2022-2023学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.A53−C42=( )
A. 66B. 54C. 26D. 14
2.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则其数学期望E(ξ)=( )
A. 1B. 0.2C. 2.8D. 3
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a6=12，S4=18，则a3=( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
4.在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如图，若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则n=( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
5.下列导数运算正确的是( )
A. (csx)′=sinxB. (lg2x)′=1x⋅ln2
C. (2x)′=2xD. (1x)′=1x2
6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=λ⋅2n−2，则λ=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图，则不等式(x−1)⋅f′(x)<0的解集为( )
A. (0,2)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (0,1)∪(1,2)
8.设函数f(x)=ex−1−e1−x+12sinπx，实数a，b满足不等式f(3a+b)+f(1−a)>0，则下列不等式成立的是( )
A. 2a+b>1B. 2a+b<1C. 4a+b>3D. 4a+b<3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则下列命题正确的是( )
A. 若an+1−an=2(n∈N*)，则数列{an}为等差数列
B. 若bn+1=2bn(n∈N*)，则数列{bn}为等比数列
C. 若数列{an}是等差数列，则Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，…(n∈N*)成等差数列
D. 若数列{bn}是等比数列，则Tn，T2n−Tn，T3n−T2n，…(n∈N*)成等比数列
10.某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品；则这次抽中的概率为13.记玩家第n次抽盲盒，抽中奖品的概率为Pn，则( )
A. P2=1942B. 数列{Pn−37}为等比数列
C. Pn≤1942D. 当n≥2时，n越大，Pn越小
11.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. 若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξ<6)=0.84，则P(0<ξ<6)=0.68
C. 已知随机变量X服从二项分布B(n,13)，若E(3X+1)=6，则n=6
D. 对于事件A，B，若A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，则P(B|A)=1
12.设函数f(x)=(x+b)(e2x−a)(b>0)在点(−12,f(−12))处的切线方程为(e−1)x+ey=1−e2.若函数f(x)图象与x轴负半轴的交点为P，且点P处的切线方程为y=h(x)，函数F(x)=f(x)−h(x)(x∈R)，则( )
A. a=1,b=12
B. P(−12,0)
C. F(x)存在最大值，且最大值为F(−12)=0
D. F(x)存在最小值，且最小值为F(−12)=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在( x−2)5的展开式中，x2的系数为______.
14.已知函数f(x)=xlnx，若直线l过点(0,−1)，且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程是______.
15.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲、乙、丙、丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为______.
16.已知非零数列{an}，bn=a1⋅a2⋅a3…an，点(an,bn)在函数y=x2x−2的图象上，则数列{an(bn−1)⋅2n}的前2024项和为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}，满足(n−1)an+1−nan+a1=0(n∈N*).
(1)证明：数列{an}是等差数列；
(2)若等差数列{an}的公差为2，a1，a2，a5成等比数列，求数列{1anan+1}的前n项和Tn.
18.(本小题12分)
二项式(2x+2 x)n展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−ax(a∈R).
(1)当a=12时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
20.(本小题12分)
4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这500名学生日平均阅读时间的中位数(保留到小数点后两位)；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(6,8],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P(k)表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k=0，1，2，…，10.当P(k)最大时，写出k的值，并说明理由.
21.(本小题12分)
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外其他都相同的四个球，其中甲箱有两个黄球和两个黑球，乙箱有三个红球和一个白球，丙箱有两个红球和两个白球.完成以下步骤称为一次“操作”：先一次从甲箱中随机摸出两个球，若从甲箱中摸出的两个球同色，则从乙箱中随机摸出一个球放入丙箱，再一次从丙箱中随机摸出两个球；若从甲箱中摸出的两个球不同色，则从丙箱中随机摸出一个球放入乙箱，再一次从乙箱中随机摸出两个球.
(1)求一次“操作”完成后，最后摸出的两个球均为白球的概率；
(2)若一次“操作”最后摸出的两个球均为白球，求这两个球是从丙箱中摸出的概率；
(3)若摸出每个红球记1分，摸出每个白球记−2分.用X表示一次“操作”完成后，最后摸到的两个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2ln(x+1)+a(x−1)2，其中a为常数.
(1)若a=−1，求函数f(x)在其定义域内的单调区间；
(2)证明：对任意n∈N*，都有：2n−1n2<2ln1+nn；
(3)证明：对任意n∈N*，都有：1+322+532+⋯+2n−1n2<2n n+1.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A53−C42=5×4×3−4×32×1=54.
故选：B.
由题意，利用排列数公式、组合数公式，计算求得结果．
本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得，0.2+m+0.6=1，解得m=0.2，
E(ξ)=1×0.2+2×0.2+4×0.6=3.
故选：D.
根据离散型随机变量的分布列的性质可求得m，再利用期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查离散型随机变量的期望，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则a1+d+a1+5d=124a1+6d=18，解得a1=3d=1，
所以a3=a1+2d=3+2×1=5.
故选：A.
设等差数列{an}的公差为d，则a1+d+a1+5d=124a1+6d=18，求解a1，d的值，再利用等差数列的通项公式求解即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，分析可得，在数表中，第n行的第r个数为Cnr−1，
若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，
则有Cn11=2Cn12，即n!11!×(n−11)!=2×n!12!×(n−12)!，解可得n=17.
故选：C.
根据题意，分析可得，在数表中，第n行的第r个数为Cnr−1，由此可得Cn11=2Cn12，变形解可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及组合数的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：(csx)′=−sinx，故A错误；
(lg2x)′=1xln2，故B正确；
(2x)′=2xln2，故C错误；
(1x)′=−1x2，故D错误．
故选：B.
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由Sn=λ⋅2n−2，可得：
当n=1时，a1=S1=2λ−2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1
=λ⋅2n−λ⋅2n−1
=λ⋅2n−1(2−1)
=λ⋅2n−1，
因为数列{an}是等比数列，
所以2λ−2=λ⋅20，解得λ=2.
故选：C.
根据Sn与an的关系，可求出an的表达式，进而利用首项建立方程，解得λ.
本题考查等比数列定义，已知数列前n项和求通项，属基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由f(x)的图象可知在(0,1)上f(x)单调递增，f′(x)>0，x−1<0，
所以(x−1)f′(x)<0，满足题意，
在(1,2)上f(x)单调递减，f′(x)<0，x−1>0，
所以(x−1)f′(x)<0，满足题意，
在(2,3)上f(x)单调递增，f′(x)>0，x−1>0，
所以(x−1)f′(x)>0，不满足题意，
所以不等式(x−1)⋅f′(x)<0的解集为{x|0故选：A.
由f(x)的图象可知f(x)单调性，进而可得f′(x)，x−1符号，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：∵f(x)=ex−1−e1−x+12sinπx，
∴f(2−x)=e1−x−ex−1+12sin(2π−2x)=e1−x−ex−1−12sin2x=−f(x)，
即函数f(x)关于(1,0)对称，
f′(x)=ex−1+e1−x+12πcsπx≥2 ex−1⋅e1−x+12πcsπx=2+12πcsπx，
∵−12π≤12πcsπx≤12π，∴2−12π≤2+12πcsπx≤2+12π，
∴f′(x)>0恒成立，则f(x)是增函数，
∵f(3a+b)+f(1−a)>0，
∴f(3a+b)>−f(1−a)=f(a+1)，
则3a+b>a+1，得2a+b>1.
故选：A.
根据条件判断函数f(x)关于(1,0)对称，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，若an+1−an=2(n∈N*)，则由等差数列的性质得数列{an}为等差数列，故A正确；
对于B，若bn+1=2bn(n∈N*)，则由等比数列的性质得当bn≠0时，数列{bn}为等比数列，故B不正确；
对于C，若数列{an}是等差数列，则由等差数列的性质得Sn，S2n−Sn，S3n−S2n，…(n∈N*)成等差数列，故C正确；
对于D，在等比数列1，−1，1，−1，1，−1，⋅⋅⋅中，
Tn，T2n−Tn，T3n−T2n，…(n∈N*)不成等比数列，故D不正确．
故选：AC.
利用等差数列、等比数列的性质直接求解．
本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，P2=P1×13+(1−P1)×12=27×13+57×12=1942，A正确；
对于B，根据题意，Pn=Pn−1×13+(1−Pn−1)×12=−16Pn−1+12，变形可得Pn−37=−16(Pn−1−37)，故数列{Pn−37}为等比数列，B正确；
对于C，由B的结论，数列{Pn−37}为等比数列，其首项为P1−37=−17，公比为−16，则Pn−37=(−17)×(−16)n−1，
变形可得Pn=37−17×(−16)n−1，
当n为奇数时，Pn=37−17×16n−1<37<1942，
当n为偶数时，Pn=37+17×16n−1<37+17×16=1942，
综合可得：Pn<1942，C正确；
对于D，由C的结论，Pn=37−17×(−16)n−1，数列{Pn}为摆动数列，D错误；
故选：ABC.
根据题意，依次分析选项：对于A，求出P2的值，可得A正确，对于B，分析可得Pn=Pn−1×13+(1−Pn−1)×12=−16Pn−1+12，变形可得Pn−37=−16(Pn−1−37)，由等比数列的定义可得B正确，对于C和D，由B的结论推出数列{Pn}的通项公式，由此分析可得C正确，D错误，综合可得答案．
本题考查概率与数列的综合应用，涉及互斥事件和相互独立事件的概率计算，属于基中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=4D(ξ)，故A错误；
对于B，若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξ<6)=0.84，
所以P(3<ξ<6)=P(ξ<6)−0.5=0.34，
则P(0<ξ<6)=2P(3<ξ<6)=0.68，故B正确；
对于C，因为随机变量X服从二项分布B(n,13)，所以E(X)=13n，
所以E(3X+1)=3E(X)+1=n+1=6，
所以n=5，故C错误；
对于D，对于事件A，B，若A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6，
则P(AB)=P(A)=0.3，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=，故D正确．
故选：BD.
根据随机变量方差的性质判断A，根据正态分布曲线的对称性判断B，根据二项分布的期望公式判断C，根据条件概率公式判断D.
本题主要考查了随机变量方差的性质，考查了正态分布曲线的对称性，以及二项分布的期望公式，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：已知f(x)=(x+b)(e2x−a)(b>0)，
将x=−12代入切线方程中，
解得y=0，
所以f(−12)=0，
又f(−12)=(b−12)(1e−a)=0，
解得a=1e或b=12，
易知f′(x)=e2x(2x+2b+1)−a，
所以f′(−12)=2be−a=−1+1e，
若a=1e，此时b=2−e2，不符合题意；
所以a=1，b=12，故选项A正确；
此时f(x)=(x+12)(e2x−1)，
当f(x)=0时，
解得x=0或x=−12，
若函数f(x)图象与x轴负半轴的交点为P，
则点P的坐标为(−12,0)，故选项B正确；
因为曲线在点P处的切线方程为y=h(x)，
所以h(x)=f′(−12)(x+12)，
又F(x)=f(x)−h(x)=f(x)−f′(−12)(x+12)，函数定义域为R，
可得F′(x)=2e2x(x+1)−1e，
当x≤−1时，F′(x)<0，F(x)单调递减，不符合题意；
又F′(−12)=0，
当−1可得0<2e2x(x+1)<1e，
此时F′(x)<0，F(x)单调递减，不符合题意；
当x>−12时，2e2x(x+1)>1e，
此时F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以F(x)min=F(−12)=0，故选项D正确．
故选：ABD.
由题意，将x=−12代入切线方程中，解得y=0，即f(−12)=0，列出等式求出a=1e，b=12，对函数f(x)进行求导，将x=−12代入导函数中，解得只有当a=1，b=12时满足条件，进而可判断选项A；将所给a，b的值代入函数解析式中，令f(x)=0，结合函数f(x)图象与x轴负半轴的交点为P，进而判断选项B；对函数F(x)进行求导，利用导数得到函数F(x)的单调性，进而可判断选项C和选项D.
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
13.【答案】−10
【解析】解：展开式的通项公式为：Tr+1=C5r( x)5−r(−2)r=C5r(−2)rx5−r2，r=0，1，...，5，
令5−r2=2，可得：r=1，则x2的系数为C51×(−2)=−10，
故答案为：−10.
首先写出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】x−y−1=0
【解析】解：∵f(x)=xlnx，
∴函数的导数为f′(x)=1+lnx，
设切点坐标为(x0,x0lnx0)，
∴f(x)=xlnx在(x0,x0lnx0)处的切线方程为y−x0lnx0=(lnx0+1)(x−x0)，
∵切线l过点(0,−1)，
∴−1−x0lnx0=(lnx0+1)(−x0)，
解得x0=1，
∴直线l的方程为：y=x−1.
即直线方程为x−y−1=0，
故答案为：x−y−1=0.
设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键，是中档题．
15.【答案】25
【解析】解：A志愿者被安排到甲学校，
若甲学校只有一个人，则有C42A33=36种安排方法，
若甲学校只有2个人，则有A44=24种安排方法，
所以A志愿者被安排到甲学校共有36+24=60种安排方法，
在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的安排方法有24种安排方法，
所以所求事件的概率为2460=25.
故答案为：25.
A志愿者被安排到甲学校，分甲学校分1人和2人，分别求出安排方法数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．
本题考查了排列组合的混合问题以及古典概型的概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】2−12025×22023
【解析】解：由条件知：bn=a1⋅a2⋅a3…an，
当n≥2时，bn−1=a1⋅a2⋅...⋅an−1，
故an=bnbn−1，①，
由于点(an,bn)在函数y=x2x−2的图象上，
所以bn=an2an−2，②，
由①②整理得：bn−bn−1=12，(常数)；
故bn=32+(n−1)=n+12，
所以an=2bn2bn−1=2+n1+n，
故an(bn−1)⋅2n=n+2n(n+1)⋅2n−1=1n⋅2n−2−1(n+1)⋅2n−1，
故11×2−1−12×20+12×20−12×21+...+12024×22022−12025×22023=2−12025×22023.
故答案为：2−12025×22023.
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：依题意，当n∈N*时，
由(n−1)an+1−nan+a1=0，①
可得nan+2−(n+1)an+1+a1=0，②
②-①，可得nan+2−(n+1)an+1−(n−1)an+1+nan=0，
化简整理，得n(an+2+an)=2nan+1，
即(an+2+an)=2an+1，n∈N*，
∴数列{an}是等差数列．
(2)解：依题意，由等差数列{an}的公差为2，
可得a2=a1+2，a5=a1+2×4=a1+8，
∵a1，a2，a5成等比数列，
∴a22=a1a5，即(a1+2)2=a1(a1+8)，
解得a1=1，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N*，
∴1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12⋅(12n−1−12n+1)，
∴Tn=1a1a2+1a2a3+⋅⋅⋅+1anan+1
=12⋅(1−13)+12⋅(13−15)+⋅⋅⋅+12⋅(12n−1−12n+1)
=12⋅(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)
=12⋅(1−12n+1)
=n2n+1.
【解析】(1)根据题意由(n−1)an+1−nan+a1=0可得nan+2−(n+1)an+1+a1=0，两式相减进一步推导，并结合等差中项判别法即可证明数列{an}是等差数列；
(2)根据等差数列的通项公式写出a2，a5关于首项a1的表达式，再根据等比中项的性质列出关于首项a1的方程，解出a1的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式，进一步计算出数列{1anan+1}的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn.
本题主要考查等差数列的判别，以及数列求和问题．考查了整体思想，方程思想，转化与化归思想，等差中项判别法，等比中项的性质运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)二项式(2x+2 x)n展开式前三项的二项式系数和为Cn0+Cn1+Cn2=1+n+n(n−1)2=22，
即n2+n−42=0，解得n=6或n=−7；
故n的值为6；
(2)∵n=6，
∴展开式中共有7项，
二项式展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(2x)6−r⋅(2 x)r=C6r⋅26⋅x6−32r，r=0，1，，
二项式系数最大的项为第四项：T4=C63⋅26⋅x32=1280x32；
令6−32r=0，解得r=4，
故展开式中的常数项为T5=C64⋅26⋅x0=960.
【解析】(1)根据前三项的二项式系数和列方程，可解出n；
(2)由n=6，且二项式系数最大的项为中间一项，写出展开式的通项公式，代入r=4计算即可令6−32r=0，解出r，代入通项公式计算出常数项．
本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)当a=12时，f(x)=lnx−12x，函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=1x−12=2−x2x，令f′(x)=0，得x=2，
于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln⁡2−1，无极小值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−a=1−axx(x>0).
当a≤0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
即函数在(0,+∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈(0,1a)时，f(x)>0，
当x∈(1a,+∞)时，f(x)<0，
故函数在x=1a处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数(x)无极值点，
当a>0时，函数y=f(x)有一个极大值点，且为x=1a.
【解析】(1)当a=12时，f(x)=lnx−12x，求导得到f′(x)=1x−12=2−x2x，然后利用极值的定义求解．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x−a=1−axx(x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解．
本题考查利用导数求函数的极值，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，解得a=0.10，∴日平均阅读时间在(10,12]内的概率为0.10×2=0.20.
(2)由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生人数分别为：
500×0.10=50人，500×0.08=40人，500×0.02=10人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(14,16]内的学生中抽取：4050+40+10×10=4人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C63C103=16，P(X=1)=C41C62C103=12，P(X=2)=C42C61C103=310，P(X=3)=C43C103=130，
∴X的分布列为：
E(X)=0×16+1×12+2×310+3×110=65.
(3)k=5，理由如下：由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率为0.50，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有 k名学生日平均阅读时间在(8,12]内的分布列服从二项分布X∼B(10,0.50)，
P(k)=C10k(12)10，由组合数的性质可得k=5时P(k)最大．
【解析】(1)根据频率分布直方图的性质可求得a，利用中位数公式计算即可；
(2)求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可；
(3)由题意得，X∼B(10,0.50)，则P(k)=C10k(12)10，利用组合数的性质求最大值即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
21.【答案】解：(1)设“从甲箱摸出两个球为同色”为事件A，“从乙箱摸出一个球为红色”为事件B，
“从丙箱摸出一个球为红色”为事件C，“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件D，
则P(A)=C22+C22C42=13，所以P(A−)=1−P(A)=23，
P(B)=C31C41=34，所以P(B−)=1−P(B)=14，
P(C)=C2lC4l=12所以P(C−)=1−P(C)=12，
所以P(D)=13×(34×C22C52+14×C32C52)+23×12×C22C52=112；
(2)设“这两个球是从丙箱中摸出”为事件E，
则P(E|D)=P(DE)P(D)=13×(34×C22C52+14×C32C52)112=35；
(3)由题意知，X的所有可能值为2，−1，−4，
P(X=2)=13×(34×C32C52+14×C22C52)+23×(12×C42C52+12×C32C52)=2360，
P(X=−4)=112,P(X=−1)=1−P(X=2)−P(X=−4)=1−2360−112=815，
所以X的分布列为：
所以E(X)=2×2360−1×815−4×112=−110.
【解析】(1)结合组合数知识，根据概率的乘法和加法公式求解即可；
(2)利用条件概率计算即可；
(3)确定X的所有可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，代入数学期望公式计算即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=2ln(x+1)+a(x−1)2，函数定义域为(−1,+∞)，
当a=−1时，f(x)=2ln(x+1)−(x−1)2，
可得f′(x)=2x+1−2(x−1)=−2(x2−2)x+1，
当−10，f(x)单调递增；
当x> 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上，f(x)的单调递增区间为(−1, 2)；单调递减区间为( 2,+∞)；
(2)证明：当a=1时，f(x)=2ln(x+1)+(x−1)2，
可得f′(x)=2x+1+2(x−1)=2x2x+1>0，
所以f(x)在定义域上单调递增，
此时f(x)>f(0)，
即2ln(x+1)+(x−1)2>1，
所以当x>0时，2ln(x+1)>−x2+2x，
不妨令x=1n(n∈N*)，
此时2ln1+nn>2n−1n2，
则对于任意的n∈N*，都有2n−1n2<2ln1+nn成立；
(3)证明：由(2)知，任意n∈N*，都有2n−1n2<2ln1+nn，
所以1<2ln2，322<2ln32，532<2ln43，…，2n−1n2<2ln1+nn，
整理得1+322+532+⋯+2n−1n2<2ln2+2ln32+2ln43+⋯+2ln1+nn=2ln(1+n)，
此时只需证ln(1+n)令t= n+1，t>1，
不妨设g(t)=2lnt−t+1t，函数定义域为(1,+∞)，
可得g′(t)=2t−1−1t2=−(t−1)2t2<0，
所以g(t)在定义域上单调递减，
此时g(t)所以当t>1时，2lnt即ln(1+n)故对任意n∈N*，都有1+322+532+⋯+2n−1n2<2n n+1.
【解析】(1)由题意，将a=−1代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，进而即可求解；
(2)将a=1代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，利用换元法，令x=1n(n∈N*)，可得2ln1+nn>2n−1n2，进而即可得证；
(3)结合(2)中信息得到1<2ln2，322<2ln32，532<2ln43，…，2n−1n2<2ln1+nn，利用累加法可得1+322+532+⋯+2n−1n2<2ln2+2ln32+2ln43+⋯+2ln1+nn=2ln(1+n)，此时问题转化成求证ln(1+n)1，构造函数g(t)，对函数g(t)进行求导，利用导数得到g(t)的单调性和最值，进而即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．ξ
1
2
4
P
0.2
m
0.6
x
(0,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↑
ln2−1
↓
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
X
2
−1
−4
P
2360
815
112