2022-2023学年广东省阳江市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省阳江市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集I={x∈N|x≤10}，集合M={1,2,3}，N={2,4,6,8,10}，则∁I(M∪N)=( )
A. {5,7,9}B. {1,2,3,4,6,8,10}
C. {0,5,7,9}D. {0,1,2,3,4,6,8,10}
2.已知α∈(π,3π2)，若1−sin2α1+cs2α=2，则cs2α的值为( )
A. 45B. −45C. 0D. −45或0
3.已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点(靠近点A)且CD=1，(a−b)sinA=(c+b)(sinC−sinB)，则a+2b的最大值是( )
A. 2 3B. 2 2C. 2D. 4
4.已知直角梯形ABCD，AB//CD，∠B=90∘，AB=4，CD=2，BC=2 3，点M在边AD上.将△ABM沿BM折成锐二面角A′−BM−C，点A′，M，B，C，D均在球O的表面上，当直线A′B和平面MBCD所成角的正弦值为 34时，球O的表面积为( )
A. 323πB. 25 3π3C. 16 23πD. 523π
5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，动点Q∈平面MNP，DQ=AB=2，则下列说法错误的是( )
A. B1−MBC的外接球面积为9πB. 直线PQ//平面A1BC1
C. 正方体被平面MNP截得的截面为正六边形D. 点Q的轨迹长度为3π
6.过直线y=x上的一点P作圆(x−5)2+(y−1)2=2的两条切线l1，l2，切点分别为A，B，当直线l1，l2关于y=x对称时，线段PA的长为( )
A. 4B. 2 2C. 6D. 2
7.已知a=2 2−2,b=e27，c=ln2，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. b>c>a
8.若关于x的不等式x+lnaex−alnxx>0对∀x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,1e]B. [1e,+∞)C. [1e,1)D. (0,1e]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点P在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动，且满足BP//平面AD1C，则下列结论正确的是( )
A. 线段B1P长度的最小值为2 2
B. 三棱锥A−PB1C的体积为定值
C. 异面直线BP与AC所成角正弦值的取值范围为(0,12]
D. 若动点M在线段B1C上，则线段PM长度的最小值为4 33
10.已知直线l：y=kx+2k+2(k∈R)与圆C：x2+y2−2y−8=0.则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(−2,2)B. 直线l与圆C相离
C. 圆心C到直线l距离的最大值是2 2D. 直线l被圆C截得的弦长最小值为4
11.已知实数x，y满足ex+y+yx=0(e为自然对数的底数，e=2.71828⋯，则( )
A. 当y0恒成立，则整数a的最大值为______.
16.已知△ABC中，∠A=π3，D，E是线段BC上的两点，满足BD=DC，∠BAE=∠CAE，AD= 192，AE=6 35，则BC=______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin(B−C)b−c，且b≠c.
(1)证明：a2=b+c；
(2)若△ABC为锐角三角形，且B=2C，求a的取值范围.
18.(本小题12分)
设数列{an}满足a1=12，an+1=an2+an+1(n∈N*).
(1)证明：an+1an≥3；
(2)设数列{1an}的前n项和为Sn，证明：Snb>0)的焦距为2 2，点(1, 63)在C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C与直线y=kx+m(k≠0,m>12)相交于不同的两点M、N，P为弦MN的中点，A为椭圆C的下顶点，当AP⊥MN时，求m的取值范围.
21.(本小题12分)
新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为p(0c，
综上，b>a>c.
故选：B.
根据e2>2.72=7.29>7，2 2−2a，构造函数f(x)= x−2−lnx3，对函数f(x)进行求导，得到函数f(x)的单调性，由2 2>e，得到8>e2，结合函数单调性得到f(8)>f(e2)>0，此时2 2−2−ln2>0，再求解即可．
本题考查利用导数研究函数单调性以及对数值的大小比较，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，a>0，
不等式x+lnaex−alnxx>0可化简为lnaexaex>lnxx，
设h(x)=lnxx，即h(aex)>h(x)在x∈(0,1)上恒成立．
h′(x)=1−lnxx2，令h′(x)=0可得x=e，
∴h(x)在(0,e)上单调递增，(e,+∞)单调递减．
且h(1)=0，h(x)>0，(x∈(1,+∞))，
①在x∈(0,1)上，若aex≥1恒成立，即a≥1，h(aex)≥0>h(x)，
②在x∈(0,1)上，若0x在(0,1)上恒成立．
即a>xex在(0,1)上恒成立．
设g(x)=xex，g′(x)=ex(1−x)e2x>0在(0,1)上恒成立，
∴g(x)在(0,1)上单调递增，即a≥g(1)=1e.
故选：B.
把原不等式进行化简构造函数h(x)=lnxx，再讨论增减性即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极与最值、不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由题意可易得平面A1BC1//AD1C，
动点P在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动，且满足BP//平面AD1C，
∴P∈A1C1，
对于A：线段B1P长度的最小值即为B1到直线A1C1的距离，
∵A1B1=B1C1，A1C1=4 2，可得线段B1P长度的最小值为2 2，故A正确；
对于B：∵P∈A1C1，∴S△APC为定值，B到平面APC的距离d为定值，
∴VA−PB1C=VB1−APC=13S△APC⋅d，为定值，故B正确；
对于C：当P为A1C1的中点时，可得BP⊥A1C1，∵A1C1//AC，
∴BP⊥AC，∴此时异面直线BP与AC所成角正弦值为1，故C不正确；
对于D：以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设A1P=λA1C1，B1M=μB1C，(0≤λ,μ≤1)，
可得P(4−4λ,4λ,4)，M(4−4u,4,4−4μ)，
∴|PM|= (4λ−4μ)2+(4−4λ)2+(−4μ)2=4 λ2−2λμ+μ2+1−2λ+λ2+μ2
=4 ( 22λ− 2μ)2+32(λ−23)2+13≥4 33，
当且仅当λ=23，μ=13取等号，故D正确．
故选：ABD.
由已知可得P∈A1C1，结合每个选项的条件逐项计算可判断其正确性．
本题考查空间几何体的性质，考查推理论证能力，考查运算求解能力，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解y=kx+2k+2可化为y=y=k(x+2)+2，
当x=−2时，y=2，则直线l过定点M(−2,2)，故A正确；
x2+y2−2y−8=0可化为x2+(y−1)2=9，所以圆心C的坐标为(0,1)，半径为3.
(−2)2+(2−1)2=50，∴xy0，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，
由x+lnx=−y+ln(−y)得f(x)=f(−y)，
∴x=−y，即x+y=0，故A选项正确；
当x0)，则g′(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，g′(x)0，g(x)单调递增，
由y−lny=−x−ln(−x)得g(y)=g(−x)，
∵g(x)在(0,+∞)上不单调，∴由g(y)=g(−x)不一定能得到y=−x，
即x+y=0不一定成立，故B选项错误；
当x+y≠0时，由前面的分析可知，此时x0，
令y=n，−x=m，则有g(m)=g(n)，不妨设01，即证 t−1 t−lnt>0，
令φ(t)= t−1 t−lnt(t>1)，则φ′(t)=12 t+12t t−1t=( t−1)22t t>0，
∴φ(t)在(1,+∞)上单调递增，∴φ(t)>φ(1)=0，
即 t−1 t−lnt>0成立，从而 mn2，故C选项正确；
由 mn