2022-2023学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知在等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则a4=( )
A. 12B. 10C. 6D. 4
2.已知函数f(x)=x3+2x，x∈R，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. 5x−y+2=0B. 5x−y−2=0C. x−5y+2=0D. x−5y−2=0
3.5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
4.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为( )
A. 2cmB. 92cmC. 5cmD. 6cm
5.直线3x+2y−1=0的一个方向向量是( )
A. (2,−3)B. (2,3)C. (−3,2)D. (3,2)
6.(1+2x)7的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为( )
A. 84，21B. 21，84C. 35，280D. 280，35
7.甲乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别为13,14，则密码被成功破译的概率为( )
A. 712B. 12C. 512D. 112
8.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)A. 3f(π4)> 2f(π3)B. f(1)<2f(π6)sin1
C. 2f(π6)>f(π4)D. 3f(π6)二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(1,−2)，b=(1,3)，则下列说法正确的是( )
A. |a+b|= 5
B. 向量OA=a与b的夹角为π4
C. 若e=( 55,−2 55)，则e是与OA=a垂直的单位向量
D. 向量a在向量b上的投影向量为(−12,−32)
10.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50∼350kW⋅h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则( )
A. x=0.0044
B. 被调查的100户居民用户的月平均用电量估计为200kW⋅h
C. 在被调查的用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为70
D. 被调查的100户居民用户的月用电量数据的60%分位数估计为200
11.已知函数f(x)=|x|ex，则下列说法正确的是( )
A. f(x)有极小值1e
B. f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(1,+∞)
C. f(x)有唯一零点x=0
D. 若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(0,1e)
12.已知数列{an}满足an+1+(−1)n−1⋅an−1=3n−4(n≥2且n∈N*)，则下列说法正确的是( )
A. a2+a4=5，且a3−a1=2
B. 若数列{an}的前16项和为540，则a1=6
C. 数列{an}的前4k(k∈N*)项中的所有偶数项之和为6k2−k
D. 当n是奇数时，an+2=(n+1)(3n+1)4+a1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z=1−i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=______.
14.某中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人.为了获得该校全体学生的身高信息，采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，经计算得到男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30.根据以上数据，估计该校全体学生身高的均值为______；估计该校全体学生身高的方差为______.
15.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为__________.
16.如图，在△ABC中，点D在线段AB上，且AD=13AB，E是CD的中点，延长AE交BC于点H，点P为直线AH上一动点(不含点A)，且AP=λAB+μAC(λ,μ∈R).若AB=4，且λAC=μBC，则△CAH的面积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
2022年4月16日，3名中国宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
(1)3名宇航员互不相邻的概率；
(2)2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
18.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB− 3bcsA=0.
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的面积为3，求b+c.
19.(本小题12分)
如图，正方形ABCD的边长为1，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，以此方法一直继续下去.
(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)假设第n(n∈N*)个正方形的面积为an，求数列{n⋅an}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
21.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点(a,2 a)(a>0).
(1)求C的方程；
(2)若斜率为 3的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段AB的长度.
22.(本小题12分)
某中学科技创新教研组为了研制飞机模型的自动着陆系统，技术人员需要分析飞机模型的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机模型着陆点为坐标原点O.已知飞机模型开始降落时的飞行高度为10m，水平飞行速度为1m/s，且在整个降落过程中水平速度保持不变.出于保持机身结构稳定的考虑，飞机竖直方向的加速度的绝对值不得超过110g(此处g≈10m/s2是重力加速度).若飞机模型在与着陆点的水平距离是x0m时开始下降，飞机模型的降落曲线是某三次多项式函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)图象的一部分，飞机模型整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机模型开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题：
(1)确定该飞机模型的降落曲线方程；
(2)求开始下降点x0所能允许的最小值(精确到0.1， 15≈3.87).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：在等差数列{an}中，2a6=a4+a8=20，得a6=10，公差d=a7−a6=2，
所以a4=a6−2d=10−2×2=6.
故选：C.
根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵点(1,f(1))位于函数f(x)=x3+2x上，
∴将x=1代入原函数得到f(1)=3，切线过点(1,3)，
∵f′(x)=3x2+2，∴切线斜率k=f′(1)=5，
∴切线方程为y−3=5(x−1)，即5x−y−2=0，
故选：B.
首先将点代入函数求得切点(1,3)，根据导数性质可得切线斜率k=5，利用直线方程点斜式可求得切线方程．
本题考查利用导数求函数的切线，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意知5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，
则满足条件的分法是只有一个人没有票，
∴不同的分发种数有5种，
故选：A.
由题意知5个人分4张同样的足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，则满足条件的分法是只有一个人没有票，共有五种结果．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设每瓶饮料获得的利润为f(r)，
依题意得，f(r)=0.2×4πr33−0.8πr2=4πr3−12πr215(0f′(r)=4πr2−8πr5=4πr(r−2)5，
于是00，f(r)递增，
所以r=2是极小值点，于是在r∈(0,6],只可能r=6cm使得f(r)最大．
故选：D.
写出利润关于r的函数，利用导函数求出利润最大时的r的取值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，以及利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量．
【解答】
解：依题意，直线3x+2y−1=0的斜率为k=−32，
∴则直线3x+2y−1=0的一个方向向量为(2,−3)，
故选：A.
6.【答案】A
【解析】解：因为(1+2x)7的展开式中第3项为T3=C72(2x)2=4C72x2，
所以(1+2x)7的展开式中第3项的系数为4C72=4×21=84，
(1+2x)7的展开式中第3项的二项式系数为C72=21.
故选：A.
根据二项式展开式的通项公式求得(1+2x)7的展开式中第3项，即可求解．
本题考查二项式定理相关知识，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：密码被成功破译的对立事件是甲乙两人都不能译出密码，
∴密码被成功破译的概率为：
P=1−(1−13)(1−14)=12.
故选：B.
密码被成功破译的对立事件是甲乙两人都不能译出密码，由此能求出密码被成功破译的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为x∈(0,π2)，所以sinx>0，csx>0.
由f(x)即f′(x)sinx−f(x)csx>0.
令g(x)=f(x)sinxx∈(0,π2)，则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)csxsin2x>0.
所以函数g(x)=f(x)sinx在x∈(0,π2)上为增函数，
则g(π6)即 3f(π6)故选：D.
把给出的等式变形得到f′(x)sinx−f(x)csx>0，由此联想构造辅助函数g(x)=f(x)sinx，由其导函数的符号得到其在
(0,π2)上为增函数，则g(π6)本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．
9.【答案】AD
【解析】解：因为a=(1,−2)，b=(1,3)，所以a+b=(2,1)，|a+b|= 22+12= 5，选项A正确；
因为a⋅b=1−6=−5，|a|= 1+4= 5，|b|= 1+9= 10，计算cs=a⋅b|a||b|=−5 5× 10=− 22，
又因为∈[0,π]，所以=3π4，选项B错误；
计算e⋅a= 55+4 55= 5≠0，所以e与a不垂直，选项C错误；
a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|2b=−510(1,3)=(−12,−32)，选项D正确．
故选：AD.
根据平面向量的模长与夹角公式，以及投影向量的定义，计算即可．
本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A：因为50(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1，
解得x=0.0044，故选项A正确；
对于选项B：月平均用电量x−=50(75×0.0024+125×0.0036+175×0.0060+225×0.0044+275×0.0024+325×0.0012)=186(度)，故选项B错误；
对于选项C：易知用电量落在区间[100,250)内的频率为50(0.0036+0.0060+0.0044)=0.7，
所以用电量落在区间[100,250)内的户数为100×0.7=70，故选项C正确；
对于选项D：易知用电量落在区间[50,200)内的频率为50(0.0024+0.0036+0.0060)=0.6，
所以被调查的100户居民用户的月用电量数据的60%分位数估计为200，故选项D正确．
故选：ACD.
由题意，根据频率之和为1，列出等式求出a的值，进而可判断选项A；结合平均数和百分位数的定义以及计算方法即可判断选项B和选项D；先求出用电量落在区间[100,250)内的频率，列出等式即可判断选项C.
本题考查频率分布直方图以及平均数、百分位数的应用，考查了逻辑推理和运算能力．
11.【答案】CD
【解析】解：①若x>0时，f(x)=xex，∴f′(x)=1−xex，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，
②若x<0时，f(x)=−xex，∴f′(x)=x−1ex<0，
∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，
又当x→−∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→0，
且f(0)=0，f(1)=1e，
∴画出f(x)的图象如下：
由图可得：f(x)的极小值为f(0)=0，f(x)的极大值为f(1)=1e；
f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(1,+∞)；
f(x)有唯一零点x=0；
若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(0,1e).
故A，B选项错误；C，D选项正确．
故选：CD.
先分类讨论去掉绝对值，再利用导数研究函数的单调性，从而数形结合，即可分别求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论思想，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：A选项，an+1+(−1)n−1⋅an−1=3n−4中，令n=2得a3−a1=3×2−4=2，
令n=3得a4+a2=3×3−4=5，A正确；
B选项，an+1+(−1)n−1⋅an−1=3n−4中，令n=2k+1得a2k+2+a2k=3(2k+1)−4=6k−1，
所以a4+a2=6×1−1=5，a8+a6=6×3−1=17，a12+a10=6×5−1=29，a16+a14=6×7−1=41，
相加得a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=5+17+29+41=92，
因为数列{an}的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为540−92=448，
an+1+(−1)n−1⋅an−1=3n−4中，令n=2k得a2k+1−a2k−1=3×2k−4=6k−4，
所以a2k+1=6k−4+a2k−1=6k−4+6(k−1)−4+a2k−3=…=6k−4+6(k−1)−4+⋯+6×1−4+a1
=6×k(1+k)2−4k+a1=3k2−k+a1，
故a15+a13+a11+a9+a7+a5+a3+a1=3×72−7+a1+3×62−6+a1+⋯+3×12−1+a1+a1
=392+8a1=448，
解得a1=7，B错误；
C选项，由B选项可知a2m+2+a2m=6m−1，
{an}的前4k(k∈N*)项中的共有偶数项2k项，故最后两项之和为a4k−2+a4k=6(2k−1)−1，
所以数列{an}的前4k(k∈N*)项中的所有偶数项之和为a2+a4+⋯+a4k−2+a4k=5+11+⋯+6(2k−1)−1=k(5+12k−7)2=6k2−k，C正确；
D选项，由B选项可知a2k+1=3k2−k+a1，令n=2k−1，则k=n+12，
故an+2=3×(n+1)24−n+12+a1=(n+1)(3n+1)4+a1，
故当n是奇数时，an+2=(n+1)(3n+1)4+a1，D正确．
故选：ACD.
A选项，赋值法求解即可；B选项，先得到a2k+2+a2k=3(2k+1)−4=6k−1，求出数列{an}的前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到a2k+1=3k2−k+a1，从而得到a15+a13+a11+a9+a7+a5+a3+a1=392+8a1=448，求出答案；C选项，在B选项的基础上得到a2m+2+a2m=6m−1，从而利用等差数列求和公式求解；D选项，在B选项基础上得到a2k+1=3k2−k+a1，令n=2k−1可得答案．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】0
【解析】解：因为复数z=1−i是关于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
所以2(1−i)2+p(1−i)+q=0，整理得(p+q)−(4+p)i=0，所以p+q=0，p+4=0，
则p+q=0.
故答案为：0.
根据复数是方程的根，代入方程由复数相等列方程可得p+q的值．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】167 40
【解析】解：根据题意，设抽取的样本中有男生n人，女生m人，
而该中学共有学生600人，其中男生400人，女生200人，则n=2m，
又由男生样本的均值为170，方差为18，女生样本的均值为161，方差为30.
则样本总体的平均数x−=2m×170+m×1613m=167，
样本总体的方差S2=2m3m[(170−167)2+18]+m3m[(161−167)2+30]=40，
由此可以估计：该校全体学生的身高平均数为167，方差为40.
故答案为：167；40.
根据题意，设抽取的样本中有男生n人，女生m人，由分层抽样方法可得n=2m，由总体的平均数、方差公式求出样本总体的平均数和方差，由此可以估计全体学生的身高平均数、方差，即可得答案．
本题考查总体的平均数、方差的计算，注意两者的计算公式，属于基础题．
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查棱柱的结构特征，训练了等体积法的应用，考查运算求解能力，是基础题．
当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为h，再由体积相等求解．
【解答】
解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形=34S，
水的体积V水=34S×AA1=6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱，设水面高为h，
则有V水=Sh=6S，得h=6，
即当底面ABC水平放置时，液面高为6.
故答案为6.
16.【答案】34
【解析】解：因为E是CD的中点，可得AE=12(AC+AD)=12AC+16AB，
设AH=tAE，所以AH=t2AC+t6AB，
因为B，C，H三点共线，所以t2+t6=1，
解得t=32，所以AH=34AC+14AB，
所以t6|AC|=t2|BC|，所以|AC|=3|BC|，
所以CH=14CB，所以SΔACH=14SΔABC，
延长BC于M，使得CM=AC，延长AC于点N，使得CN=BC，如图所示，
则△BCN∽△MCA，且相似比为13，所以NBAM=13，
所以△NOB∽△MOA，所以BOAO=13，所以AO=3BO，
所以AB=2BO，因为AB=4，所以BO=2，
所以△AOM为等腰三角形，且OA=OM=6，
所以S△AOM≤12×6×6=18，因为SΔABCSΔAOM=14×46=16，
所以S△ABC≤18×16=3，所以S△ACH≤14×3=34，
所以△CAH的面积的最大值为34.
故答案为：34.
因为E是CD的中点，得到AE=12AC+16AB，设AH=tAE，所以AH=t2AC+t6AB，根据B，C，H三点共线，求得AH=34AC+14AB，得到|AC|=3|BC|，得到SΔACH=14SΔABC，延长BC于M，使得CM=AC，延长AC于点N，使得CN=BC，结合相似，得到△AOM为等腰三角形，且OA=OM=6，得出SΔAOM<12×6×6=18，进而取得△CAH的面积的最大值．
本题考查向量运算与解三角形的综合应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，
∴一共有A22A33=12种排法，
∵5人排成一排一共有A55=120种排法，
∴3名宇航员互不相邻的概率为P=12120=110；
(2)①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，P1=A22A33A55=110，
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，P2=C32A22A22A21A55=15，
故P=P1+P2=110+15=310，
∴2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率为310.
【解析】(1)先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，即可计算3名宇航员互不相邻的方法数，再根据古典概型概率公式即可求解；
(2)分2名航天科学家之间有3名宇航员、2名航天科学家之间有2名宇航员两种情况计算即可．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为asinB= 3bcsA，
由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，R为△ABC外接圆的半径，
∴sinA⋅sinB= 3sinB⋅csA.
∵sinB≠0，∴tanA= 3.
又A∈(0,π)，∴A=π3.
(2)由(1)知A=π3，又∵a=2，
由余弦定理a2=b2+c2−2bc⋅csA，得b2+c2−bc=4①，
由题意知S△ABC=12bc⋅sinA= 3，即bc=4②，
联立①②得b2+c2=8，所以(b+c)2=b2+c2+2bc=16，故b+c=4.
【解析】(1)利用正弦定理将边化角，即可得解；
(2)利用余弦定理及面积公式求出bc、b2+c2，即可得解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)正方形ABCD边长为1，正方形EFGH边长为 22，因为任意两个正方形是相似的，其面积的比是边长的平方比，
因此从正方形ABCD开始，所作各正方形面积an依次排成一列得等比数列{an}，其首项为1，公比为( 22)2=12，
所以连续10个正方形的面积之和S10=1−(12)101−12=1023512；
(2)由(1)知，数列{an}为等比数列，a1=1，an=(12)n−1，有n⋅an=n⋅(12)n−1，
则Tn=1×(12)0+2×(12)1+3×(12)2+⋯+n×(12)n−1，
于是12Tn=1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+(n−1)×(12)n−1+n×(12)n，
两式相减得12Tn=1+12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1−n×(12)n=1−(12)n1−12−n×(12)n=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1.
【解析】(1)由已知可得正方形面积依次排成一列，构成等比数列，再利用等比数列前n项和公式求解作答；
(2)由(1)中信息，利用错位相减法求和作答．
本题主要考查了等比数列的定义和性质，考查了错位相减法求和，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO.
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA//平面EDB；
(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC.
∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．
又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC.
又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC.
又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；
(3)由(2)知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C−PB−D的平面角．
由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD= 2a，PB= PD2+BD2= 3a，
PC= PD2+DC2= 2a，DE=12PC= 22a，
在Rt△PDB中，DF=PD⋅BDPB=a⋅ 2a 3a= 63a.
在Rt△EFD中，sin∠EFD=DEDF= 22a 63a= 32，∴∠EFD=π3.
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小为π3.
【解析】(1)由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA//EO，由线面平行的判定定理知PA//平面EDB；
(2)由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DC，由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，进一步得到PB⊥平面EFD；
(3)由条件，可知∠EFD是二面角C−PB−D的平面角，然后求二面角C−PB−D的大小，即可得到平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：(1)∵抛物线C：y2=2px(p>0)过点(a,2 a)(a>0)，
∴2p⋅a=4a.
又∵a>0，
∴2p=4，
上故C的方程为y2=4x.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由(1)知，抛物线C的焦点为F(1,0)，
∵直线AB的斜率为 3，且过点F，
∴直线AB的方程为y= 3(x−1)，
联立y= 3(x−1),y2=4x,得3x2−10x+3=0，
则x1+x2=103.
∴|AB|=x1+x2+p=103+2=163，
故线段AB的长度为163.
【解析】(1)由抛物线过点(a,2 a)，代入原式方程可得抛物线方程；
(2)由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案．
本题考查抛物线的标准方程及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为降落曲线f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)过点O(0,0)，
所以 d=0，则f(x)=ax3+bx2+cx，可得f′(x)=3ax2+2bx+c，
由题意知f′(0)=0f′(x0)=0f(x0)=10，则c=03ax02+2bx0=0ax03+bx02=10，解得a=−20x03,b=30x02，
所以该飞机模型的降落曲线方程为f(x)=−20x03x3+30x02x2，x∈[0,x0].
(2)因为飞机模型水平方向匀速飞行，且飞行速度为1m/s，
所以飞机模型经过降落时间ts后与着陆点的水平距离为x=x0−t，
故竖直高度y(单位：m)与降落时间t(单位：s)的函数关系式为：
y=−20x03(x0−t)3+30x02(x0−t)2，t∈[0,x0]，
由导数的物理意义知，飞机模型的竖直方向的下降速度v(t)=y′=60t(t−x0)x03，
竖直方向的加速度a(t)=v′(t)=60x03(2t−x0)，t∈[0,x0]，
所以当t=0或t=x0时，竖直方向加速度的绝对值达到最大值，且|a(t)|max=60x02，
由题意知|a(t)|max=60x02≤110g=1，
因为x0>0，解得x0≥2 15≈7.7，
所以开始下降点x0所能允许的最小值约为7.7.
【解析】(1)根据降落曲线f(x)过点O(0,0)，求得d=0，求得f′(x)=3ax2+2bx+c，列出方程组，求得a=−20x03,b=30x02，即可求解；
(2)根据题意求得y与t的函数关系式为y=−20x03(x0−t)3+30x02(x0−t)2，t∈[0,x0]，根据导数的意义得到竖直方向的下降速度v(t)=y′=60t(t−x0)x03，求得a(t)=60x03(2t−x0)，求得|a(t)|max=60x02，列出不等式，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．