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_ 2021年上海市宝山区中考数学三模试卷（word版 含答案）
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这是一份_ 2021年上海市宝山区中考数学三模试卷（word版 含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年上海市宝山区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．下列计算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a3
C．a3•a2＝a6 D．3a2+2a3＝5a5
2．下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C．x2﹣x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0
3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
4．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（1）班外出的学生共有42人
B．九（1）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°
D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：＝ ．
8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝ ．
9．化简：﹣＝ ．
10．函数的定义域是 ．
11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝ ．
12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为 ．
13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为 ．
14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 （只需写出一个满足要求的数）．
15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示）．
16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一种情况）．
17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是 （用m的代数式表示）．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cosC＝．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．
22．（10分）某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：
（1）y关于x的函数关系式；
（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
25．（14分）已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．
（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
2021年上海市宝山区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．下列计算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a3
C．a3•a2＝a6 D．3a2+2a3＝5a5
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、（2a）2＝4a2，故本选项错误．
B、a6÷a3＝a3，故本选项正确．
C、a3•a2＝a5，故本选项错误．
D、3a2与2a3，不能合并同类项 故本选项错误．
故选：B．
2．下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C．x2﹣x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0
【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数．
【解答】解：A、分式方程＝0，
去分母得：x2+2＝0
∵x2≥0，
∴原方程无解；
B、∵≥0
∴无理方程无解；
C、∵x2﹣x+1＝0中b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0
∴x2﹣x+1＝0无实数根；
D、∵2x2+x﹣1＝0中b2﹣4ac＝1+8＝9＞0，
∴此方程有实数根，
故选：D．
3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
【分析】图象一定经过第二象限，则函数一定与y轴的正半轴相交，因而m＞0．
【解答】解：根据题意得：m＞0，
故选：A．
4．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（1）班外出的学生共有42人
B．九（1）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°
D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．
【解答】解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%＝40人，
所以骑车的占12÷40＝30%，步行人数＝40﹣12﹣20＝8人，
所占的圆心角度数为360°×20%＝72°，
如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人．
故选：B．
5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【解答】解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，
360°÷45°＝8，
∴这个正多边形是正八边形．
正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：C．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
【分析】根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出是等腰梯形，故本选项正确；
B、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；
C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能也平行，那么就有可能是平行四边形，故本选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．
故本选项错误；
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：＝ 3 ．
【分析】＝，即是求9的算术平方根．
【解答】解：根据题意：＝＝3．
故答案为：3．
8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝ a2（a﹣9） ．
【分析】按照因式分解的定义，提取公因式即可求解．
【解答】解：a3﹣9a2＝a2（a﹣9）．
故答案为：a2（a﹣9）．
9．化简：﹣＝ ．
【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、化简即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
10．函数的定义域是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数可：4﹣2x≥0，求解即可．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，
解得x≤2．
故答案为x≤2．
11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝ ﹣6 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A（2，﹣3）代入反比例函数，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意，得
﹣3＝，
解得，k＝﹣6．
故答案是：﹣6．
12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为 y＝x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位所得函数解析式为：y＝x+3﹣5，
即y＝x﹣2．
故答案为：y＝x﹣2．
13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为 ．
【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．
【解答】解：∵布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，
∴P（摸到黄球）＝＝．
故答案为：．
14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 4（所填答案满足a≥4即可） （只需写出一个满足要求的数）．
【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．
【解答】解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，
∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，
即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，
∴a≥4或a≥5，
故答案是4（答案不唯一）．
15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝ ﹣﹣ （用向量、的式子表示）．
【分析】由在平行四边形ABCD中，可得＝＝，即可得＝﹣，＝﹣，又由＝+，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣．
故答案为：﹣﹣．
16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 AB＝CD或AD∥BC （只需写出一种情况）．
【分析】用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形．
17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是 （用m的代数式表示）．
【分析】让汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数．
【解答】解：共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，
∴租用大客车的辆数是 ，
故答案为：．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为 ．
【分析】根据切线的性质得到∠A′DC＝90°，根据旋转变换的性质得到CA′＝CA＝3，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，连接A′D，
则∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，然后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝•
＝．
当x＝2+时，原式＝＝＝．
20．（10分）解方程组：．
【分析】先由②得到关于y，并代入①，从而求得．
【解答】解：由②得y＝2x﹣1．③（1分）
把③代入①，得3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3＝0．
整理后，得x2﹣2x﹣3＝0．（2分）
解得x1＝﹣1，x2＝3．（2分）
把x1＝﹣1代入③，得y1＝﹣3．（2分）
把x2＝3代入③，得y2＝5．（2分）
所以，原方程组的解是（1分）
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cosC＝．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由，可求得CH，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，得∠ABD＝∠ADB．则AD＝AB＝5．即可求出BC；
（2）在Rt△CDH中，可求得DH，进而得出BH，将角∠DAE转化成∠BDH，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△CDH中，由∠CHD＝90°，CD＝5，，
得．（1分）
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠ADB．即得AD＝AB＝5．（2分）
于是，由等腰梯形ABCD，可知BC＝AD+2CH＝13．（1分）
（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠AED＝90°．
∵∠ADB＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠BDH．（1分）
在Rt△CDH中，．（1分）
在Rt△BDH中，BH＝BC﹣CH＝13﹣4＝9．（1分）
∴．（1分）
∴cot∠DAE＝cot∠BDH＝．（1分）
22．（10分）某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：
（1）y关于x的函数关系式；
（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
【分析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式．
（2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解
【解答】解：（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，
根据题意，得：
y＝200﹣4×，
∴．
（2）设每间客房每天的定价增加x元
根据题意，得．
整理后，得x2﹣320x+6000＝0．
解得x1＝20，x2＝300．（2分）
当x＝20时，x+180＝200（元）．
当x＝300时，x+180＝480（元）．
答：这天的每间客房的价格是200元或480元．
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，求出∠FAC＝∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B＝∠FCA即可；
（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD＝CF＝AC，求出∠DAC＝∠EFC，根据SAS推出△DAC≌△EFC即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠FAC＝∠BAD，
在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠FCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，
∴FC⊥BC．
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵BD＝AC，
∴AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF，∠DAF＝∠EFA＝90°，
∴∠DAF﹣∠CAF＝∠EFA﹣∠CFA，
∴∠DAC＝∠EFC，
在△DAC和△EFC中
，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD＝CE．
24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴．
∴A（，0）．（1分）
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，
∴．
解得．
∴二次函数的解析式为．（2分）
顶点C的坐标是（，3）．（1分）
（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB＝2．（1分）
由DE是二次函数的图象的对称轴，
可知DE∥AB，OE＝AE．
∴．即得DE＝1．（1分）
又∵C（，3），∴CE＝3．
即得CD＝2．（1分）
∴．（1分）
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．（1分）
∴．
解得．（1分）
∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．（2分）
25．（14分）已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．
（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
【分析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．利用勾股定理即可证明；
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．从而可求出答案；
（3）△PHD与△ABH相似，则有，代入各线段的长短即可求出x的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．
又∵，AH⊥BC，
∴．
即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．
在Rt△PHD中，HD＝2，
利用勾股定理，得．
∴当x＝3时，⊙P的半径长为．
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．
在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．
利用勾股定理，得．
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°．即得．
在⊙P中，PE＝PD．
∵PM⊥EF，P为圆心，
∴．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．
即得．
∴所求函数的解析式为，
定义域为．
（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，
，
解得：PH＝，
∴x＝AP＝6﹣，
当P在AH的延长线上时，x＝6+；
②当△PHD∽△AHB时，，
即，
解得：PH＝2，
∴x＝AP＝6﹣2，
当P在AH的延长线上时，x＝6+2；
，，，．
2021年上海市宝山区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．下列计算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a3
C．a3•a2＝a6 D．3a2+2a3＝5a5
2．下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C．x2﹣x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0
3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
4．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（1）班外出的学生共有42人
B．九（1）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°
D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：＝ ．
8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝ ．
9．化简：﹣＝ ．
10．函数的定义域是 ．
11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝ ．
12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为 ．
13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为 ．
14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 （只需写出一个满足要求的数）．
15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝ （用向量、的式子表示）．
16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 （只需写出一种情况）．
17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是 （用m的代数式表示）．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cosC＝．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．
22．（10分）某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：
（1）y关于x的函数关系式；
（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
25．（14分）已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．
（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
2021年上海市宝山区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]
1．下列计算正确的是（ ）
A．（2a）2＝2a2 B．a6÷a3＝a3
C．a3•a2＝a6 D．3a2+2a3＝5a5
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【解答】解：A、（2a）2＝4a2，故本选项错误．
B、a6÷a3＝a3，故本选项正确．
C、a3•a2＝a5，故本选项错误．
D、3a2与2a3，不能合并同类项 故本选项错误．
故选：B．
2．下列方程有实数根的是（ ）
A． B． C．x2﹣x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0
【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数．
【解答】解：A、分式方程＝0，
去分母得：x2+2＝0
∵x2≥0，
∴原方程无解；
B、∵≥0
∴无理方程无解；
C、∵x2﹣x+1＝0中b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0
∴x2﹣x+1＝0无实数根；
D、∵2x2+x﹣1＝0中b2﹣4ac＝1+8＝9＞0，
∴此方程有实数根，
故选：D．
3．如果函数y＝3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
【分析】图象一定经过第二象限，则函数一定与y轴的正半轴相交，因而m＞0．
【解答】解：根据题意得：m＞0，
故选：A．
4．如图，反映的是某中学九（1）班学生外出乘车、步行、骑车人数的扇形分布图，其中乘车的学生有20人，骑车的学生有12人，那么下列说法正确的是（ ）
A．九（1）班外出的学生共有42人
B．九（1）班外出步行的学生有8人
C．在扇形图中，步行学生人数所占的圆心角的度数为82°
D．如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人
【分析】先求出九（1）班的总人数，再求出步行的人数，进而求出步行人数所占的圆心角度数，最后即可作出判断．
【解答】解：由扇形图知乘车的人数是20人，占总人数的50%，所以九（1）班有20÷50%＝40人，
所以骑车的占12÷40＝30%，步行人数＝40﹣12﹣20＝8人，
所占的圆心角度数为360°×20%＝72°，
如果该中学九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有150人．
故选：B．
5．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【解答】解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，
360°÷45°＝8，
∴这个正多边形是正八边形．
正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：C．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
【分析】根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出是等腰梯形，故本选项正确；
B、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；
C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能也平行，那么就有可能是平行四边形，故本选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．
故本选项错误；
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：＝ 3 ．
【分析】＝，即是求9的算术平方根．
【解答】解：根据题意：＝＝3．
故答案为：3．
8．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝ a2（a﹣9） ．
【分析】按照因式分解的定义，提取公因式即可求解．
【解答】解：a3﹣9a2＝a2（a﹣9）．
故答案为：a2（a﹣9）．
9．化简：﹣＝ ．
【分析】根据分式加减的运算法则，将分式通分、化简即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝．
10．函数的定义域是 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数可：4﹣2x≥0，求解即可．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，
解得x≤2．
故答案为x≤2．
11．已知：反比例函数的图象经过点A（2，﹣3），那么k＝ ﹣6 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A（2，﹣3）代入反比例函数，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意，得
﹣3＝，
解得，k＝﹣6．
故答案是：﹣6．
12．将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位，那么平移后所得图象的函数解析式为 y＝x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将一次函数y＝x+3的图象沿着y轴向下平移5个单位所得函数解析式为：y＝x+3﹣5，
即y＝x﹣2．
故答案为：y＝x﹣2．
13．一布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黄球的概率为 ．
【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．
【解答】解：∵布袋里装有4个红球、5个黄球、6个黑球，
∴P（摸到黄球）＝＝．
故答案为：．
14．如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是 4（所填答案满足a≥4即可） （只需写出一个满足要求的数）．
【分析】由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．
【解答】解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，
∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，
即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，
∴a≥4或a≥5，
故答案是4（答案不唯一）．
15．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝ ﹣﹣ （用向量、的式子表示）．
【分析】由在平行四边形ABCD中，可得＝＝，即可得＝﹣，＝﹣，又由＝+，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣．
故答案为：﹣﹣．
16．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是 AB＝CD或AD∥BC （只需写出一种情况）．
【分析】用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形．
17．某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是 （用m的代数式表示）．
【分析】让汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数．
【解答】解：共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，
∴租用大客车的辆数是 ，
故答案为：．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以点A为圆心，1为半径作⊙A，将⊙A绕着点C顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），若⊙A与直线BC相切，则∠α的余弦值为 ．
【分析】根据切线的性质得到∠A′DC＝90°，根据旋转变换的性质得到CA′＝CA＝3，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：设将⊙A绕着点C顺时针旋转，点A至点A′时，⊙A′与直线BC相切相切于点D，连接A′D，
则∠A′DC＝90°，A′D＝1，
由旋转的性质可知，CA′＝CA＝3，
∴cos∠CA′D＝＝，
∵AC∥A′D，
∴α＝∠CA′D，
∴∠α的余弦值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，然后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝•
＝．
当x＝2+时，原式＝＝＝．
20．（10分）解方程组：．
【分析】先由②得到关于y，并代入①，从而求得．
【解答】解：由②得y＝2x﹣1．③（1分）
把③代入①，得3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3＝0．
整理后，得x2﹣2x﹣3＝0．（2分）
解得x1＝﹣1，x2＝3．（2分）
把x1＝﹣1代入③，得y1＝﹣3．（2分）
把x2＝3代入③，得y2＝5．（2分）
所以，原方程组的解是（1分）
21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，对角线BD平分∠ABC，cosC＝．
（1）求边BC的长；
（2）过点A作AE⊥BD，垂足为点E，求cot∠DAE的值．
【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．在Rt△CDH中，由，可求得CH，再根据角平分线的定义以及平行线的性质，得∠ABD＝∠ADB．则AD＝AB＝5．即可求出BC；
（2）在Rt△CDH中，可求得DH，进而得出BH，将角∠DAE转化成∠BDH，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△CDH中，由∠CHD＝90°，CD＝5，，
得．（1分）
∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠ADB．即得AD＝AB＝5．（2分）
于是，由等腰梯形ABCD，可知BC＝AD+2CH＝13．（1分）
（2）∵AE⊥BD，DH⊥BC，
∴∠BHD＝∠AED＝90°．
∵∠ADB＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠BDH．（1分）
在Rt△CDH中，．（1分）
在Rt△BDH中，BH＝BC﹣CH＝13﹣4＝9．（1分）
∴．（1分）
∴cot∠DAE＝cot∠BDH＝．（1分）
22．（10分）某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间．求：
（1）y关于x的函数关系式；
（2）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
【分析】（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，根据某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租可列出函数式．
（2）38400是利润，根据价格和住房的关系可列方程求出解
【解答】解：（1）设每间客房每天的定价增加x元，宾馆出租的客房为y间，
根据题意，得：
y＝200﹣4×，
∴．
（2）设每间客房每天的定价增加x元
根据题意，得．
整理后，得x2﹣320x+6000＝0．
解得x1＝20，x2＝300．（2分）
当x＝20时，x+180＝200（元）．
当x＝300时，x+180＝480（元）．
答：这天的每间客房的价格是200元或480元．
23．（12分）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，以AD为边作正方形ADEF，联结CF，CE．
（1）求证：FC⊥BC；
（2）如果BD＝AC，求证：CD＝CE．
【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，求出∠FAC＝∠BAD，证出△ABD≌△ACF，推出∠B＝∠FCA即可；
（2）根据△ABD≌△ACF，推出BD＝CF＝AC，求出∠DAC＝∠EFC，根据SAS推出△DAC≌△EFC即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠FAD＝90°＝∠BAC，
∴∠FAD﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，
∴∠FAC＝∠BAD，
在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠B＝∠FCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，
∴FC⊥BC．
（2）∵△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∵BD＝AC，
∴AC＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝EF，∠DAF＝∠EFA＝90°，
∴∠DAF﹣∠CAF＝∠EFA﹣∠CFA，
∴∠DAC＝∠EFC，
在△DAC和△EFC中
，
∴△DAC≌△EFC（SAS），
∴CD＝CE．
24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4．二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图象的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求的值；
（3）设P是这个二次函数图象的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）由∠OAB＝90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE＝AE．求得DE，进而求得CD，从而求得．（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
【解答】解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴．
∴A（，0）．（1分）
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图象经过点A，
∴．
解得．
∴二次函数的解析式为．（2分）
顶点C的坐标是（，3）．（1分）
（2）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB＝2．（1分）
由DE是二次函数的图象的对称轴，
可知DE∥AB，OE＝AE．
∴．即得DE＝1．（1分）
又∵C（，3），∴CE＝3．
即得CD＝2．（1分）
∴．（1分）
（3）根据题意，可设P（，n）．
∵，CE＝3，
∴．（1分）
∴．
解得．（1分）
∴点P的坐标为P1（，）、P2（，）．（2分）
25．（14分）已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．
（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
【分析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．又∵，AH⊥BC，∴．即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．利用勾股定理即可证明；
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．从而可求出答案；
（3）△PHD与△ABH相似，则有，代入各线段的长短即可求出x的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．
又∵，AH⊥BC，
∴．
即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．
在Rt△PHD中，HD＝2，
利用勾股定理，得．
∴当x＝3时，⊙P的半径长为．
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．
在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．
利用勾股定理，得．
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°．即得．
在⊙P中，PE＝PD．
∵PM⊥EF，P为圆心，
∴．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．
即得．
∴所求函数的解析式为，
定义域为．
（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，
，
解得：PH＝，
∴x＝AP＝6﹣，
当P在AH的延长线上时，x＝6+；
②当△PHD∽△AHB时，，
即，
解得：PH＝2，
∴x＝AP＝6﹣2，
当P在AH的延长线上时，x＝6+2；
，，，．
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