2021年上海市宝山区罗南中学中考数学一模试卷

这是一份2021年上海市宝山区罗南中学中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列代数式中，归类于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列各数中，不能被6整除的数是（ ）
A．18B．12C．9D．6
3．（4分）下列方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x2+3x+4＝1B．x2+3x+4＝2C．x2+3x+4＝3D．x2+3x+4＝4
4．（4分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＜5B．x＞5C．x＜﹣4D．x＞﹣4
5．（4分）如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．两直角边不等的直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
6．（4分）已知两个相似三角形的相似比是1：2，则下列判断中，错误的是（ ）
A．对应边的比是1：2B．对应角的比是1：2
C．对应周长的比是1：2D．对应面积的比是1：4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果分式的值为0，那么x的值等于 ．
8．（4分）分解因式：x2﹣xy﹣12y2＝ ．
9．（4分）方程的解是 ．
10．（4分）函数的定义域是 ．
11．（4分）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于 ．
12．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是 ．
13．（4分）在某次公益活动中，小明对本年级同学的捐款情况进行了调查统计，发现捐款数只有10元、20元、50元和100元四种情况，并初步绘制成不完整的条形图（如图）．其中捐100元的人数占本年级捐款总人数的25%，那么本次捐款的中位数是 元．
14．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是 ．
15．（4分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝ （用向量、表示）．
16．（4分）已知等腰直角三角形的重心到它的直角顶点的距离为4cm，那么这个重心到此三角形另外两个顶点的距离都是 cm．
17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在边BC上，且BD＝2，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于 ．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点C顺时针旋转到△DEC，其中点A运动到点D，点B运动到点E，记旋转角为α，∠B＝β，如果AD∥BC，那么α与β的数量关系为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解不等式组：
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，sinA＝，AB＝14，BD是AC边上的中线．
求：（1）△ABC的面积；
（2）∠ABD的余切值．
22．（10分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在50≤x≤120时，具有一次函数的关系，如下表所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果现计划每天比原计划多修建20米，那么可提前15天完成修建任务，求现计划平均每天的修建费．
23．（12分）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD＝2AD，AE＝2EC．
（1）求证：EF∥AB；
（2）连接DE，当∠ADE＝∠C时，求证：AB＝AC．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x经过点A（4，0），顶点为B．
（1）求顶点B的坐标；
（2）将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C，此时点A移动到点D的位置，且∠DBA＝∠CBO，求平移后抛物线的表达式．
25．（14分）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，
（1）求：公共弦BC的长度；
（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．
2021年上海市宝山区罗南中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；
B、是分式，故本选项正确；
C、不是分式，故本选项错误；
D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．
2．【分析】根据有理数的除法，能被6整除的数都是6的倍数解答．
【解答】解：∵18、12、6都是6的倍数，
∴都能被6整除，
∵9不是6的倍数，
∴9不能被6整除．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的除法，是基础题，比较简单．
3．【分析】首先把四个选项中的一元二次方程化为一元二次方程的标准形式，再根据根的判别式进行计算即可．
【解答】解：A、x2+3x+4＝1可变为x2+3x+3＝0，Δ＝32﹣4×3＝﹣3＜0，无实数根，故此选项正确；
B、x2+3x+4＝2可变为x2+3x+2＝0，Δ＝32﹣4×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
C、x2+3x+4＝3可变为x2+3x+1＝0，Δ＝32﹣4×1＝5＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
D、x2+3x+4＝4可变为x2+3x＝0，Δ＝32﹣4×0＝9＞0，有两个不相等的实数根，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了根的判别式，以及解一元一次不等式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
4．【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．
【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，
则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
5．【分析】根据题意作出图形．根据三角形中位线定理、正方形的性质可以推知AC＝AB＝2DF，且∠A＝90°，易证△ABC是等腰直角三角形．
【解答】解：如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的中点，且四边形ADFE是正方形．
∵点D、F分别是边AB、BC上的中点，
∴DF＝AC．
同理EF＝AD．
又∵四边形ADFE是正方形，
∴DF＝EF，∠A＝90°，
∴AC＝AB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质．准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势．
6．【分析】相似三角形的相似比只是线段之间的比例，并不是角之间的关系，对应角相等．
【解答】解：相似三角形的相似比即为对应边的比，对应周长的比，相似比的平方即为面积比，所以B不正确，故选B．
【点评】熟练掌握相似三角形的性质及相似比的涵义．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣7＝0，且x≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣7＝0，且x≠0，
解得：x＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
8．【分析】因为﹣4y×3y＝﹣12y2，﹣4y+3y＝﹣y，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣4y）（x+3y）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
9．【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．
【解答】解：，
两边平方得：x2﹣1＝x﹣1，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义，
当x2＝1时，左边＝右边＝0，
则原方程的解是x＝1；
故答案为：x＝1．
【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．
10．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥0且x≠2．
故答案为：x≥0且x≠2．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．【分析】根据反比例函数图象上点的特征可得2y1＝3y2，再整理可得答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），
∴2y1＝k，3y2＝k，
∴2y1＝3y2，
∴＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
12．【分析】列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
所有等可能结果数为12种，其中两个球颜色不同的情况数有8种，
则概率P＝＝．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．【分析】根据捐款100元的人数占年级总人数的25%求得总人数，然后确定捐款20元的人数，然后确定中位数即可．
【解答】解：∵捐100元的15人占年级总人数的25%，
∴年级总人数为15÷25%＝60人，
∴捐款20元的有60﹣20﹣15﹣10＝15人，
∴中位数是第30和第31人的平均数，均为20元
∴中位数为20元．
故答案为：20．
【点评】本题考查了中位数的求法，解题的关键是首先求得总人数和捐款20元的人数．
14．【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程．
【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：
250（15﹣x）+80x＝2900．
故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是2900米”列出方程．
15．【分析】由正六边形的性质可得＝，求出，再由是的相反向量，可得出答案．
【解答】解：连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴FE＝OD，
∴＝，
∴＝+＝+，
∴＝﹣＝﹣﹣．
故答案为：﹣﹣．
【点评】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则．
16．【分析】根据题意画出图形，由于点O是等腰直角△ABC的重心，OA＝4cm，故AD＝BD＝6cm，OD＝2cm，连接OB，根据勾股定理即可求出OB的长．
【解答】解：如图所示：
∵点O是等腰直角△ABC的重心，OA＝4cm，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝6cm，OD＝2cm，
连接OB，
在RtOBD中，
∵BD＝6cm，OD＝2cm，
∴OB＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的重心及等腰直角三角形的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键．
17．【分析】先根据题意画出图象形，作AG⊥BC于G，EF⊥BCY于F，根据三角形的面积建立方程就有BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，再由△CEF∽△CAG就可以得出结论可以求出CE的值从而得出结论．
【解答】解：作AG⊥BC于G，EF⊥BCY于F，
∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，
∴EF∥AG．
∵AB＝AC＝5，
∴BG＝CG＝BC＝3．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得
AG＝4．
∵DC＝BC﹣BD，
∴DC＝6﹣2＝4．
∵S△ABC＝2S△EDC，
∴BC•AG＝2×DC•EF，
∴×6×4＝2××4•EF
即EF＝3．
∵EF∥AG，
∴△CEF∽△CAG，
∴，
∴，
即EC＝，
∴AE＝5﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明三角形相似是难点．
18．【分析】根据等腰△ABC的两底角相等、三角形内角和定理以及平行线的性质求得∠1＝∠2＝180°﹣2β；然后由旋转的性质知△ACD是等腰三角形、∠ACD＝α；最后利用△ACD内角和定理求得α与β的数量关系．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，∠B＝β，
∴∠4＝∠B＝β．
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2．
又∵∠2+∠4+∠B＝180°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣2β．
根据旋转的性质知，∠ACD＝α，AC＝DC，
∴∠1＝∠3，
∴∠ACD＝180°﹣2∠1＝4β﹣180°＝α，
∴4β﹣α＝180°．
故答案为：4β﹣α＝180°．
【点评】本题考查了旋转的性质．解题时，充分利用了“三角形内角和是180°”和“等腰三角形的性质”．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．【分析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2
＝2﹣﹣2﹣+3﹣2
＝﹣2+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．
20．【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得
x≥1，
解不等式②，得
x＜4，
所以不等式组的解集是
1≤x＜4．
【点评】求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
21．【分析】（1）作CH⊥AB，垂足为点H．先由sinA＝，可设CH＝3x，那么AC＝5x，根据勾股定理得出AH＝4x，在直角△BCH中，由∠ABC＝45°，得出BH＝CH＝3x，再根据AB＝AH+HB列出关于x的方程，解方程求出x＝2，得到CH＝6，然后根据△ABC的面积＝AB•CH即可求解；
（2）作DM⊥AB，垂足为点M．先由DM∥CH，AD＝CD，得出M为AH的中点，由三角形中位线定理得出DM＝3，则AM＝4，BM＝10，然后在直角△BDM中根据余切函数的定义即可求出∠ABD的余切值．
【解答】解：（1）作CH⊥AB，垂足为点H．
∵sinA＝，
∴设CH＝3x，那么AC＝5x，AH＝4x．
∵∠ABC＝45°，
∴BH＝CH＝3x．
∵AB＝14，
∴4x+3x＝14，
∴x＝2，即CH＝6，
∴△ABC的面积＝AB•CH＝×14×6＝42；
（2）作DM⊥AB，垂足为点M．
∵DM∥CH，AD＝CD，
∴DM＝CH＝3，AM＝4．
∴BM＝10，
∴ct∠ABD＝＝．
【点评】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理，难度适中．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；
（2）设原计划要m天完成，则增加20km后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入（1）的解析式就可以求出结论．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b．
根据题意，得，
解得：，
∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣x+50．
（2）设现计划修建的时间为m天，
则原计划修建的时间为（m+15）天．
根据题意，得﹣＝20．
m2+15m﹣4500＝0．
解得m＝﹣75或m＝60．
经检验，m＝﹣75或m＝60都是原方程的解，但m＝﹣75不符合题意．
∴m＝60，∴y＝﹣×60+50＝38．
答：现计划平均每天的修建费为38万元．
【点评】本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，列分式方程解实际问题的运用，设间接未知数在解答运用题的运用，解答时建立分式方程求出计划修建的时间是关键．
23．【分析】（1）根据：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边即可证明EF∥AB；
（2）连接DE，当∠ADE＝∠C时，可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得：，再有已知条件即可证明AB＝AC．
【解答】证明：（1）∵BD＝2AD，AE＝2EC，
∴，
又∵DF∥AC，
∴，
∴．，
∴EF∥AB；
（2）∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
又∵BD＝2AD，AE＝2EC，
∴AE＝AC，AD＝AB，
∴，
∴AB2＝2AC2，
即AB＝AC．
【点评】本题考查了利用一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边和相似三角形的判定和性质．
24．【分析】（1）把点A（4，0）代入抛物线y＝ax2+2x可求出a的值，进而可得出抛物线的表达式，把抛物线的表达式化为顶点坐标的形式即可得出B点坐标；
（2）设平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+c．由点B的坐标为（2，2）可得AB＝OB，∠BAD＝∠BOC＝45°．再由全等三角形的判定定理可得出△ABD≌△OBC，故AD＝OC，即平移的距离为c，所以点D的坐标为（4﹣c，0），所以0＝﹣（4﹣c）2+b（4﹣c）+c，故平移后抛物线的对称轴为x＝b，即b＝2﹣c，代入抛物线的解析式即可求出c的值，故可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x经过点A（4，0），
∴0＝16a+8．
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x，
∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣4x+22﹣4）＝﹣（x﹣2）2+2．
顶点B的坐标为（2，2）；
（2）解法一：设平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx+c．
∵点B的坐标为（2，2），
∴AB＝OB＝2，∠BAD＝∠BOC＝45°．
又∵∠DBA＝∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD＝OC，即平移的距离为c．
∴点D的坐标为（4﹣c，0）．
∴0＝﹣（4﹣c）2+b（4﹣c）+c．
又∵平移后抛物线的对称轴为x＝b．
∴b＝2﹣c．
∴0＝﹣（4﹣c）2+（2﹣c）（4﹣c）+c．
解得c＝2或c＝0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+2．
解法二：∵原抛物线表达式为y＝﹣x（x﹣4），
∴设平移后抛物线表达式为y＝﹣（x+m）（x﹣4+m）（m＞0，向左平移的距离）．
即y＝﹣x2﹣（m﹣2）x﹣m2+2m．
∵B的坐标为（2，2），
∵AB＝OB＝2，∠BAD＝∠BOC＝45°，
又∵∠DBA＝∠CBO，
∴△ABD≌△OBC．
∴AD＝OC，即m＝﹣m2+2m．解得m＝2或m＝0（不符合题意，舍去）．
∴平移后抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的平移等知识，难度较大．
25．【分析】（1）先求出OP⊥BC，且BH＝CH，再根据OB＝9，cs∠AOB＝，求出OH，BH＝3，即可求出BC；
（2）作PM⊥BD，垂足为点M．得BM＝DM＝y，根据cs∠AOB＝＝，得出＝，通过计算得出y关于x的函数解析式为y＝x﹣6，定义域为x．
（3）根据△BDE与△BPE相似，∠DBE＝∠BPE，根据∠DBE＝∠OBH，得出∠OPM＝∠OBH，∠BPE＝∠OPM，而∠BPM＝∠DPM，则∠OPB＝∠BPM＝∠DPM，BM＝BH，即BD＝BC，再列出方程x﹣6＝6，解得x＝，即可得出AP＝；
【解答】解：（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH＝CH，
在Rt△BOH 中，
∵OB＝9，cs∠AOB＝＝，
∴OH＝6，
∴BH＝3，
∴BC＝6；
（2）如图1，作PM⊥BD，垂足为点M．
由垂径定理，得BM＝DM＝y，
∴cs∠AOB＝＝，即＝，
∴y关于x的函数解析式为y＝x﹣6，
定义域为x．
（3）如图2，∵△DBE∽△BPE，
∴∠DBE＝∠BPE，
∵∠DBE＝∠OBH，∠OPM＝∠OBH，
∴∠BPE＝∠OPM，
而∠BPM＝∠DPM，
∴∠OPB＝∠BPM＝∠DPM，
∴BM＝BH，即BD＝BC，
∴x﹣6＝6，
解得x＝，即AP＝；
同理可得：AP＝﹣；
综上所述，线段AP的长为或﹣．
【点评】此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、圆的有关性质等，关键是灵活运用有关性质，根据已知条件列出方程．
x
50
80
100
120
y
40
34
30
26
红
红
白
白
红
﹣﹣﹣
（红，红）
（白，红）
（白，红）
红
（红，红）
﹣﹣﹣
（白，红）
（白，红）
白
（红，白）
（红，白）
﹣﹣﹣
（白，白）
白
（红，白）
（红，白）
（白，白）
﹣﹣﹣