，
在△ACD中，由余弦定理可得csA=(12c)2+b2-a22⋅12c⋅b，
∴csπ3=14c2+b2-a2bc，
∴14c2+b2-a2=12bc，
∴(b+c2)2-bc-a2=12bc，
又∵a2=bc+1，
∴(b+c2)2-52bc-1=0，
又∵b-c=1，∴b=c+1，
∴(c+1+c2)2-52(c+1)c-1=0，
解得c=2，
∴b=3，
∴S△ABC=12bcsinA=12×3×2×sinπ3=3 32.
【解析】(1)利用正弦定理可得sinB+sinC=2sinAsin(C+π6)，又sinB=sin(A+C)，所以csA+1= 3sinA，从而求出A；
(2)在△ABC中，由余弦定理可得csA=b2+c2-a22bc，化简可得a2=bc+1，在△ACD中，由余弦定理可得csA=(12c)2+b2-a22⋅12c⋅b，化简可得(b+c2)2-bc-a2=12bc，结合b-c=1即可求出b，c的值，进而求出△ABC的面积．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：取AC中点M，连接O2M，PM，
由题意知BC= 22AB=2，O1P=1，
又O2M为△ABC的中位线，
所以O2M//BC，
又AB为直径，
所以BC⊥AC，则O2M⊥AC，
由PO1//BC和O2M//BC，得O2M//O1P，又O2M=O1P=1，
所以四边形PMO2O1是平行四边形，
所以PM//O1O2，
又O1O2⊥面ABC，
所以O2M⊥O1O2，
所以O2M⊥PM，
又O2M⊥AC，
又AC∩PM=M，
所以O2M⊥面PAC，
又O2M//O1P，
所以PO1⊥面PAC.
(2)由三棱锥P-ABC体积为43得O1O2=2，
以O2为原点，O2B，O2C，O1O2所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(- 2,0,0)，B( 2,0,0)，C(0, 2,0)，P(- 22, 22,2)，O1=(0,0,2)，
AO1=( 2,0,2)，PO1=( 22,- 22,0)，CP=(- 22,- 22,2)，BP=(-3 22, 22,2)，
设平面PO1A的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AO1= 2x+2z=0m⋅PO1= 22x- 22y=0，得m=( 2, 2,-1)，
设平面PBC的法向量n=(a,b,c)，
则n⋅CP=- 22a- 22b+2c=0n⋅BP=-3 22a+ 22b+2c=0，
所以n=( 2, 2,1)，
所以cs=m⋅n|m||n|=3 5× 5=35，
所以sin= 1-(35)2=45，
所以平面PO1A与平面PBC所成角的正弦值为45.
【解析】(1)取AC中点M，连接O2M，PM，只需证明O2M⊥面PAC，O2M//O1P，即可得出答案．
(2)由三棱锥P-ABC体积为43得O1O2=2，以O2为原点，O2B，O2C，O1O2所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，解出平面PO1A的法向量为m=(x,y,z)，平面PBC的法向量n=(a,b,c)，计算cs=m⋅n|m||n|，进而可得答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知函数f(x)=ex-ax，g(x)=lnx-ax，a∈R，
当a=1时，f(x)=ex-x，g(x)=lnx-x，
此时y=f(g(x))=elnx-x-(lnx-x)=xex+x-lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得y'=(1-x)ex+(1-1x)=(x-1)(ex-x)xex，
不妨设g(x)=ex-x，函数定义域为R，
可得g'(x)=ex-1，
当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)=1>0，
此时ex>x，
所以当01时，y'>0，
故函数y=f(g(x))在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增；
(2)因为h(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得h'(x)=ex-1x，
不妨设φ(x)=h'(x)=ex-1x，函数定义域为(0,+∞)，
可得φ'(x)=ex+1x2>0，
所以h'(x)在(0,+∞)上为增函数，
又h'(1)=e-1>0，h'(12)= e-2<0，
所以h'(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0，
当x0∈(12,1)时，h'(x0)=ex0-1x0=0，
所以ex0=1x0，
当0当x>x0时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min=m=h(x0)=ex0-lnx0，
因为ex0=1x0，
所以x0=-lnx0，
此时m=1x0+x0>2，
因为F(x)=ex-emlnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得F'(x)=ex-emx，
易知F'(x)在(0,+∞)单调递增，
又m>2，
所以F'(1)=e-em<0，F'(m)=em-emm=em(1-1m)>0，
则F'(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x1，
当x1∈(1,m)，F'(x1)=ex1-emx1=0，
当0当x>x1时，F'(x)>0，F(x)单调递增，
所以F(x)min=F(x1)=ex1-emlnx1，
因为ex1=emx1，
所以x1=m-lnx1，
即m=x1+lnx1，
又m=ex0-lnx0=1x0+ln1x0，
所以x1+lnx1=1x0+ln1x0，
易知函数y=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，
所以x1=1x0，
则F(x1)=e1x0-em⋅ln1x0=e1x0-e1x0+ln1x0⋅ln1x0
=e1x0-1x0⋅e1x0-⋅ln1x0=1x0⋅e1x0(x0-ln1x0)
=1x0⋅e1x0(x0+lnx0)，
又x0+lnx0=0，
所以F(x1)=0，
故F(x)在(0,+∞)上的最小值为0.
【解析】(1)由题意，将a=1代入函数f(x)和g(x)的解析式中，得到y=f(g(x))的解析式，对函数y进行求导，利用导数的几何意义得到函数y的单调性；
(2)易得函数h(x)的打电脑线，对函数h(x)进行求导，利用导数的几何意义得到函数h(x)的单调性，再由零点存在性定理得到h'(x)在(0,+∞)上存在唯一零点x0，利用所给条件得到m=1x0+x0>2，再利用导数研究函数F(x)的单调性即可得到函数F(x)的最小值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．x
90
95
100
105
110
y
11
10
8
6
5
男生
女生
合计
了解
6n
_____
_____
不了解
_____
5n
_____
合计
10n
10n
_____
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
4
5
6
7
8
P
1210
435
37
821
114
男生
女生
合计
了解
6n
5n
11n
不了解
4n
5n
9n
合计
10n
10n
20n