2022-2023学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省舟山市高二（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={2,0,23}，B={20,2,3}，则A∩(∁RB)=( )
A. {2,0}B. {0,23}C. {2,0,23}D. R
2.已知平面α，β，直线l，a，b，若α∩β=l，a⊂α，b⊂β且b⊥l，则“a⊥b”是“a⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数y=f(x)的图象过点A(4,2)，B(1,m)，C(sin1,n)，则m与n的大小关系为( )
A. m>nB. m4.2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度v(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火箭质量m(单位：kg)的函数关系为v=2ln(1+Mm).若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为( )
(参考数值为ln2≈0.69，ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t，1t=1000kg)
A. 243.69tB. 244.69tC. 755.44tD. 890.23t
5.现随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次，则中间一行均为奇数的填法的概率为( )
A. 542
B. 59
C. 18
D. 13
6.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示，ω>0，|φ|<π，则满足(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))<0的整数x取值可能为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
7.定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1,f(x5)=12f(x)，且当0≤x1A. 1256B. 1128C. 164D. 132
8.如图，已知四棱锥P−ABCD中，正三角形PAB的边长为2，AD⊥平面PCD，BC//AD，且BC=2AD，则四棱锥P−ABCD的体积的最大值为( )
A. 22
B. 32
C. 2
D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.舟山某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了100名学生，根据这100名学生对食堂用餐质量给出的评分数据，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是( )
A. x=0.01
B. 该样本数据的中位数和众数均为85
C. 若样本数据的平均数低于85分，则认为食堂需要整改，根据此样本我们认为该校食堂需要整改
D. 为了解评分较低的原因，该校从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机抽取18人座谈，则应选取评分在[50,60)的学生4人
10.在复平面内，复数z1=0,z2=1+ 2i,z3= 2+i(i为虚数单位)对应的点分别为O，A，B，下列描述正确的是( )
A. z2−z3=i
B. cs∠AOB=2 23
C. 若z2是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则p=2，q=2
D. 若复数z满足|z−z2|=|z3|，则|z|的最大值为2 3
11.设函数f(x)=min{(x−2)2,|x|,(x+2)2}，其中min{a,b,c}表示a，b，c中的最小者，则下列说法正确的是( )
A. f(−x)=f(x)
B. 当x∈[−3,3]时，则f(x)≤1
C. 当x∈[1,+∞)时，则f(x−2)≤f(x)
D. f(f(x))≤f(x)
12.已知P，Q是边长为1的正方形ABCD边上的两个动点，则下列结论正确的是( )
A. AP⋅DQ的最小值为−1B. CQ⋅BP的最大值为2
C. AP⋅CQ−BP⋅DQ的最小值为−2D. AP⋅CQ−BP⋅DQ的最大值为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.二项式(x+2x)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含x6的项是______.
14.已知2tanα−tan(α+π4)=7，则cs2α+sin2α=______.
15.欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有______种上楼梯的方法.
16.在三棱锥P−ABC中，PA⊥BC,BC=2PA=2AB=2,PC= 6，点M，N分别是PB，BC的中点，且AM⊥PC，则平面AMN截三棱锥P−ABC的外接球所得截面的面积是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在直角坐标系中，O是坐标原点，向量OA=(3,1),OB=(2,−1),OC=(a,b)，其中a>0，b>0.
(1)若OB与OC的夹角为45∘，求ba的值；
(2)若AB⊥AC，求1a+1b的最小值.
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx，角C满足f(C)=0.
(1)求C的值；
(2)若c=2bcsB，且在下列两个条件中选择一个作为已知，求BC边上的中线长度.
①△ABC的周长为2+ 3；
②△ABC的面积为 34.
19.(本小题12分)
第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，被调查的男女生人数相同，其中“了解”的学生中男生人数是女生的65倍.若统计发现在女生中“了解”和“不了解”的人数恰好一样多，应用卡方独立性检验提出零假设为H0：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关联，经计算得到χ2≈4.040.
(1)根据频率稳定于概率的原理，分析性别是否会影响学生对杭州亚运会项目的了解情况；
(2)求被抽样调查的总人数，并依据小概率值α=0.05的卡方独立性检验，分析该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别是否有关联；
(3)用样本的频率估计概率，从该校全体学生中随机抽取10人，其中对亚运会项目“了解”的人数记为X，求随机变量X的方差.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).
20.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=45∘，平行于AA1和BC1的平面分别与AB，AC，A1C1，A1B1交于D，E，F，G四点.
(1)试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
(2)若AA1=3，D是AB的中点，求直线DF与平面ABC所成角的正弦值.
21.(本小题12分)
在某项测验中，共有20道多项选择题(15道双选题和5道三选题随机排列)，每道题都给出了4个选项，其中正确的选项有两个(双选题)或者三个(三选题)，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.现有甲乙两位同学均已答完前19题，两人对于每一题的答对与否均不确定.
(1)若甲同学在解答第20题时，随机选择一个选项作答，求他第20题得2分的概率；
(2)若乙同学在解答第20题时，已正确判断出A选项是错误的，而对BCD三个选项的正确与否无法确定，现在有三个方案：
①从BCD三个选项中随机选一个作为答案；
②从BCD选项中随机选两个作为答案；
③直接选择BCD作为答案；
为使第20题得分的期望最大，乙同学应选择哪个方案作答，并说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2x+a(x>0)满足f(lg2a)=f(2−lg2b)，函数g(x)=lg2(2x−4)⋅lgb(x2−1)，其中a，b∈R.
(1)求f(x)的值域(用a表示)；
(2)求a+b的取值范围；
(3)若存在实数b，使得g(f(x))−3lgba≥3有解，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为集合A={2,0,23}，B={20,2,3}，则∁RB={x∈R|x≠20,x≠2,x≠3}，
则A∩(∁RB)={0,23}.
故选：B.
根据补集以及交集的定义即可求得答案．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：如下图α∩β=l，a⊂α，b⊂β且b⊥l，a⊥b，则l//a，此时a⊄β，l⊂β，所以a//β，充分性不成立；
若a⊥β，因为b⊂β，所以a⊥b，必要性成立，
故“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．
故选：B.
根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间线面垂直的性质进行判断是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：依题意，设f(x)=xα(α为实常数)，于是4α=2，
解得α=12，
则f(x)=x12= x，
因此m=f(1)=1，
n=f(sin1)= sin1，
∵0∴n= sin1，<1，
所以m>n.
故选：A.
求出幂函数的解析式，再求出m，n并比较大小作答．
本题考查了幂函数及其性质，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知，m=3100kg，v=11km/s，
所以11=2ln(1+M3100)，即ln(1+M3100)=5.5≈ln244.69，
所以1+M3100≈244.69，即M≈755439kg≈755.44t.
故选：C.
代入已知数据，结合指数和对数的运算法则，即可得解．
本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算法则是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：随机将1，2，3，…，9这9个整数填入给定的三角形网格内，每个数字只能使用一次共有A99种排法，中间一行均为奇数的填法A53A66，
则中间一行均为奇数的填法的概率P=A53A66A99=5×4×37×8×9=542.
故选：A.
古典概型公式结合排列组合计算可得．
本题主要考查了排列组合知识，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设函数的最小正周期为T，则34T=13π12−π3，
∴T=π，
故ω=2ππ=2，
由f(13π12)=2cs(13π6+φ)=2cs(π6+φ)=2，
得π6+φ=2kπ,k∈Z，∴φ=−π6+2kπ,k∈Z，
因为|φ|<π，故φ=−π6，即f(x)=2cs(2x−π6)，
f(−7π4)=2cs(−11π3)=1,f(4π3)=2cs(5π2)=0，
故由(f(x)−f(−7π4))(f(x)−f(4π3))<0可得0即0则−π2+2kπ<2x−π6<−π3+2kπ,k∈Z或π3+2kπ<2x−π6<π2+2kπ,k∈Z，
即−π6+kπ当k=0时，存在π4当k=1时，5π6当k取比2大的整数时，整数x的取值都大于4，
结合选项可得整数x取值可为1，
故选：C.
根据函数图象确定参数，求得函数解析式，根据不等式求得0本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：∵f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，
令x=1得：f(1)=1，又f(x5)=12f(x)⇒f(15)=12，
反复利用f(x5)=12f(x)可得：
f(13125)=12f(1625)=14f(1125)=18f(125)=116f(15)=132①，
再令x=12，由 f(x)+f(1−x)=1，可求得 f(12)=12，
同理反复利用 f(x5)=12f(x) 可得：
f(11250)=12f(1250)=14f(150)=18f(110)=116f(12)=132②，
由①②可得：有f(11250)=f(13125)=132，
∵0≤x1所以 f(12023)≥f(13125)=132，
f(12023)≤f(11250)=132，
故 f(12023)=132.
故选：D.
先由已知条件求出一些特值，f(1)=1,f(12)=12，可得 f(15)=12，反复利用f(x5)=12f(x)，可得f(13125)=132，f(11250)=132，再由f(12023)与f(13125)、f(12023)与f(11250)的大小关系从而得出结论．
本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用 f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1两次赋值后都反复应用 f(x5)=12f(x)，分别得到关系式①②，从而使问题解决，考查抽象函数的性质的应用及转化思想，属于难题．
8.【答案】B
【解析】解：连接AC，
∵AD⊥平面PCD，BC//AD，且BC=2AD，
∴2VP−ACD=VP−ABC，且VP−ABCD=3VP−ACD，
设AD=a，则BC=2a，
在Rt△PBC中，2a<2，则0∴PD= 4−AD2= 4−a2，CD= AB2−(12BC)2= 4−a2，PC= PB2−BC2= 4−4a2，
取PC的中点E，连接DE，如图所示：
则DE⊥PC，
∴DE= CD2−CE2= 4−a2−(1−a2)= 3，
∴VP−ACD=VA−PCD=13S△PCDAD=13×12PC×DE×AD= 33a 1−a2≤ 33 (1−a2+a22)2= 36，
当且仅当1−a2=a2，即a= 22时等号成立，此时四棱锥P−ABCD的体积的最大值为 32.
故选：B.
连接AC，由题意得VP−ABCD=3VP−ACD，设AD=a，取PC的中点E，可得DE⊥PC，由VP−ACD=VA−PCD=13S△PCDAD=13×12PC×DE×AD= 33a 1−a2，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，由直方图可知：(x+0.015+0.020+0.030+0.025)×10=1，
解得x=0.01，故A正确；
对于B，设中位数为80+y，则(0.01+0.015+0.020)×10+0.030y=0.5,y=53，
所以中位数为8123分，故B错误；
对于C，平均分为(55×0.01+65×0.015+75×0.020+85×0.030+95×0.025)×10=79.5<85，故C正确；
对于D，[50,60)组有0.01×10×100=10(人)，同理[60,70)组有15(人)，[70,80)组有20(人)，
根据分层抽样的原理，从[50,60)组抽取的人数为1010+15+20×18=4(人)，故D正确．
故选：ACD.
根据直方图的性质逐项分析．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数和平均数的计算，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，z2−=1− 2i，z2−z3=1− 2i 2+i=(1− 2i)( 2−i)( 2+i)( 2−i)=−3i3=−i，故A错误；
对于B，由题意可知：O(0,0),A(1, 2),B( 2,1)，OA=(1, 2),OB=( 2,1)，
|OA|= 1+2= 3，|OB|= 2+1= 3，cs∠AOB=OA⋅OB|OA|⋅|OB|= 2+ 2 3× 3=2 23，故B正确；
对于C，由题意可知：方程x2+px+q=0的两个根为z2=1+ 2i，z2−=1− 2i，
则z2+z2−=−pz2⋅z2−=q，p=−2q=3，故C错误；
对于D，|z3|= 2+1= 3，设z=x+yi，则其对应的点为(x,y)，x，y∈R
由|z−z2|=|z3|，则 (x−1)2+(y− 2)2= 3，动点(x,y)的轨迹为以(1, 2)为圆心，以 3为半径的圆
由(0,0)也在该圆上，故|z|max= x2+y2=2 3，故D正确．
故选：BD.
对于A，利用共轭复数的定义，结合复数的除法，可得答案；对于B，利用复数的几何意义写出点的坐标，利用向量的数量积求夹角即可；对于C，根据一元二次方程的韦达定理，结合共轭复数的定义，可得答案；对于D，利用复数的几何意义，将问题转换为圆相关的距离问题，可得答案．
本题主要考查复数的模，复数的几何意义，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据f(x)=min{(x−2)2,|x|,(x+2)2}，作出以下图形：
对A选项，由|x|=(x−2)2，|x|=(x+2)2，
可得x=4和1，和x=−4和−1，
则f(x)={|x|,x⩽−4或x⩾4或−1⩽x<1(x+2)2,−4结合图象可知f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)恒成立，故选项A正确；
对B选项，当x∈[−3,3]时，f(3)=f(−3)=1，f(1)=f(−1)=1，
显然根据图象得f(x)≤1，故B正确；
对C选项，当x≥1时，f(x)=(x−2)2,1≤x<4x,x≥4，
当x=32时，f(x−2)=f(32−2)=f(−12)=f(12)=12，
而f(32)=(32−2)2=14，此时f(x−2)>f(x)，故C错误；
对D选项，由图知，当x∈R时，f(x)≥0，可令t=f(x)，
由y=f(t)和y=t(t≥0)的图象知，当t≥0时，y=t在y=f(t)的上方，
所以当t≥0时，t≥f(t)，即f(f(x))≤f(x)成立，故选项D正确．
故选：ABD.
根据题意画出f(x)的大致图象，然后依据图象逐个检验即可．
本题考查分段函数的性质，主要是奇偶性、最值，考查数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
设P(x,y)，Q(m,n)，
其中x=0或x=1时，y∈[0,1]，
y=0或y=1时，x∈[0,1]，
m=0或m=1时，n∈[0,1]，n=0或n=1时，m∈[0,1]，
又AP=(x,y),DQ=(m,n−1)，CQ=(m−1,n−1),BP=(x−1,y)，
对于A，AP⋅DQ=mx+y(n−1)≥0×0+y×(0−1)≥−y≥−1，
当且仅当m=x=n=0，y=1时等号成立，
故AP⋅DQ的最小值为−1，
故A正确；
对于B，CQ⋅BP=(m−1)(x−1)+(n−1)y，
因为−1≤m−1≤0，−1≤x−1≤0，
故0≤(m−1)(x−1)≤1，
而(n−1)y≤0，
故CQ⋅BP≤1，
所以CQ⋅BP的最大值不可能为2，故B错误；
对于C，AP⋅CQ−BP⋅DQ=x(m−1)+y(n−1)−(x−1)m−y(n−1)=m−x，
因为0≤m≤1，0≤x≤1，
故−1≤m−x≤1，
当且仅当m=1，x=0时，m−x=1，
当且仅当m=0，x=1时，m−x=−1，
所以AP⋅CQ−BP⋅DQ的最小值为−1，AP⋅CQ−BP⋅DQ的最大值为1，
故C错误，D正确．
故选：AD.
建立如图所示的平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式逐项计算后可得正确的选项．
本题考查了平面向量数量积的计算问题归结运算，重点考查了不等式的性质，属中档题．
13.【答案】180x6
【解析】解：因为二项式(x+2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，
所以展开式中共有11项，∴n=10，
故(x+2x)10展开式的通项为Tr+1=C10r⋅x10−r⋅2r⋅x−r=2r⋅C10r⋅x10−2r，
令10−2r=6，解得r=2，故展开式中含x6的项是22⋅C102x6=180x6.
故答案为：180x6.
根据二项式系数的特征求出n，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于6，求得r的值，可得答案．
本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出n=10，求出展开式的通项公式，利用通项公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
14.【答案】1
【解析】解：因为tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=tanα+11−tanα，
所以2tanα−tan(α+π4)=2tanα−tanα+11−tanα=7，
化简得tan2α−4tanα+4=0，解得tanα=2，
cs2α+sin2α=cs2α+2sinαcsαsin2α+cs2α=1+2tanαtan2α+1=1+2×222+1=1.
故答案为：1.
用正切函数的两角和公式化简题目条件可得tanα=2，再将cs2α+sin2α化简为1+2tanαtan2α+1，将tanα代入从而得出答案．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用属于中档题．
15.【答案】21
【解析】解：本题可采用分类加法计数原理，
第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；
第二类：1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有C61=6种方法；
第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有C52=10种方法；
第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有C43=4种方法；
共有1+6+10+4=21种方法．
故答案为：21.
根据分类计数原理，将上楼梯的过程分为4类一步跨2阶楼梯的走法，分别计算即可．
本题考查计数原理中的分类加法计数原理解决实际问题，属基础题．
16.【答案】7π6
【解析】解：因为PA=AB，M是PB的中点，所以AM⊥PB，
又AM⊥PC，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC，
又PA⊥BC，PA∩AM=A，PA，AM⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PA，AB，PB⊂平面PAB，
所以BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA，
在△ABC中，AB=1，BC=2，BC⊥AB，
所以AC= AB2+BC2= 5，
在△PAC中，AC= 5,PA=1,PC= 6，所以AC2+PA2=PC2，所以AC⊥PA，
取PC的中点O，又BC⊥PB，AC⊥PA，
所以OA=OB=OC=OP，即点O是三棱锥P−ABC的外接球的球心，
且AC∩BC=C，AC、BC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC，
AB⊂平面ABC，所以AB⊥PA，
因为PC= 6，故外接球半径为R= 62，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故VO−AMN=VB−AMN=VN−AMB，即13×12× 22× 62×h=13×1×12× 22× 22，得h= 33，
所以r2=R2−h2=76，
所以截面圆的面积为S=πr2=76π.
故答案为：76π.
证明出PC的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出h，进而得到r，得到截面面积．
本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了等体积法求点到平面的距离，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意知向量OB=(2,−1),OC=(a,b)，
因为OB与OC的夹角为45∘，
所以cs⟨OB,OC⟩= 22，
即cs⟨OB,OC⟩=OB⋅OC|OB|⋅|OC|=2a−b 5⋅ a2+b2= 22，
解得ba=13(负值舍去)；
(2)因为AB=OB−OA=(−1,−2),AC=OC−OA=(a−3,b−1)，
又AB⊥AC，
则AB⋅AC=0，即AB⋅AC=(−1)⋅(a−3)+(−2)⋅(b−1)=0，
即得a+2b=5，
又a>0，b>0，
故1a+1b=15(a+2b)⋅(1a+1b)=15(3+2ba+ab)≥3+2 25，
当且仅当2ba=ab且a+2b=5，即a=5 22+ 2,b=52+ 2时取得等号，
所以(1a+1b)min=3+2 25.
【解析】(1)根据向量夹角的坐标表示，列式化简即可求得答案．
(2)根据向量垂直的坐标表示求得a+2b=5，将1a+1b化为15(a+2b)⋅(1a+1b)，结合基本不等式即可求得答案．
本题考查平面向量的运用，考查利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=sin2x+ 3sinxcsx=1−cs2x2+ 32sin2x=sin(2x−π6)+12，
由f(C)=0得sin(2C−π6)=−12，
∵C∈(0,π),2C−π6∈(−π6,11π6)，
∴2C−π6=76π，解得C=23π；
(2)c=2bcsB，由正弦定理得sinC=2sinBcsB=sin2B，
∴C=2B或C+2B=π，即B=π3(不合题意，舍去)或B=π6，
∴A=π6，
选①：∵a:b:c=sinA:sinB:sinC=12:12: 32=1:1: 3，
∴周长a+b+c=2a+ 3a=2+ 3，解得a=b=1，c= 3，
设BC边上的中线为m，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
∵D为BC中点，即2AD=AB+AC,(2AD)2=(AB+AC)2,4m2=b2+c2+2bccsA，
∴2(b2+c2)=(2m)2+a2，
即2(1+3)=4m2+1，解得m= 72；
选②：a:b:c=sinA:sinB:sinC=12:12: 32=1:1: 3，
∴三角形面积S=12absinC=12a2× 32= 34，解得a=b=1，c= 3，
设BC边上的中线为m，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
∵D为BC中点，∴2AD=AB+AC,(2AD)2=(AB+AC)2,4m2=b2+c2+2bccsA，
∴2(b2+c2)=(2m)2+a2，
即2(1+3)=4m2+1，解得m= 72.
【解析】(1)先应用二倍角公式及辅助角公式化简求值，即可得出答案；
(2)由已知先得出边长，再应用余弦定理结合中线计算，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)不妨设被调查的总人数为20n(n∈N*)人，
若被调查的男女生人数相同，
此时男、女生人数均为10n，
其中女生中“了解”和“不了解”的人数均为5n，“了解”的学生中男生人数是65×5n=6n，
则2×2列联表如下：
因为男生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为6n10n=0.6和4n10n=0.4，
女生中对杭州亚运会项目了解和不了解的频率分别为5n10n=0.5和5n10n=0.5，
则，
所以在被调查者中，男生了解亚运会项目是女生了解亚运会项目的频率的1.2倍，
根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为男生了解亚运会项目的概率大于女生了解亚运会项目的概率，即
男生更了解亚运会项目；
(2)易知χ2=20n×(6n×5n−4n×5n)210n×10n×11n×9n=20n99≈4.040，
所以n=20，被调查的总人数为400人．
因为χ2≈4.040>3.841，
所以我们推断H0不成立，
即认为该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
(3)易知抽取的学生中对亚运会项目“了解”的概率P=1120，
所以X∼B(10,1120)，
则D(X)=np(1−p)=10×1120×920=9940.
【解析】(1)由题意，补全2×2列联表，结合相应的频率分析说明即可；
(2)代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；
(3)得到X∼B(10,1120)，结合二项分布的方差方差公式进行求解即可．
本题考查二项分布及其应用以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：(1)四边形DEFG是矩形，下面给出证明：
因为AA1//CC1，
由题意CC1//平面DEFG，BC1//平面DEFG，
CC1∩BC1=C1，CC1，BC1⊂面BCC1B1，
所以平面BCC1B1//平面DEFG，
又平面ABB1A1∩平面DEFG=DG，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，
所以DG//BB1，
同理EF//CC1，
又CC1//BB1，
所以DG//EF，
同理DE//BC//B1C1//GF，
所以四边形DEFG是平行四边形．
取BC中点P，连接AP、A1P，则AP⊥BC.
又因为△ABA1≅△ACA1，
所以A1B=A1C，
故有A1P⊥BC.
AP、A1P交于P且都在面AA1P内，
所以BC⊥平面AA1P，
又AA1⊂面AA1P，
所以BC⊥AA1，
综上知：DE⊥DG，即四边形DEFG是矩形．
(2)设F到平面ABC的距离为h，即为A1到平面ABC的距离．
作A1H⊥AP交AP于点H，由(1)及BC在面ABC内知：平面AA1P⊥平面ABC，
而AP为两垂直平面的交线，A1H在面AA1P内，
所以A1H⊥平面ABC，h=A1H.
设直线DF与平面ABC所成角为θ，则sinθ=hDF.
设AA1=3，在△ABA1中由余弦定理知：A1B= 9+4−6 2= 13−6 2=A1C，
在△A1BC中，A1P= A1B2−1= 12−6 2，
在△A1AP中，AP= 3,cs∠A1AP=AA12+AP2−A1P22AA1⋅AP= 63，
所以sin∠A1AP= 33，
h=A1H=AA1⋅sin∠A1AP= 3.
DF= FG2+DG2= 1+9= 10，
所以sinθ=hDF= 310= 3010，
所以直线DF与平面ABC所成角的正弦值为 3010.
【解析】(1)首先根据面面平行的判定以及面面平行的性质证明线线平行，然后证明四边形DEFG是矩形；
(2)首先求出F到平面ABC的距离，然后求解直线DF与平面ABC所成角的正弦值．
本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查线面角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设事件A=“第20题为双选题”，事件B=“第20题得2分”，
则P(A)=34,P(A−)=14,P(B|A)=C21C41=12,P(B|A−)=C31C41=34，
根据全概率公式有P(B)=P(A)⋅P(B|A)+P(A−)⋅P(B|A−)=34×12+14×34=916.
(2)在20道多项选择题中，双选题出现的概率为1520=34，三选题出现的概率为520=14.
①当乙从BCD三个选项中随机选一个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为X，
若正确答案为两个选项，则得分X的分布列为：
此时X的期望为E(X)=0×13+2×23=43；
若正确答案为三个选项，则任意选一个均正确，得分X=2，此时X的期望为2；
故E(X)=34×43+14×2=32；
②当乙从BCD三个选项中随机选两个作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Y.
若正确答案为两个选项，则得分Y的分布列为：
Y的期望为E(Y)=0×23+5×13=53；
若正确答案为三个选项，则得分Y的期望为2；
故E(Y)=34×53+14×2=74.
③当乙同时选择BCD三个选项作答时，设乙同学在解答第20题的得分为Z，
若正确答案为两个选项，则得分Z的期望为0：
若正确答案为三个选项，则得分Z的期望为5；
故E(Z)=34×0+14×5=54.
因此E(Y)>E(X)>E(Z)，建议乙同学选择方案②作答．
【解析】(1)根据题意利用条件概率公式和全概率公式求解；
(2)分别求正确答案为两个选项和正确答案为三个选项两种情况的得分期望，结合期望的性质求相应的期望，并对比分析．
本题考查条件概率公式和全概率公式的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=x2+2x+a在(0,+∞)上单调递增，
当x→0+时，f(x)→1+a；当x→+∞时，f(x)→+∞.
所以f(x)的值域为(1+a,+∞).
(2)因为{2−lg2⁡b>0b>0且b≠1，所以0由(1)知，f(lg2a)=f(2−lg2b)⇒lg2a=2−lg2b⇒ab=4⇒a=4b，
所以a+b=b+4b∈[4,5)∪(5,+∞),即a+b的取值范围是[4,5)∪(5,+∞).
(3)g(f(x))−3lgba≥3⇒g(f(x))≥3(lgba+1)=3lgb(ab)=lgb64=g(3)，
因为a=4b∈(1,4)∪(4,+∞)，所以f(x)>1+a>2，
此时2f(x)−4>0和f2(x)−1>0均成立，所以g(f(x))的定义域为(0,+∞).
①当1所以g(f(x))≥g(3)恒有解，满足条件，此时a=4b∈(1,4).
②当0因为f(x)>1+a>5，所以lg2(2f(x)−4)>0,lg2(f2(x)−1)>0，
此时g(x)=lgb2⋅lg2(2x−4)⋅lg2(x2−1)在(5,+∞)上单调递减，
所以g(f(x))≥g(3)⇒f(x)≤3，与f(x)>1+a>5矛盾，此时a不存在．
综上所述，a的取值范围是(1,4).
②解法二：当01+a>5，
所以lg2(2f(x)−4)>lg228>4,lgb(f2(x)−1)此时g(f(x))=lg2(2f(x)−4)⋅lgb(f2(x)−1)<4lgb24即g(f(x))≥lgb64无解，不符合题意，此时a不存在．
综上所述，a的取值范围是(1,4).
【解析】(1)利用函数的单调性即可得出结论；
(2)由题意可得{2−lg2⁡b>0b>0且b≠1，得出b的取值范围，再根据f(lg2a)=f(2−lg2b)可推出a，b关系，从而得出结论；
(3)由g(f(x))−3lgba≥3可推出g(f(x))≥g(3)，再由a=4b∈(1,4)∪(4,+∞)，可得f(x)>1+a>2，从而可求得复合函数g(f(x))的定义域为(0,+∞).再分类讨论b的范围，用函数解不等式恒成立即可得出结论．
本题主要考查对数的运算性质，属于中档题．a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xa
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
亚运会项目
合计
了解
不了解
男生
6n
4n
10n
女生
5n
5n
10n
合计
11n
9n
20n
X
0
2
P
13
23
Y
0
5
P
23
13