沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.8 期末重难点突破训练卷（一）（原卷版+解析）

这是一份沪科版八年级数学下册举一反三训练 专题2.8 期末重难点突破训练卷（一）（原卷版+解析），共26页。

考试时间：120分钟；满分：150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．22B．2C．3D．
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
4．（4分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是（ ）
A．八边形B．十边形C．十二边形D．十四边形
6．（4分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EOB．EOACC．AC⊥BED．AE＝AF
7．（4分）对九（1）班甲、乙、丙、丁四位同学在九年级三次段考中的数学成绩进行分析，他们各自三次成绩的平均分x与方差s2如下表：
若要选一位成绩突出且发挥更稳定的同学进行数学学习方法交流，则应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
8．（4分）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ）
A．5（1+x+1.5x）＝7.8B．5（1+x×1.5x）＝7.8
C．7.8（1﹣x）（1﹣1.5x）＝5D．5（1+x）（1+1.5x）＝7.8
9．（4分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（ ）
A．4B．8C．8D．10
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）当代数式有意义时，x应满足的条件是 ．
12．（5分）若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是 ．
13．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝ ．
14．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP，则BN的长为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：
16．（8分）解方程：2x2﹣3x＝1．
17．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF＝CE．
18．（8分）某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
19．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
20．（12分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
21．（12分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
22．（12分）已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．
（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；
（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．
23．（12分）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
2020-2021学年八年级下册期末重难点突破训练卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、|a|不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、5不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键．
2．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．22B．2C．3D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、2，无法进行加减运算，故此选项错误；
B、3，故此选项错误；
C、3，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个实数根D．没有实数根
【分析】计算方程根的判别式，判断其符号即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
4．（4分）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（ ）
A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD1.5（米）
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．
5．（4分）若一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，则此多边形是（ ）
A．八边形B．十边形C．十二边形D．十四边形
【分析】本题可根据这个多边形的内角和与外角和相加是1800°，列出方程，解出即可．
【解答】解：∵一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，设这个多边形的边数为n，
则依题意可得（n﹣2）×180°+360°＝1800°，
解得n＝10，
∴这个多边形是十边形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．
6．（4分）如图，▱ABCD中的对角线AC，BD相交于点O，点E．F在BD上，且BE═DF，连接AE，EC，CF，FA，下列条件能判定四边形AECF为矩形的是（ ）
A．BE＝EOB．EOACC．AC⊥BED．AE＝AF
【分析】先证四边形AECF是平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行推理论证即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、BE＝EO时，不能判定四边形AECF为矩形；故选项A不符合题意；
B、EOAC时，EF＝AC，
∴四边形AECF为矩形；故选项B符合题意；
C、AC⊥BE时，四边形AECF为菱形；故选项C不符合题意；
D、AE＝AF时，四边形AECF为菱形；故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．
7．（4分）对九（1）班甲、乙、丙、丁四位同学在九年级三次段考中的数学成绩进行分析，他们各自三次成绩的平均分x与方差s2如下表：
若要选一位成绩突出且发挥更稳定的同学进行数学学习方法交流，则应该选（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据平均数和方差的意义解答．
【解答】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方差，关键是掌握方差定义的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8．（4分）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第1周接到5万件订单，第2周到第3周订单量增长率是第1周到第2周订单量增长率的1.5倍，若第3周接到订单为7.8万件，设第1周到第2周的订单增长率为x，可列得方程为（ ）
A．5（1+x+1.5x）＝7.8B．5（1+x×1.5x）＝7.8
C．7.8（1﹣x）（1﹣1.5x）＝5D．5（1+x）（1+1.5x）＝7.8
【分析】设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意表示出两个月的增长率，列出方程即可．
【解答】解：设第1周到第2周的订单增长率为x，根据题意得：
5（1+x）（1+1.5x）＝7.8，
故选：D．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够表示出两个月的增长率，难度不大．
9．（4分）如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（ ）
A．4B．8C．8D．10
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB∠ABC∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO4，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
10．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【分析】因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MNAE这个等量关系不发生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当AE⊥BC时，AE取最小值，求出此时的AE便可．
【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点．
∴MNAE，
当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BEAB＝1，
∴AE，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短定理，关键是运用垂线段最短性质求得AE的最小值．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）当代数式有意义时，x应满足的条件是 x＜4 ．
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【解答】解由题意得4﹣x＞0，
解得x＜4，
故答案为x＜4．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
12．（5分）若a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则代数式a2﹣3a﹣b的值是 3 ．
【分析】由于a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2﹣2a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，a2﹣2a﹣5＝0，即a2﹣2a＝5，
∴a2﹣3a﹣b＝（a2﹣2a）﹣（a+b）＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．
13．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝5，则DF＝ 1 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可．
【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DEBC＝2.5，
∵AF⊥CF，E为AC的中点，
∴EFAC＝1.5，
∴DF＝DE﹣EF＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．（5分）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一动点P，作PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP，则BN的长为 或 ．
【分析】延长NP交AB于H，易知AH＝PH，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，在Rt△PBH中，根据PB2＝PH2+BH2，可求解x值，再分两种情况分别求出BN的值．
【解答】解：延长NP交AB于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，AB∥CD，∠BAC＝45°，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°，
∴AH＝PH，
设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，PB2＝PH2+BH2，
∴，
解得x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，；
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，．
故答案为或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求解AH的值是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：
【分析】根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：
2
＝4﹣3+2
＝1+2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
16．（8分）解方程：2x2﹣3x＝1．
【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根 公式即可求出解．
【解答】解：整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9﹣（﹣8）＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式方，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
17．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF＝CE．
【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE＝CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
18．（8分）某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？
【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为100平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，
根据题意得：x（29﹣2x+1）＝100，
解得：x1＝5，x2＝10，
∵当x＝5时，29﹣2x+1＝20＞18，舍去，
∴x＝10．
答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
【分析】（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，利用勾股定理结合P，Q两点间距离是cm，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（12分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
21．（12分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 23 人；
（2）表中m的值为 77.5 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案为：23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m77.5，
故答案为：77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400224（人）．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22．（12分）已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．
（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；
（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．
【分析】（1）当k＝﹣7时，利用因式分解法解方程得到直角三角形的两直角边分别为3，4，然后利用勾股定理计算出斜边，从而得到三角形的周长；
（2）利用判别式的意义得到△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4，再利用根与系数的关系得到两直角边的和为﹣k＞0，则k＝﹣4，从而得到两直角边为2，2，斜边为2，然后计算△ABC的周长．
【解答】解：（1）当k＝﹣7时，方程为x2﹣17x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，
此时直角三角形的两直角边分别为3，4，
所以斜边为5，
所以Rt△ABC的周长为3+4＝5＝12；
（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，即一元二次方程x2+kx+12＝0的两根相等，
则△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4，
因为两直角边的和为﹣k＞0，
所以k＝﹣4，
所以两直角边为2，2，
所以斜边为22，
所以△ABC的周长为22242．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了等腰直角三角形．
23．（12分）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠B＝90°即可．
（2）如图2中，延长CM、BA交于点E，只要证明△AME≌△DMC，得到AE＝CD＝4，再证明EN＝CN即可解决问题．
（3）如图3中，延长CM、BA交于点E．设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，由此列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x，
∴BC．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线．构造全等三角形，属于中考考查图形．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


甲
乙
丙
丁
平均分
142.5
142.5
141.3
141.3
方差s2
3.3
3.4
3.5
3.6
评卷人
得 分


评卷人
得 分


年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
甲
乙
丙
丁
平均分
142.5
142.5
141.3
141.3
方差s2
3.3
3.4
3.5
3.6
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5