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广东省深圳市龙岗区雪象学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（原卷+解析）
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1. 的相反数为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数进行解题．
【详解】解：的相反数为3，
故选D．
2. 如图几何体主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．
【详解】解：由图可得，几何体的主视图如图所示：
故选：B.
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框通常不在一个平面上．
3. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为千米/秒，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
4. 下列方程中，解是x=4的是( )
A. 3x+1=11B. –2x–4=0C. 3x–8=4D. 4x=1
【答案】C
【解析】
【分析】把x=4代入各方程检验即可．
【详解】解：把x=4代入各方程
A. 3×4+1≠11，不符合题意；
B. –2×4–4≠0，不符合题意；
C. 3×4–8=4，符合题意；
D. 4×4≠1，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
5. 周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（ ）
A. 37.5°B. 45°C. 52.5°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】9时是分针指向12，时针指向9，10：30时分针指向6，时针指向10和11正中间，所以时针走了1.5个大格，因为每个大格所对的角度是30度，所以3个大格之间的夹角是30°×1.5=45°，据此解答即可．
【详解】解：由分析得出：从上午9：00到上午10：30，钟面上的时针转了：30°×1.5=45°．
故选：B．
【点睛】解决本题要先分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行解答．
6. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的乘方，利用有理数的乘方法则，去括号的法则，合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴A选项的计算不正确，不符合题意；
∵，
∴B选项的计算不正确，不符合题意；
∵不是同类项，不能合并，
∴C选项的计算不正确，不符合题意；
∵，
∴D选项的计算正确，符合题意．
故选：D．
7. 若，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方和绝对值的非负性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：
解得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的性质；熟练掌握绝对值和平方的非负性是解决问题的关键．
8. 如果a的相反数是，那么a的倒数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义以及倒数的性质，先根据“只有符号不同的两个数互为相反数”求出a的值，再根据互为倒数的两个数乘积为1，即可作答．
【详解】解：∵a的相反数是，
∴
所以
即a的倒数是
故选：C
9. 如图是三阶幻方的一部分，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个幻方，下列说法错误的是( )
A. 每条对角线上三个数字之和等于
B. 是这九个数字中最大的数
C. 三个空白方格中的数字之和等于
D. 这九个数字之和等于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，得出，，即可求解．
【详解】解：因为每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
而第列：，于是有
，
，
得出，，
从而可求出三个空格处的数为、、．则，；
所以答案A、B、D正确，
而，
故答案C错误．
故选：C．
10. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A. 34B. 40C. 49D. 59
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5＋2个；第2个图形共有圆点5＋2＋3个；第3个图形共有圆点5＋2＋3＋4个；第4个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋5个；…；则第n个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋…＋n＋（n＋1）个；由此代入n＝8求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5＋2；
当n＝2时，圆点个数5＋2＋3；
当n＝3时，圆点个数5＋2＋3＋4；
当n＝4时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5，…
∴当n＝8时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝4＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝4＋×9×(9＋1)＝49．
故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 《九章算术》中记载“今两算得失相反，要令正负以名之”．其大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入10元记为元，则支出15元可记为________元．
【答案】
【解析】
【分析】根据正数和负数是具有相反意义的量即可进行解答．
【详解】解：∵收入和支出是具有相反意义的量，
∴支出15元可记为元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正数和负数是具有相反意义量，解题的关键是熟练掌握相关内容．
12. 有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的对面和邻面得出每一个面的对面后，确定a、b的值代入计算即可．
【详解】由三个正方体上所标的数字可得，
“1”的邻面有“6，4，2，3”，因此“1”对“5”，
“3”的邻面有“1，2，4，5”，因此“3”对“6”，
于是“2”对“4”，
∵标有数字6的面所对面上的数字记为a，2的面所对面上数字记为b，
∴a=3，b=4，
∴2a+3b=6+12=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查正方体表面展开图，正确判断“对面“和“邻面“是解决问题的关键．
13. 已知线段AB=8cm， 点C在直线AB上，BC=2cm，点D为线段AC的中点，则线段DB的长为__________cm．
【答案】3或5##5或3
【解析】
【分析】根据题目描述标出点C的位置，分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况，根据线段中点的定义，结合图形进行计算即可．
【详解】
∵点C在直线AB上，BC=2cm，
∴如图，点C有可能在C1或C2的位置，即AC1=AB－2=6（cm） ，AC2=AB＋2=10（cm）
∵点D为线段AC的中点
∴①点C在C1位置时，
②点C在C2位置时，
综上，故填3或5．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，两点间距离的计算，灵活运用数形结合思想，掌握线段中点的性质以及分情况讨论是解题的关键．
14. 如图，半圆的直径，若C、D是半圆的3等分点，则阴影部分的面积为______．（结果保留π）
【答案】##
【解析】
【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
则，
∵C、D是半圆的3等分点，且，
∴，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
15. 已知∠AOB=60°，以点O为端点作射线OC，使∠BOC=20°，再作∠AOC的平分线OD，则∠AOD的度数为_________．
【答案】40°或20°
【解析】
【分析】考虑线段OC在角的内部和外部两种情况，每一种情况都用角的定义和角平分的定义求解．
【详解】(1)当OC在∠AOB的内部时，
如图1所示：
∵∠BOC=20°，∠AOB=60°，
∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC=60°-20°=40°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=20°；
(2)当OC在∠AOB的外部时，
如图所示：
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=60°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=80°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=40°；
综合所述∠AOD的度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的和差知识，重点掌握角的计算，难点是用分类计算角的大小，以防遗漏．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16. 如图，直线、相交于点O，．
（1）画的平分线；
（2）画射线，垂足为O；
（3）求度数．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了角平分线、垂线的尺规作图以及角度的计算，
（1）以O点为圆心，一定长度为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧于点P，连接并延长至点E，问题得解；
（2）延长至点K，以O点为圆心，一定长度为半径画弧，分别交、于点G、H，再分别以G、H为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧于点Q，连接并延长至点F，问题得解；
（3）分当F点与B点同侧时与当F点与B点不同侧时两种情况讨论，即可作答．
【小问1详解】
如图，
即为所作；
【小问2详解】
如图，当F点与B点同侧时，点F在处，当F点与B点不同侧时，点F在处，
即为所作；
【小问3详解】
当F点与B点同侧时，点F在处，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
当F点与B点不同侧时，点F在处，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上：的度数为或．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算绝对值和括号里面的数，然后再根据去绝对值和去括号，计算即可；
（2）首先计算有理数的平方和绝对值里面的数，然后再去绝对值，最后再根据有理数的加减法计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减法、有理数的乘方、绝对值的意义，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
当，时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可作答．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
20. 某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元．
求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？
某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】（1）衣服和鞋子单价各是326元和160元；（2）只能在B超市购买，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设鞋子的单价为x元，根据题意列出方程借即可求出答案．
（2）当在A超市购买时，486×0.85=412.25＞400，所以不能在A超市购买，所以只能在B超市购买，根据B超市优惠方案即可求出答案．
【详解】解：（1）设鞋子的单价为x元，则衣服的单价为元，根据题意得
x+（2x+6）=486
解得：，
，
答：该同学看中的衣服和鞋子单价各是326元和160元．
（2）当在A超市购买时，
，所以不能在A超市购买，
当在B超市购买时，
衣服单价为326元，
可以返还90元，用于下次购买商品，
鞋子只需要付款，
两件商品共花费了﹤400元，
∴该同学选择B超市购买更省钱．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
21. 观察下列各式：
；
；
；
；
…
（1）你发现的规律是____________________（用字母表示，____________________）．
（2）用你发现的规律计算：．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查规律性，数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出所求式子中数的变化的特点．
（1）根据题目给出的式子，总结出规律即可；
（2）根据上面总结出的规律，化简求值即可．
【小问1详解】
解：发现的规律为（n为正整数），
故答案为：，；
【小问2详解】
由（1）中的规律得：
原式
．
22. 综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
（1）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）30° （2）15秒或秒
（3）30°或210°．
【解析】
【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；
（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可．
【小问1详解】
∵平分∠
∴设∠
则∠∠
∴
∴
∴∠
【小问2详解】
设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒，
分三种情况讨论：
①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，
解得，，符合题意；
②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,
解得，，符合题意；
③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,
解得，，不符合题意舍去，
所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；
【小问3详解】
①如图①，
∵与关于PB对称，
∴
若，则
∴
∴
∴旋转角度数为：；
②如图②，
若，则
∴
∴旋转角度数为：；
综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本题的关键
1. 的相反数为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数进行解题．
【详解】解：的相反数为3，
故选D．
2. 如图几何体主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得到主视图．
【详解】解：由图可得，几何体的主视图如图所示：
故选：B.
【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框通常不在一个平面上．
3. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
【详解】解：光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为千米/秒，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．
4. 下列方程中，解是x=4的是( )
A. 3x+1=11B. –2x–4=0C. 3x–8=4D. 4x=1
【答案】C
【解析】
【分析】把x=4代入各方程检验即可．
【详解】解：把x=4代入各方程
A. 3×4+1≠11，不符合题意；
B. –2×4–4≠0，不符合题意；
C. 3×4–8=4，符合题意；
D. 4×4≠1，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
5. 周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（ ）
A. 37.5°B. 45°C. 52.5°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】9时是分针指向12，时针指向9，10：30时分针指向6，时针指向10和11正中间，所以时针走了1.5个大格，因为每个大格所对的角度是30度，所以3个大格之间的夹角是30°×1.5=45°，据此解答即可．
【详解】解：由分析得出：从上午9：00到上午10：30，钟面上的时针转了：30°×1.5=45°．
故选：B．
【点睛】解决本题要先分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行解答．
6. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的乘方，利用有理数的乘方法则，去括号的法则，合并同类项的法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴A选项的计算不正确，不符合题意；
∵，
∴B选项的计算不正确，不符合题意；
∵不是同类项，不能合并，
∴C选项的计算不正确，不符合题意；
∵，
∴D选项的计算正确，符合题意．
故选：D．
7. 若，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方和绝对值的非负性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：
解得：
故选：A．
【点睛】本题主要考查整数指数幂和绝对值的性质；熟练掌握绝对值和平方的非负性是解决问题的关键．
8. 如果a的相反数是，那么a的倒数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义以及倒数的性质，先根据“只有符号不同的两个数互为相反数”求出a的值，再根据互为倒数的两个数乘积为1，即可作答．
【详解】解：∵a的相反数是，
∴
所以
即a的倒数是
故选：C
9. 如图是三阶幻方的一部分，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，则对于这个幻方，下列说法错误的是( )
A. 每条对角线上三个数字之和等于
B. 是这九个数字中最大的数
C. 三个空白方格中的数字之和等于
D. 这九个数字之和等于
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，得出，，即可求解．
【详解】解：因为每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，
而第列：，于是有
，
，
得出，，
从而可求出三个空格处的数为、、．则，；
所以答案A、B、D正确，
而，
故答案C错误．
故选：C．
10. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（ ）
A. 34B. 40C. 49D. 59
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点5＋2个；第2个图形共有圆点5＋2＋3个；第3个图形共有圆点5＋2＋3＋4个；第4个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋5个；…；则第n个图形共有圆点5＋2＋3＋4＋…＋n＋（n＋1）个；由此代入n＝8求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5＋2；
当n＝2时，圆点个数5＋2＋3；
当n＝3时，圆点个数5＋2＋3＋4；
当n＝4时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5，…
∴当n＝8时，圆点个数5＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝4＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＝4＋×9×(9＋1)＝49．
故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 《九章算术》中记载“今两算得失相反，要令正负以名之”．其大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入10元记为元，则支出15元可记为________元．
【答案】
【解析】
【分析】根据正数和负数是具有相反意义的量即可进行解答．
【详解】解：∵收入和支出是具有相反意义的量，
∴支出15元可记为元，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正数和负数是具有相反意义量，解题的关键是熟练掌握相关内容．
12. 有一个正方体的六个面上分别标有数字、、、、、，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字的面所对面上的数字记为，的面所对面上数字记为，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的对面和邻面得出每一个面的对面后，确定a、b的值代入计算即可．
【详解】由三个正方体上所标的数字可得，
“1”的邻面有“6，4，2，3”，因此“1”对“5”，
“3”的邻面有“1，2，4，5”，因此“3”对“6”，
于是“2”对“4”，
∵标有数字6的面所对面上的数字记为a，2的面所对面上数字记为b，
∴a=3，b=4，
∴2a+3b=6+12=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查正方体表面展开图，正确判断“对面“和“邻面“是解决问题的关键．
13. 已知线段AB=8cm， 点C在直线AB上，BC=2cm，点D为线段AC的中点，则线段DB的长为__________cm．
【答案】3或5##5或3
【解析】
【分析】根据题目描述标出点C的位置，分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两种情况，根据线段中点的定义，结合图形进行计算即可．
【详解】
∵点C在直线AB上，BC=2cm，
∴如图，点C有可能在C1或C2的位置，即AC1=AB－2=6（cm） ，AC2=AB＋2=10（cm）
∵点D为线段AC的中点
∴①点C在C1位置时，
②点C在C2位置时，
综上，故填3或5．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，两点间距离的计算，灵活运用数形结合思想，掌握线段中点的性质以及分情况讨论是解题的关键．
14. 如图，半圆的直径，若C、D是半圆的3等分点，则阴影部分的面积为______．（结果保留π）
【答案】##
【解析】
【分析】连接，由知，从而可得，根据C、D是半圆的3等分点且知，利用扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
则，
∵C、D是半圆的3等分点，且，
∴，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
15. 已知∠AOB=60°，以点O为端点作射线OC，使∠BOC=20°，再作∠AOC的平分线OD，则∠AOD的度数为_________．
【答案】40°或20°
【解析】
【分析】考虑线段OC在角的内部和外部两种情况，每一种情况都用角的定义和角平分的定义求解．
【详解】(1)当OC在∠AOB的内部时，
如图1所示：
∵∠BOC=20°，∠AOB=60°，
∠AOB=∠AOC+∠BOC，
∴∠AOC=60°-20°=40°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=20°；
(2)当OC在∠AOB的外部时，
如图所示：
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∠AOB=60°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=80°，
又∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=40°；
综合所述∠AOD的度数为20°或40°．
故答案为：20°或40°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的和差知识，重点掌握角的计算，难点是用分类计算角的大小，以防遗漏．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16. 如图，直线、相交于点O，．
（1）画的平分线；
（2）画射线，垂足为O；
（3）求度数．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了角平分线、垂线的尺规作图以及角度的计算，
（1）以O点为圆心，一定长度为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧于点P，连接并延长至点E，问题得解；
（2）延长至点K，以O点为圆心，一定长度为半径画弧，分别交、于点G、H，再分别以G、H为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧于点Q，连接并延长至点F，问题得解；
（3）分当F点与B点同侧时与当F点与B点不同侧时两种情况讨论，即可作答．
【小问1详解】
如图，
即为所作；
【小问2详解】
如图，当F点与B点同侧时，点F在处，当F点与B点不同侧时，点F在处，
即为所作；
【小问3详解】
当F点与B点同侧时，点F在处，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
当F点与B点不同侧时，点F在处，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上：的度数为或．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算绝对值和括号里面的数，然后再根据去绝对值和去括号，计算即可；
（2）首先计算有理数的平方和绝对值里面的数，然后再去绝对值，最后再根据有理数的加减法计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了有理数的加减法、有理数的乘方、绝对值的意义，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把，代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
当，时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可作答．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
20. 某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元．
求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？
某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】（1）衣服和鞋子单价各是326元和160元；（2）只能在B超市购买，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设鞋子的单价为x元，根据题意列出方程借即可求出答案．
（2）当在A超市购买时，486×0.85=412.25＞400，所以不能在A超市购买，所以只能在B超市购买，根据B超市优惠方案即可求出答案．
【详解】解：（1）设鞋子的单价为x元，则衣服的单价为元，根据题意得
x+（2x+6）=486
解得：，
，
答：该同学看中的衣服和鞋子单价各是326元和160元．
（2）当在A超市购买时，
，所以不能在A超市购买，
当在B超市购买时，
衣服单价为326元，
可以返还90元，用于下次购买商品，
鞋子只需要付款，
两件商品共花费了﹤400元，
∴该同学选择B超市购买更省钱．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
21. 观察下列各式：
；
；
；
；
…
（1）你发现的规律是____________________（用字母表示，____________________）．
（2）用你发现的规律计算：．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查规律性，数字的变化类，解题的关键是明确题意，找出所求式子中数的变化的特点．
（1）根据题目给出的式子，总结出规律即可；
（2）根据上面总结出的规律，化简求值即可．
【小问1详解】
解：发现的规律为（n为正整数），
故答案为：，；
【小问2详解】
由（1）中的规律得：
原式
．
22. 综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
（1）如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
（2）如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（3）如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】（1）30° （2）15秒或秒
（3）30°或210°．
【解析】
【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；
（2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；
（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可．
【小问1详解】
∵平分∠
∴设∠
则∠∠
∴
∴
∴∠
【小问2详解】
设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒，
分三种情况讨论：
①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，
解得，，符合题意；
②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,
解得，，符合题意；
③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,
解得，，不符合题意舍去，
所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；
【小问3详解】
①如图①，
∵与关于PB对称，
∴
若，则
∴
∴
∴旋转角度数为：；
②如图②，
若，则
∴
∴旋转角度数为：；
综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本题的关键
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