江西省南昌进贤县文港初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份江西省南昌进贤县文港初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。
2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，共18分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．利用一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B、，是一元二次方程，选项B符合题意；
C、，含有两个未知数，且含未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D、，含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：B．
2. 下列四个图形标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
∴不是中心对称图形．您看到的资料都源自我们平台，家威鑫 MXSJ663 低至0.3元/份 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，
∴是中心对称图形．
故选：C．
3. 关于函数y＝36x2的叙述，错误的是（ ）
A. 图象的对称轴是y轴
B. 图象的顶点是原点
C. 当x＞0时，y随x的增大而增大
D. y有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数性质得出函数y＝36x2的对称轴及其增减性即可得出结论．
【详解】解：∵函数y＝36x2的顶点在原点，
∴其对称轴是y轴，顶点是原点，故A、B正确；
∵函数y＝36x2的开口向上，顶点是原点，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，y有最小值，故C正确，D错误．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2（a≠0）的顶点在原点，对称轴是y轴是解题的关键．
4. 下列说法错误的是（ ）
A. 在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100
B. “画一个正六边形，它的外角和是 “属于必然事件
C. 调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用全面调查
D. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率、全面调查与抽样调查及统计的有关知识．利用统计与概率的有关知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100，正确，不符合题意；
B、“画一个正六边形，它的外角和是”属于必然事件，正确，不符合题意；
C、调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用抽样调查，错误，符合题意；
D、在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个，正确，不符合题意，
故选：C．
5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
6. 抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b0，对称轴在y轴左侧，故b>0，抛物线与y轴交于负半轴，则c0错误，
由图知当x=1时y=2
∴②a+b+c=2；正确，当x=-1时，函数值＜0，即a-b+c＜0，（1），
又∵a+b+c=2，将a+c=2-b代入（1），2-2b＜0，
∴b＞1所以④b0，从而得证；
（2）根据韦达定理，将x12+x22=10转化为两根之和与两根之积的形式，代入得到关于a的方程，从而求出a即可. x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，即（a+3）2﹣2（a+1）=10，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣.
【详解】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）
=a2+6a+9﹣4a﹣4
=a2+2a+5
=（a+1）2+4，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，
∵x12+x22=10，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，
整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，
即a的值为﹣2+或﹣2﹣．
【点睛】本题目是一道一元二次方程的题目，涉及到根的判别式与韦达定理.在证明一元二次方程根的情况时，通常通过证明根的判别式与0的大小关系解决问题.在涉及到两根的等量关系时，通常转化为两根之和与两根之积的形式，从而求出参数.
19. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）的面积为______；
（3）直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.
【解析】
【分析】（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可；
（3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围．
【详解】解：（1）把代入反比例函数得：
m=6，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在反比例函数图像上，
∴-3a=6，解得a=-2，
∴B（-2，-3），
∵一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）∵，，一次函数的解析式为，
令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），
∴S△AOB=，
故答案为：8；
（3）由图象可知：
时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，
x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.
【点睛】此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
20. 如图，点在以为直径的上，平分，且于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，解决本题的关键是掌握切线的判定．
（1）如图1中，连接．只要证明，由，即可推出；
（2）过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长．
【小问1详解】
证明：如图中，连接．

，
，
平分，
，
∴，
，
，
是的半径，
是切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，得矩形，

，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
的半径为．
五、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21. 在九年级学生即将毕业之际．某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册．当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本．
（1）设售价降低了元，用含的代数式表示降价后每周可售出纪念册的本数；
（2）商家要想平均每周盈利300元，每本纪念册应该降价多少元？
（3）商家要想获得最大收益，每本纪念册应该降价多少元？最大收益是多少元？
【答案】（1）
（2）3元 （3）每本纪念册应降价2元，商家获得收益最大，最大收益是320元
【解析】
【分析】（1）根据“每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本”可知降价x元，多售出20x本，即可得解；
（2）根据题意结合销量×每本的利润＝300，进而求出答案；
（3）根据题意结合销量×每本的利润＝w，进而利用二次函数增减性求出答案．
【小问1详解】
解：售价降低了元，每周可售出纪念册的本数是；
【小问2详解】
解：设每本纪念册应降价元，商家平均每周盈利300元，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
∵商店扩大销售量，减少库存，
∴应略去，
∴，
答：每本纪念册应降价3元；
【小问3详解】
解：设每本纪念册应降价元，商家获得收益最大为元，
根据题意，得．
所以，当时，商家获得收益最大，最大收益是320元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每本的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
22. 小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题：
（1）列表：
表格中， ， ．
（2）在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象．

（3）观察图象并解答：
①当 时，y有最小值；
②求函数与直线的交点坐标．
【答案】（1）3；
（2）见解析 （3）①；②交点坐标为，，．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，含有绝对值的解析式，分类讨论是关键．
（1）将和分别代入即可求出、的值；
（2）描点，画出图象即可；
（3）①根据图像可得时，函数有最小值即可；②根据的取值范围分解为两个解析式，再与直线解析式联立求出交点坐标即可．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
故答案为：3；；
【小问2详解】
解：如图所示：
；
【小问3详解】
解：①由图象可知，当时，函数有最小值为；
故答案为：；
②，
当时，联立方程组 解得或，
此时 与的交点坐标为和；
当时，，解得或 （舍去），
综上， 与直线的交点坐标为，，．
六、解答题（本大题12分）
23. 课本再现：
（1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形的边长．
变式探究：
（2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且，请你探究的值．
（4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则 ．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果）
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】（1）设这个正方形的边长为，则，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果；
（2）根据题意可得，证明以及，可得，再证明，可得，即可求解；
（3）如图，设分别交于点M、N，设每个正方形的边长为a，根据，推出，于是得到，列方程即可得到，从而得到，，再根据，可得，即可求解；
（4）过点A作分别交于点M、N，根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，设交于点K，
设这个正方形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
即这个正方形的边长为；
（2）如图，
设这个正方形的边长为，
根据题意得，
∴，，
与中，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，设分别交于点M、N，
设每个正方形的边长为a，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
解得：，
，
∵，
∴，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
（4）如图，过点A作分别交于点M、N，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．0
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