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云南省大理白族自治州大理市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析）
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这是一份云南省大理白族自治州大理市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷+解析），文件包含精品解析云南省大理白族自治州大理市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题原卷版docx、精品解析云南省大理白族自治州大理市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
1. 篆书起源于西周末年，距今已有三千年历史，是传世最早的可识文字，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：由中心对称图形的定义可知，只有C选项是中心对称图形．
故选：C．
2. 在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（ ）
A 百步穿杨B. 瓮中捉鳖C. 守株待兔D. 水中捞月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】A、百步穿杨，是随机事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、守株待兔，是随机事件；
D、水中捞月，是不可能事件；
故选：D．
3. 一个材质均匀的正方体的六个面分别标有文字“祝、你、天、天、快、乐”，其表面展开图如图所示，随机抛掷这个正方体，“天”字朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率的求法．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵一个材质均匀的正方体共有六个面，其中标有“天”字的占2个面，
∴其概率为：．
故选：C．
4. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：，
即：；
故选C．
5. 把二次函数化成顶点式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查将二次函数的一般式化成顶点式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【详解】解：，
故选：B．
6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：是四边形ABCD的外接圆，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：
7. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题的关键．
【详解】解：由题意得：；
故选D．
8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据旋转的性质得到，进而证明为等边三角形，得到，则．
【详解】解；由旋转的性质可知，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，，切于点，，直线切于点，交于，交于点，若的周长是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是切线长定理，根据切线长定理，将的周长转化为切线长求解即可，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【详解】解：根据切线长定理可得：，，；
的周长
，
，
，
，
故选：B．
10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次的定义，以及判别式的意义，据此先得到，从而即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意
解得且
故选：D．
11. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ）寸．
A. 13B. 25C. 26D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
寸．
故选：C．
12. 已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②这个函数的最大值大于5；
③点B的坐标是；
④当，时，
其中正确的是（ ）
A ①④B. ②④C. ③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可得答案．
【详解】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
①错误，②正确．
点A坐标为，
点B坐标为，③错误．
，，
点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
，④正确．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 若是方程的一个根，则方程的另一根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，设该方程的另一根为，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，然后求解答案即可．
【详解】解：设方程的另一根为，
根据一元二次方程的根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一根是．
故答案为：．
15. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米．
16. 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为______cm．
【答案】20
【解析】
【分析】过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【详解】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π（cm），
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥高==20（cm）．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
（1）利用配方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或 ，
，
18. 如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OC，由是的中点，得到，则∠AOC=∠BOC，然后证明△AOC ≌ △BOC即可得到∠A=∠B．
【详解】证明：连接OC．
∵ 是的中点，
∴ ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等．
19. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的，并求出在旋转过程中，点经过的路线长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析,
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换，求弧长；
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，即可，勾股定理求得，进而根据弧长公式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
勾股定理可得，
∴在旋转过程中，点经过的路线长为：；
20. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是 ．
（2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率；
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算；
【小问1详解】
小刚抽到物理实验A的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．
21. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米．
（1）AB=________米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长；
（3）矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】（1）（45−3x）
（2）篱笆BC的长为10米
（3）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-55＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【小问1详解】
解：设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=43+2−3x=45−3x（米）．
故答案为：（45−3x）．
小问2详解】
解：依题意，得：（45−3x）x=150，
整理，得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10．
当x=5时，AB=45−3x=30＞20，不合题意，舍去；
当x=10时，AB=45−3x=15，符合题意．
答：篱笆BC的长为10米．
【小问3详解】
解：不可能，理由如下：
依题意，得：（45−3x）x=210，
整理得：x2−15x+70=0，
∵Δ=（−15）2−4×1×70=−55＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
22. 一商店销售某种土特产，已知该种土特产进价为12元/千克，如果售价为14元/千克，那么每天可售出120千克；如果售价为17元/千克，那么每天可获利450元．经市场调查发现：每天的销量（千克）与售价（元）之间存在一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系；
（2）若该土特产售价不得高于18元/千克，请问该土特产售价定为多少元时，该商店每天销售这种特产商品所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）与x的函数关系式为：
（2）售价为18元时，每天获利最大为480元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【小问1详解】
解：当时，（千克）
设y与x的函数关系式为：
把，代入得：
解得：
与x的函数关系式为：；
【小问2详解】
设每天获利W元
，
开口向下，
对称轴为，
在时，W随x的增大而增大，
时，(元)
答：售价为18元时，每天获利最大为480元．
23. 如图，在中，，点D，E，F分别是边，，上的点，以为直径的半圆O经过点E，F，且平分．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，证明得到即可得到证明；
（2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到，即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；
【小问2详解】
解：，，，
，，
，
，
，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
【点睛】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，．
24. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为
（1）求，的值；
（2）若C是x轴上一动点，求周长的最小值；
（3）是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线与y轴交于点，可得，把点代入，得，计算求解可得值；
（2）由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，然后依据三角形周长计算公式解答即可；
（3）由（1）得二次函数解析式为，由m是抛物线与x轴的交点的横坐标，可得，即，将，进行分组因式分解化成，将代入整理后再分组因式分解为，将代入求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与y轴交于点，
，
把点代入，得，
解得，
，
【小问2详解】
解：由题意知，当周长最小时，的值最小，
如图，作点A关于x轴的对称点，连接，
周长；
【小问3详解】
解：由（1）得二次函数解析式为，
是抛物线与x轴的交点的横坐标，
，即，
【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与坐标轴交点，分组因式分解，代数式求值，整体代入思想．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．x
…
0
1
3
…
y
…
2
5
5
…
1. 篆书起源于西周末年，距今已有三千年历史，是传世最早的可识文字，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：由中心对称图形的定义可知，只有C选项是中心对称图形．
故选：C．
2. 在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（ ）
A 百步穿杨B. 瓮中捉鳖C. 守株待兔D. 水中捞月
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】A、百步穿杨，是随机事件；
B、瓮中捉鳖，是必然事件；
C、守株待兔，是随机事件；
D、水中捞月，是不可能事件；
故选：D．
3. 一个材质均匀的正方体的六个面分别标有文字“祝、你、天、天、快、乐”，其表面展开图如图所示，随机抛掷这个正方体，“天”字朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率的求法．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：∵一个材质均匀的正方体共有六个面，其中标有“天”字的占2个面，
∴其概率为：．
故选：C．
4. 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用．由题意，第一轮过后有个人，第二轮又传染了个人，根据经过两轮传染后，共49人患流感，列出方程即可．找准等量关系，正确的列式，是解题的的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，由题意，得：，
即：；
故选C．
5. 把二次函数化成顶点式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查将二次函数的一般式化成顶点式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【详解】解：，
故选：B．
6. 如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
【详解】解：是四边形ABCD的外接圆，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：
7. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题的关键．
【详解】解：由题意得：；
故选D．
8. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据旋转的性质得到，进而证明为等边三角形，得到，则．
【详解】解；由旋转的性质可知，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，，切于点，，直线切于点，交于，交于点，若的周长是，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是切线长定理，根据切线长定理，将的周长转化为切线长求解即可，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
【详解】解：根据切线长定理可得：，，；
的周长
，
，
，
，
故选：B．
10. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次的定义，以及判别式的意义，据此先得到，从而即可求出的取值范围．
【详解】解：根据题意
解得且
故选：D．
11. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（ ）寸．
A. 13B. 25C. 26D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【详解】解：设寸，
，AB是直径，
寸，
，
，
，
寸．
故选：C．
12. 已知二次函数的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点，在该函数图象上．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②这个函数的最大值大于5；
③点B的坐标是；
④当，时，
其中正确的是（ ）
A ①④B. ②④C. ③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可得答案．
【详解】解：将，代入得，
解得，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
①错误，②正确．
点A坐标为，
点B坐标为，③错误．
，，
点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，
，④正确．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
14. 若是方程的一个根，则方程的另一根是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，设该方程的另一根为，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，然后求解答案即可．
【详解】解：设方程的另一根为，
根据一元二次方程的根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一根是．
故答案为：．
15. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米．
16. 如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为______cm．
【答案】20
【解析】
【分析】过O作OE⊥AB于E，根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【详解】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π（cm），
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥高==20（cm）．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题：本题共8小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，根据方程的特点选择合适的解答方法．
（1）利用配方法可以解答此方程；
（2）先移项，然后根据提公因式法可以解答此方程．
【小问1详解】
解：，
，
，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或 ，
，
18. 如图，，是⊙上的两点，是的中点．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OC，由是的中点，得到，则∠AOC=∠BOC，然后证明△AOC ≌ △BOC即可得到∠A=∠B．
【详解】证明：连接OC．
∵ 是的中点，
∴ ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同圆中等弧所对的圆心角相等，解题的关键在于能够熟练掌握同圆中，等弧所对的圆心角相等．
19. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的，并求出在旋转过程中，点经过的路线长．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析,
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换，求弧长；
（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点，即可，勾股定理求得，进而根据弧长公式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
勾股定理可得，
∴在旋转过程中，点经过的路线长为：；
20. 某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用表示）和4个化学实验考查内容（用表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是 ．
（2）求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率；
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算；
【小问1详解】
小刚抽到物理实验A的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．
21. 如图，利用一面墙（墙长20米），用总长度43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍ABCD，且中间共留两个1米的小门，设篱笆BC长为x米．
（1）AB=________米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，求篱笆BC的长；
（3）矩形鸡舍ABCD面积是否有可能达到210平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】（1）（45−3x）
（2）篱笆BC的长为10米
（3）不可能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设篱笆BC长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-55＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【小问1详解】
解：设篱笆BC长为x米，
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB=43+2−3x=45−3x（米）．
故答案为：（45−3x）．
小问2详解】
解：依题意，得：（45−3x）x=150，
整理，得：x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10．
当x=5时，AB=45−3x=30＞20，不合题意，舍去；
当x=10时，AB=45−3x=15，符合题意．
答：篱笆BC的长为10米．
【小问3详解】
解：不可能，理由如下：
依题意，得：（45−3x）x=210，
整理得：x2−15x+70=0，
∵Δ=（−15）2−4×1×70=−55＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
22. 一商店销售某种土特产，已知该种土特产进价为12元/千克，如果售价为14元/千克，那么每天可售出120千克；如果售价为17元/千克，那么每天可获利450元．经市场调查发现：每天的销量（千克）与售价（元）之间存在一次函数关系．
（1）求与之间的函数关系；
（2）若该土特产售价不得高于18元/千克，请问该土特产售价定为多少元时，该商店每天销售这种特产商品所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）与x的函数关系式为：
（2）售价为18元时，每天获利最大为480元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【小问1详解】
解：当时，（千克）
设y与x的函数关系式为：
把，代入得：
解得：
与x的函数关系式为：；
【小问2详解】
设每天获利W元
，
开口向下，
对称轴为，
在时，W随x的增大而增大，
时，(元)
答：售价为18元时，每天获利最大为480元．
23. 如图，在中，，点D，E，F分别是边，，上的点，以为直径的半圆O经过点E，F，且平分．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）连接，证明得到即可得到证明；
（2）连接，先证得到，结合角所对直角边等于斜边一半得到，即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是半圆的切线；
【小问2详解】
解：，，，
，，
，
，
，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
，
，
；
【点睛】本题考查切线的证明，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，角平分线定义，解题的关键作出辅助线得到，．
24. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点坐标为
（1）求，的值；
（2）若C是x轴上一动点，求周长的最小值；
（3）是抛物线与x轴的交点的横坐标，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线与y轴交于点，可得，把点代入，得，计算求解可得值；
（2）由题意知，当周长最小时，的值最小，如图，作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点C，然后依据三角形周长计算公式解答即可；
（3）由（1）得二次函数解析式为，由m是抛物线与x轴的交点的横坐标，可得，即，将，进行分组因式分解化成，将代入整理后再分组因式分解为，将代入求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与y轴交于点，
，
把点代入，得，
解得，
，
【小问2详解】
解：由题意知，当周长最小时，的值最小，
如图，作点A关于x轴的对称点，连接，
周长；
【小问3详解】
解：由（1）得二次函数解析式为，
是抛物线与x轴的交点的横坐标，
，即，
【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与坐标轴交点，分组因式分解，代数式求值，整体代入思想．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．x
…
0
1
3
…
y
…
2
5
5
…
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