浙江省宁波市镇海区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份浙江省宁波市镇海区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列事件中，属于必然事件的是( )
A．打开电视机，正播放新闻B．抛一枚硬币正面朝上
C．射击运动员射击一次，命中10环D．我们看到的太阳从东边升起
2．若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．点到圆的距离为6，若点在圆外，则圆的半径满足（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，如果把的各边的长都缩小为原来的，则的正切值（ ）．
A．缩小为原来的B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的D．没有变化
5．把二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到下列哪个函数的图象( )
A．B．C．D．
6．如果一个扇形的半径是4，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A．B．C．D．
7．如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为( )
A．4B．5C．6D．7
8．如图，在中，，分别在，边上，，于点，与交于点，若与四边形的面积相等，则的值为( )
A．B．C．D．
9．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为( )

A．B．
C．D．
10．若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( )
A．B．或C．或D．或
二、填空题
11．五边形的内角和等于 度．
12．从拼音“”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ．
13．如图，将一个三角形纸板的顶点放在上，经过圆心．，半径，则在上被这个三角形纸板遮挡住的的长为 ．（结果保留）
14．如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为1，则的面积为 ．
15．已知二次函数，当时，的最小值为，则的最大值为 ．
16．如图，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在对角线上，连结并延长交于点，若平分，则的值为 ，的值为 ．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）已知线段是线段，的比例中项线段，若，，求线段的长．
18．有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．
（1）采用树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；
（2）求摸出的两个球号码之和为偶数的概率．
19．由小正方形组成的的网格中，的顶点都是格点，用无刻度的直尺作图．
(1)作的中线．
(2)过作的垂线，垂足为．
20．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和图象的顶点坐标．
(2)若点在该二次函数图象上．
①当时，求的值．
②若，请根据图象直接写出的取值范围．
21．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上．
(1)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）．
(2)求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）．
22．如图1，在矩形中，对角线，交于点，点在边上，．
(1)求证：．
(2)如图2，点在线段上，，，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点．
(1)若，用含的代数式表示．
(2)如图2，连结，，若，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长．
如何设计喷泉安全通道？
在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）．
素材1
图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧．
图1
素材2
图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面．
图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度．
图2
图3
素材3
安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．
图4
问题解决
任务1
确定喷泉形状．
在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐
标系，求出抛物线的函数表达式．
任务2
确定喷泉跨度的最小值．
若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值．
任务3
设计通道位置及儿童的身高上限．
现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道
上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人
的最大身高为多少？（精确到）
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了随机事件、必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题的关键．利用定义分析即可得出答案．
【详解】解：、打开电视机，正播放新闻，是随机事件，故选项不符合题意；
、抛一枚硬币正面朝上，是随机事件，故选项不符合题意；
、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故选项不符合题意；
、我们看到的太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意．
故选：．
2．D
【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．
【详解】解：A.由，可得，不符合题意；
B.由，可得，不符合题意；
C.由，可得，不符合题意；
D.由，可得，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．
3．A
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，牢记当点到圆的距离小于半径、等于半径和大于半径时，点分别在圆内、圆上和圆外，牢记点和圆的三种位置关系是解题的关键．
【详解】解：点在圆外
点到圆的距离大于圆的半径
点到圆的距离为6
故选：A．
4．D
【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．
【详解】∵中，如果每个边都缩小为原来的，
∴锐角A的对边与邻边的比值不变，
∴锐角A的正切值不变．
故选D．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握三角函数值是直角三角形边长比，取值由角的大小决定．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：平移后的解析式为：，
即：
故选：C
6．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式直接解答即可．
【详解】解：扇形面积为：，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，然后代入数值计算即可．
【详解】解：∵三条直线，，互相平行，
∴，即，
解得．
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质；
证明，根据相似三角形的性质求出相似比，然后证明，根据相似三角形的性质求出，进而计算的值即可．
【详解】解：∵与四边形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，由，得到，进而得到，，由此得到，即可得到是等边三角形，得到，求出，再由求出，即可求出的长的范围，解题的关键是判定是等边三角形，由锐角的正弦求出的长．
【详解】解：如图，作直径，

当点在(不与重合)上运动时，，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的长的范围是，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可．
【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得：
；
整理得：，
令，
二次函数的“优和点”有且仅有一个，
与x轴只有一个公共点，
第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上，
，且，解得：，且，
；
第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上，
对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴，
且，
解得，
综上，的取值范围为或．
故选：C
11．540
【分析】直接根据边形的内角和进行计算即可．
【详解】解：五边形的内角和．
故答案为：540．
【点睛】本题考查了边形的内角和定理：边形的内角和．
12．
【分析】本题考查了概率的求解，六个字母中字母有2个，根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：拼音“”的六个字母中字母有2个，
抽中字母的概率为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式的计算，连接，由圆周角定理可得，代入弧长公式计算即可求出的长，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴的长，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由得，，进一步推得，，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即得答案．
【详解】，
，，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
．
15．/
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据当时，的最小值为，得出，根据二次函数的最值求出当时，的最大值为．
【详解】解：∵当时，该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，的最小值为，
∴当时，有最小值为：
，
∵，
∴当时，的最大值为．
故答案为：．
16．
【分析】连接，交于点，作，根据矩形，折叠的性质，推出为等腰三角形，进而得到，即可得到的值，设，证明，推出的长，利用，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，作，
∵矩形，与关于直线对称，
∴，，
∴，，
平分，
∴，
∵，
平分，
，
，
∴，
∴，
，
∴；
∵，，
∴，
设，则：，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形与折叠，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求角的正切值．掌握矩形和折叠的性质，添加辅助线构造全等三角形和等腰三角形，是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数，成比例线段，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据成比例线段的定义得出，代入数据进行计算即可求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：线段为线段，的比例中项线段，
，
．
18．（1），图见解析，6种；（2）
【分析】（1）画树状图列举出所有情况即可；
（2）让摸出的两个球号码之和是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：
从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．
（2）设两个球号码之和为偶数5事件 A，摸出的两个球号码之和为偶数的结果有2种，
∴P（A）＝．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了利用网格图作图：
（1）根据格点图取的中点，连接，即可；
（2）取格点F，连接交于点E，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图：，点即为所求．
20．(1)；
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
（1）把点代入中，即可求出；
（2）①把代入解析式即可求的值；
②由，在此范围内求即可．
【详解】（1）把点代入中，
，
，
顶点坐标为；
（2）①把代入，可得：，
②，对称轴为，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键.
（1）根据求出即可求解；
（2）延长交于点，根据求出即可求解；
【详解】（1）解： 处离地面，操控者从处观测无人机的仰角为，
，，，
又，
（2）解：延长交于点，
则，，
，
．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，关键是会利用相似三角形的性质求解．
（1）根据矩形性质和等腰三角形的性质，结合平行线的性质证得，进而根据相似三角形的判定定理可得结论；
（2）证明得到，再由得到，进而得到，然后根据求解即可．
【详解】（1）证明：在矩形中，
，，
，，
又，
，
．
（2），，
，
，，
，
，
，
，
在矩形中，，
．
23．（1）抛物线的函数表达式为；（2）OB最小值为；（3）能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米
【分析】本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键．
由任务1设抛物线解析式为：，代入，即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：，代入即可求抛物线解析式，从而求的值；在任务3中，设，则，代入对应的抛物线解析式即可．
【详解】任务
点坐标为，点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的最高点为3，顶点坐标为
设抛物线的函数表达式为过点，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
任务
当喷水管最高可伸长到时，
设此时的抛物线的函数表达式为，
当时，，解得：，
由，得，解得：或（舍），
．
任务
由题意得：当点落在上，
当点落在上时，最大．
延长交抛物线与点，
，，
，关于直线对称，点的横坐标为0.5，
当时，，
∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米．
24．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．（1）利用垂径定理证明即可；（2）通过证明，即可证明所求；（3）连接，先推导出，再证明，设，，利用相似性质求出，再证明，得到，设，列出方程求出，通过证明，即可求．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连结，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，，
可得：，
解得：，
，
，
，
，
，
，
设，可得：，解得：，
，，
，
．