广东省茂名市崇文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广东省茂名市崇文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别相等B．两条对角线相等
C．四个内角都是直角D．每一条对角线平分一组对角
3．一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包(每包10只)，其中合格口罩的只数分别是：9、10、9、10、10，则估计该品牌口罩的合格率约是 ( )
A．95％B．96％C．97％D．98％
5．如果两个相似多边形的面积的比为，则它们的周长的比为（ ）
A．B．C．D．
6．一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）

A．圆柱B．圆锥C．长方体D．三棱柱
7．若函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A．2B．C．D．1
8．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25.5万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为15.98万元，求每次下调的百分率，设百分率为x，则可列方程为（ ）
A．15.98（1+x）2＝25.5B．15.98（1+x2）＝25.5
C．25.5（1﹣x）2＝15.98D．25.5（1﹣x2）＝15.98
9．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：
①ac＜0；
②2a+b＝0；
③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；
④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．已知∠A为锐角，，则∠A 的度数是 ．
12．方程的根是 ．
13．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 ．
14．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
15．如图，先锋村准备在坡角为α＝30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 米．
16．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水距离也为，那么水管的设计高度应为 m．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：．
19．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：

(1)求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求m的值；
(3)如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
20．如图，已知反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）．
（1）求这两个函数的表达式及其图象的另一交点B的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量x的取值范围；
21．如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
22．某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°=0.45，cs27°=0.89，tan27°=0.5，sin50°=0.77，cs50°=0.64，tan50°=1.2）
23．学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
24．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
25．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
参考答案：
1．D
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
2．D
【分析】菱形具有平行四边形的全部性质，故分析ABCD选项，添加一个条件证明平行四边形为菱形即为菱形具有而平行四边形不具有的性质，即可解题．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，对边相等，
且菱形具有平行四边形的全部性质，
故A、B、C选项错误；
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的邻角互补、对角线互相平分，对角相等的性质，菱形每条对角线平分一组对边的性质，本题中熟练掌握菱形、平行四边形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】运用直接开平方法求解；
【详解】解：由原方程得，，解得；
故选：D
【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；掌握直接开平方法是解题的关键．
4．B
【详解】解：由题意得：.
故选：B.
5．D
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似多边形的面积的比为，
∴它们的周长的比为：．
故选：D．
6．D
【分析】根据三视图进行判断即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，掌握基本立体图形的三视图是解题的关键．
7．A
【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，且，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数就叫做反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题关键．
8．C
【分析】根据题意两次降价即可列出等式.
【详解】由题意可知原价25.5万，两次下调相同费率后售价为15.98万元，可得
25.5（1﹣x）2＝15.98.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.
9．B
【分析】利用比例的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴===，
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．
10．B
【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由得出x1，x2关于对称轴x＝2对称，则可对④进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＞0，所以①不正确；
②∵顶点M（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴4a+b＝0，所以②不正确；
③∵抛物线的顶点M的坐标为（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
又∵4a+b＝0，
∴b+c＝0，即b＝﹣c，4a＝c，
∵关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4a（c﹣t）＞0，即c2﹣c（c﹣t）＞0，
得ct＞0，
∵c＞0，
∴t＞0，所以③正确；
④∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
则，
∵当x＝x1与x＝x2时，y值相同，
∴x1，x2关于对称轴x＝2对称，
则，即x1+x2＝4，所以④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系以及图象的性质，熟练掌握二次函数图象与各式子之间的关系，灵活对所求式子进行变形处理是解题关键．
11．60°/60度
【分析】根据特殊角的三角函数值解决问题即可．
【详解】解：∵csA=，∠A为锐角，
∴∠A＝60°，
故答案为60°．
【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
12．1和2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
或，
，
所以方程的根是1和2，
故答案为：1和2．
13．24
【分析】根据菱形的面积公式进行计算即可；
【详解】解：由菱形的面积公式：对角线乘积的一半得：
；
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的面积．熟记菱形的面积公式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．
根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
解得，
故答案为：．
15．.
【分析】】直接利用锐角三角函数关系得出csα=，进而得出答案
【详解】解：由于相邻两树之间的水平距离为5米，坡角为α＝30°，
则两树在坡面上的距离（米）．
故答案为.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．
16．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案．
【详解】解：如图，

根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为；
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
，
令得：，
水管的高度应为．
故答案为：．
17．
【分析】根据去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式加减运算，涉及去绝对值运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
18．，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算，理解因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项得：，
因式分解的：，
∴或，
解得：，．
19．(1)40人，见解析
(2)40
(3)
【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图；
（2）根据的人数与总人数即可求解．
（3）用画树状图或列表的方法求概率即可求解．
【详解】（1）九（1）班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
（2），
∴，
（3）（方法一）画树状图：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
（方法二）列表：
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
．
20．（1）；，；（2）或
【分析】（1）将点，分别代入函数解析式，即可得出b，k的值，从而得到两个函数的表达式，再将两函数解析式联立求出交点坐标即可，一个是A点坐标，另一个就是B点坐标；
（2）利用交点坐标以及函数图象得出函数值的自变量x的取值范围，即为反比例函数图象在一次函数上面x的取值范围，看图象求出即可．
【详解】解：（1）∵反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3），
∴，
，
解得：，
∴，，
将两函数联立得：
解得：，，
∴B点坐标为：；
故答案为：；，；
（2）利用图象以及A，B点的坐标可得出，
函数值y1＞y2的自变量x的取值范围也就是反比例函数图象在一次函数图象上方（下图红线区域），
∴或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．
21．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，从而得到AB=AD，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）利用平行四边形的性质得到∠G=30°，∠EAG=90°，再由直角三角形的性质即可得到结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
又∵BE=DF，
∴≌，
∴AB= AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，
∵∠CEG=30°，AE⊥BC，
∴∠G=30°，∠EAG=90°，
又∵AE=2，
∴EG=2AE=4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
22．4.2米
【分析】首先设AC=x米，然后由在Rt△ACD中，tan50= ,求得CD，由在Rt△ACE中，tan27°= ，求得CE，又由CE-CD=DE，即可得方程，继而求得答案
【详解】解：设AC＝x米，
在Rt△ACD中，tan50°＝，
∴CD＝＝ ＝ x，
在Rt△ACE中，tan27°＝，
∴CE＝＝＝2x，
∵CE﹣CD＝DE，
∴2x﹣x＝3.5．
解得x＝3．
∴AB＝AC+CB＝3+1.2＝4.2（米）．
答：小树AB的高为4.2米．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键在于掌握直角三角形的性质
23．（1）6m；（2）当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【分析】（1）设AD=xm，则有，由题意得，然后结合墙长为9m可求解问题；
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：，即，进而可得，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）设AD=xm，则有，由题意可得：
，
解得：，
∵墙长为9m，
∴AB的长不超过9m，
∴，
∴AB=6m；
答：生物园一边AB的长为6m．
（2）设生物园的面积为，AD=xm，则有，由（1）可得：
，即，
∴，对称轴为直线，
∵墙长为9m，
∴且，
∴，
∴当时，S取最大值，
∴AD=4m，AB=8m，
答：当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
24．（1）10%；（2）1331万平方米．
【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可；
（2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可．
【详解】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：
1000（1+x）2＝1210．
解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．
答：2021年的绿化面积是1331万平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．(1)，顶点D的坐标为
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3），是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，
∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
（3）解：由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．
在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．