2021-2022学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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2021-2022学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题“，”的否定是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某学校高一、高二、高三个年级共有名学生，其中高一年级学生名，高二年级学生名，为了解学生身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有人，则该样本中高三学生人数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 设为虚数单位，若，则它的共轭复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 若幂函数没有零点，则实数的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

7. 为了得到函数的图象，只要把的图象(    )

A. 向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍
B. 向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍
C. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度

8. 函数的部分图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 四棱锥的外接球的半径为，平面，底面为矩形，，则平面截球所得的截面面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 从件产品其中次品件中，一件一件不放回地任意取出件，则件中恰有件次品的概率为______．
14. 当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围是______．
15. 边长为的等边三角形中，设，则______．
16. 的内角，，，的对边分别为，，，若，则的面积为______

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知，．
    化简并求函数的最小正周期；
    求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合．
18. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
    求；
    若，的面积为，求的周长．
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，证明：
    平面；
    ．

20. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表：

参考公式：，．
在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
求出关于的线性回归方程；
预测加工个零件需要多少小时？

21. 年月日神舟十四号发射升空，神舟十四号任务期间，将全面完成以天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱为基本构型的太空空间站建造等多项科研任务，并将继续开展天宫课堂．某校“航空航天”社团针对学生是否有兴趣收看天宫课堂进行了一项调查，获得了如下数据：

是否有的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关”？
从不感兴趣的人中随机抽取两人做进一步宣传，设抽到的女生人数为，求的概率分布．
参考公式：独立性检验统计量，其中．
临界值表：

22. 已知，的导数是．
    求在的切线方程；
    求在上的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，，，
故选：．
求出的等价条件，结合元素关系判断集合关系即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，命题“，”是特称命题，
其否定为：，
故选：．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，故，故．
故选：．
根据向量垂直的坐标公式求解即可．
本题考查了向量垂直的坐标公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知，抽取的样本容量为，则样本中高三学生有人．
故选：．
先求得样本容量，再根据分层抽样的比例，即可求得答案．
本题考查了分层抽样的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
共轭复数对应的点位于第一象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
解得或，
当时，，没有零点，符合题意，
当时，，存在零点，不符合题意，
所以的值为，
故选：．
由幂函数的性质可知，求出的值，结合函数没有零点即可判断的值．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：把图象上所有点的向右平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到的图象，所以不正确；
向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到的图象，所以不正确；
把图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度得到，故C错误；
把图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度得到，故D正确．
故选：．
利用的图像变换规律即可得到答案．
本题考查了图象的变化过程，熟记变化过程中的周期、相位的变化是关键，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由可知，定义域为．
则．
所以为奇函数，图象关于原点对称，故A、B错误．
令，．
令，．
．
在上不是单调递增，所以D错误．
故选：．
先利用函数的奇偶性判断函数和，再利用特殊值判断、．
本题主要考查利用函数的奇偶性和特殊值解决函数的图像问题，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得的值．
【解答】
解：，
则，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，即．
故选：．
将代入，即可求解．
本题主要考查函数值的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知，球心为的中点，因为，，，所以平面，为的中点，
故到平面的距离为．
故截面圆的半径为，截面面积为．
故选：．
根据外接球的球心到所有顶点距离相等，故可得球心为的中点，即可根据截面的性质求解截面圆半径．
本题考查棱锥外接球，属于基础题，找到到平面的距离是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设，，则，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，，，中最大，
又，，而，
，，
故，
故选：．
构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小．
本题考查利用函数的单调性比较大小，导数的利用，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：一件一件不放回地抽取件，可以看成一次抽取件，故共有种可能的结果，事件含有种结果．．
故答案为：．
用计数原理计算出基本事件总数，并确定件中恰有件次品的事件数，利用古典概型及其概率计算公式求解．
本题主要考查古典概型，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为；
而函数的值有正也有负；
说明，
故函数要么递增，要么递减；
．
故答案为：．
先根据条件求出自变量的取值范围，再结合函数的值有正也有负，对应的即可求出结论．
本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平面向量的数量积的运算法则，即可得解．
本题考查平面向量的数量积，注意平面向量的夹角的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于，
由正弦定理得：，
所以：，
从而：．
故答案为：．
由已知利用正弦定理，可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意知：，
所以函数的最小正周期．
由可知，当是，即时，函数取最大值，最大值为，
所以，当． 

【解析】直接利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
直接利用函数的性质求出函数的最值．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：，
由正弦定理得：，
整理得：，
在中，，
，
即，
，
即；
由余弦定理得：，
，
，
，
，
，
的周长为． 

【解析】根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；
根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出 ，进而求出的周长．
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：连接，连接，
四边形为正方形，且对角线，
为的中点，又点为的中点，，
又平面，平面，
平面．
四边形为正方形，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，，
为正三角形，且为的中点，
，又，平面，平面，
平面，又平面，
． 

【解析】连接，连接，则为的中点，利用中位线定理可得，结合线面平行的判定定理可证得平面；
由面面垂直的性质定理可得平面，则，结合，由线面垂直的判定定理可得平面，从而证得．
本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的判定，属于中档题．
 

20.【答案】解：

由表中数据可得，，，
，，
故，，
故所求回归方程为．
当时，，
故可预测加个个零件需要小时． 

【解析】根据描点法，即可求解．
根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
将代入上式的线性回归方程中，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：，
没有的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关”．
由题意可得，随机变量的可能取值为，，，
，，，
故的分布列为：

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
由题意可得，随机变量的可能取值为，，，分别求出对应的概率，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，以及离散型随机变量分布列的球，属于基础题．
 

22.【答案】解：由题意得：，，
；又，
在处的切线方程为；
令，得；令，得，
于是在单调递增，在单调递减，
． 

【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是基础题．
求出函数的导数，计算，，求出切线方程即可；
解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．