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2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|y= x−1}，B={x|−1A. (−1,1)B. (−1,1]C. [1,2)D. (1,2)
2.命题“∀x∈[1,3]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≥9B. a≤9C. a≥10D. a≤10
3.若正数x，y满足x+2y=2，则yx+1y的最小值为( )
A. 2+1B. 2 2+1C. 2D. 52
4.已知函数f(x)=ex+4x+1，a=f(ln4)，b=f(ln3)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. c>b>aC. b>a>cD. a>b>c
5.数列{an}，{bn}满足an⋅bn=1，an=n2+3n+2，则{bn}的前100项之和等于( )
A. 13B. 2551C. 12D. 712
6.已知(2x+1)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a4的值为( )
A. −5B. −7C. −9D. −13
7.已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布N(90,64)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σA. 8718件B. 8772件C. 8128件D. 8186件
8.函数f(x)=−x3+3x在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (−1, 11)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (1,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知X的分布列为
则下列说法正确的有( )
A. P(X=2)=512B. P(X>0)=23
C. E(X)=1D. P(X=0)10.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动．重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是y =−0.32x+a ，相关系数r=−0.9923，则下列说法正确的有( )
A. 变量x与y负相关且相关性较强B. a=40
C. 当x=85时，y的估计值为13D. 相应于点(105,6)的残差为−0.4
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=18，a5=12，则下列选项正确的是( )
A. d=−2B. a1=22
C. a3+a4=30D. 当且仅当n=11时，Sn取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0到9这10个数字，可以组成______个没有重复数字的三位数．
13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为______．
14.已知随机变量ξ～B(2,p)(0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，S3=7．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(lg2an+1)⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某种产品2014年到2018年的年投资金额x(万元)与年利润y(万元)的数据统计如下，由散点图知，y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7
(Ⅰ)求表中实数t的值；
(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程y=bx+a．
参考公式：回归直线方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
17.(本小题15分)
某城市地铁将于2022年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(所有计算结果四舍五入保留整数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考数据：
18.(本小题17分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的份布列和数学期望；
(3)从流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和方差．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x2−2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.B
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.648
13.34
14.23
15.解：(1)设等比数列{an}公比为q，
由题意有a1q=2a1+a1q+a1q2=7，解得a1=1q=2，
所以an=2n−1．
(2)bn=(lg2an+1)⋅an=n⋅2n−1，
所以Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1①，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n②，
①−②：−Tn=1×20+1×2+2×22+⋯−n×2n=2n−1−n⋅2n，
∴Tn=(n−1)⋅2n+1．
16.解：(Ⅰ)由y−=2.4+2.7+t+6.4+7.95=4.7，解得t=4.1；
(Ⅱ)由题意，x−=1+2+3+4+55=3，y−=4.7．
i=15=(xi−x−)(yi−y−)=(−2)×(−2.3)+(−1)×(−2)+1×1.7+2×3.2=14.7．
i=15(xi−x−)2=4+1+1+4=10．
∴b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=1.47，则a =y−−b ⋅x−=4.7−1.47×3=0.29．
故y关于x的线性回归方程为y =1.47x+0.29．
17.解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1−=20×1+30×2+40×3+50×5+60×3+70×41+2+3+5+3+4≈51百元，
“认为价格偏高者”的月平均收入为x2−=20×4+30×8+40×12+50×5+60×2+70×14+8+12+5+2+1≈39百元，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1−−x2−=51−39=12(百元)．
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
χ2=50×(3×11−7×29)210×40×32×18≈6.27<6.635，
故依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”．
18.解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12，
则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，
P(X=0)=C282C402=63130，P(X=1)=C121C281C402=2865，P(X=2)=C122C402=11130，
所以X的分布列为：
数学期望为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35．
(3)根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240=310，
从流水线上任取2件产品互不影响，
因此质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且Y∼B(2,310)，
P(Y=0)=C20×(710)2=49100，P(Y=1)=C21×310×710=2150，P(Y=2)=C22×(310)2=9100，
所以Y的分布列为：
方差为D(Y)=2×310×710=2150．
19.解：(1)由f(x)=(x2−2x)ex，得f′(x)=ex(x2−2)，
令f′(x)=ex(x2−2)>0，则x2−2>0，解得x<− 2或x> 2．
令f′(x)=ex(x2−2)<0，则x2−2<0，解得− 2所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,− 2),( 2,+∞)，单调递减区间为(− 2, 2)．
(2)当0所以f(x)在区间[0,m]上的最大值为f(0)=0，最小值为f(m)=(m2−2m)em．
当 2所以f(x)在[0,m]上的最大值为f(0)=0，最小值为f( 2)=(2−2 2)e 2．
当m>2时，因为f(x)在[− 2, 2]上递减，f(x)在[ 2,+∞)上递增，且f(m)>0=f(0)，
所以f(x)在[0,m]上的最大值为f(m)=(m2−2m)em，最小值为f( 2)=(2−2 2)e 2． X
0
1
2
P
13
14
a
x
90
95
100
105
110
y
11
10
8
6
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年投资金额x(万元)
1
2
3
4
5
年利润y(万元)
2.4
2.7
t
6.4
7.9
月收入(单
位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
赞成定价
者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格
偏高者人数
4
8
12
5
2
1
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
认为价格偏高者
3
29
32
赞成定价者
7
11
18
合计
10
40
50
X
0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100
1.已知集合A={x|y= x−1}，B={x|−1
2.命题“∀x∈[1,3]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≥9B. a≤9C. a≥10D. a≤10
3.若正数x，y满足x+2y=2，则yx+1y的最小值为( )
A. 2+1B. 2 2+1C. 2D. 52
4.已知函数f(x)=ex+4x+1，a=f(ln4)，b=f(ln3)，c=f(1)，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. c>b>aC. b>a>cD. a>b>c
5.数列{an}，{bn}满足an⋅bn=1，an=n2+3n+2，则{bn}的前100项之和等于( )
A. 13B. 2551C. 12D. 712
6.已知(2x+1)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a4的值为( )
A. −5B. −7C. −9D. −13
7.已知某公司生产的一种产品的质量(单位：千克)服从正态分布N(90,64)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ
8.函数f(x)=−x3+3x在区间(a2−12,a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A. (−1, 11)B. (−1,2)C. (−1,2]D. (1,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知X的分布列为
则下列说法正确的有( )
A. P(X=2)=512B. P(X>0)=23
C. E(X)=1D. P(X=0)
用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是y =−0.32x+a ，相关系数r=−0.9923，则下列说法正确的有( )
A. 变量x与y负相关且相关性较强B. a=40
C. 当x=85时，y的估计值为13D. 相应于点(105,6)的残差为−0.4
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=18，a5=12，则下列选项正确的是( )
A. d=−2B. a1=22
C. a3+a4=30D. 当且仅当n=11时，Sn取得最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用0到9这10个数字，可以组成______个没有重复数字的三位数．
13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为______．
14.已知随机变量ξ～B(2,p)(0
15.(本小题13分)
已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2=2，S3=7．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=(lg2an+1)⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某种产品2014年到2018年的年投资金额x(万元)与年利润y(万元)的数据统计如下，由散点图知，y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7
(Ⅰ)求表中实数t的值；
(Ⅱ)求y关于x的线性回归方程y=bx+a．
参考公式：回归直线方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
17.(本小题15分)
某城市地铁将于2022年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(所有计算结果四舍五入保留整数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考数据：
18.(本小题17分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的份布列和数学期望；
(3)从流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列和方差．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x2−2x)ex(x∈R,e为自然对数的底数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,m]上的最大值和最小值．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.B
6.C
7.D
8.C
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.648
13.34
14.23
15.解：(1)设等比数列{an}公比为q，
由题意有a1q=2a1+a1q+a1q2=7，解得a1=1q=2，
所以an=2n−1．
(2)bn=(lg2an+1)⋅an=n⋅2n−1，
所以Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1①，
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n②，
①−②：−Tn=1×20+1×2+2×22+⋯−n×2n=2n−1−n⋅2n，
∴Tn=(n−1)⋅2n+1．
16.解：(Ⅰ)由y−=2.4+2.7+t+6.4+7.95=4.7，解得t=4.1；
(Ⅱ)由题意，x−=1+2+3+4+55=3，y−=4.7．
i=15=(xi−x−)(yi−y−)=(−2)×(−2.3)+(−1)×(−2)+1×1.7+2×3.2=14.7．
i=15(xi−x−)2=4+1+1+4=10．
∴b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=1.47，则a =y−−b ⋅x−=4.7−1.47×3=0.29．
故y关于x的线性回归方程为y =1.47x+0.29．
17.解：(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1−=20×1+30×2+40×3+50×5+60×3+70×41+2+3+5+3+4≈51百元，
“认为价格偏高者”的月平均收入为x2−=20×4+30×8+40×12+50×5+60×2+70×14+8+12+5+2+1≈39百元，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1−−x2−=51−39=12(百元)．
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异，
χ2=50×(3×11−7×29)210×40×32×18≈6.27<6.635，
故依据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度没有差异”．
18.解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12，
则质量未超过505克的产品数量为28，X的取值为0，1，2，
P(X=0)=C282C402=63130，P(X=1)=C121C281C402=2865，P(X=2)=C122C402=11130，
所以X的分布列为：
数学期望为E(X)=0×63130+1×2865+2×11130=35．
(3)根据用样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240=310，
从流水线上任取2件产品互不影响，
因此质量超过505克的件数Y可能的取值为0，1，2，且Y∼B(2,310)，
P(Y=0)=C20×(710)2=49100，P(Y=1)=C21×310×710=2150，P(Y=2)=C22×(310)2=9100，
所以Y的分布列为：
方差为D(Y)=2×310×710=2150．
19.解：(1)由f(x)=(x2−2x)ex，得f′(x)=ex(x2−2)，
令f′(x)=ex(x2−2)>0，则x2−2>0，解得x<− 2或x> 2．
令f′(x)=ex(x2−2)<0，则x2−2<0，解得− 2
(2)当0
当 2
当m>2时，因为f(x)在[− 2, 2]上递减，f(x)在[ 2,+∞)上递增，且f(m)>0=f(0)，
所以f(x)在[0,m]上的最大值为f(m)=(m2−2m)em，最小值为f( 2)=(2−2 2)e 2． X
0
1
2
P
13
14
a
x
90
95
100
105
110
y
11
10
8
6
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
年投资金额x(万元)
1
2
3
4
5
年利润y(万元)
2.4
2.7
t
6.4
7.9
月收入(单
位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
赞成定价
者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格
偏高者人数
4
8
12
5
2
1
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
合计
认为价格偏高者
赞成定价者
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
月收入不低于55百元人数
月收入低于55百元人数
合计
认为价格偏高者
3
29
32
赞成定价者
7
11
18
合计
10
40
50
X
0
1
2
P
63130
2865
11130
Y
0
1
2
P
49100
2150
9100
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