5.3 诱导公式5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、公式二～四
注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
2、诱导公式五、六
3、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化．
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值．
4、解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
5、三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝tan eq \f(π,4).
6、利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补的角：eq \f(π,6)＋α与eq \f(5π,6)－α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
7、三角恒等式的证明策略
对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
8、诱导公式的综合应用
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．
终边关系
图示
公式
公式二
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
角－α与角α的终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α
公式四
角π－α与角α的终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α
考点一 给角求值
考点二 给值(式)求值
考点三 利用互余互补关系求值
考点四 化简求值
考点五 三角恒等式的证明
考点一 给角求值
1．（2023上·江苏·高一专题练习） ； ；
【答案】 / /
【分析】利用诱导公式化简即可得解.
【详解】；
．
故答案为：；.
2．（2023上·江苏·高一专题练习）计算：＝ ．
【答案】1
【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】
．
故答案为：1
3．（2023上·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）若，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
4．（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
(4)；
(5).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)；
(5)
【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数即可得到答案.
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）.
（5）原式
.
考点二 给值(式)求值
5．（2023上·全国·高一专题练习）已知角的终边过点，则 ．
【答案】
【分析】利用任意角的三角函数的定义可求，进而根据诱导公式化简所求即可求解．
【详解】因为角的终边过点，
所以，
可得
所以，
故答案为：.
6．（2023上·安徽亳州·高二蒙城县第六中学校考期中）已知，，则 .
【答案】/
【分析】根据三角函数的同角关系式及诱导公式求解.
【详解】∵，即，又，
∴，即，
∵，，则，可得，
所以．
故答案为：.
7．（2023上·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知，则的值是 .
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式以及商式关系，可得答案.
【详解】.
故答案为：.
8．（2023上·陕西咸阳·高三统考期中）已知是第三象限角，，则 .
【答案】
【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.
【详解】因为是第三象限角，，所以，
所以，
故答案为：.
9．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）如果，为第三象限角，则 ．
【答案】/
【分析】先利用诱导公式化简，再求值
【详解】由诱导公式可知，
又且为第三象限角，所以，
所以，
故答案为：
10．（2023·全国·高一随堂练习）已知，求下列各三角函数的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】利用诱导公式一一计算即可.
【详解】（1）根据诱导公式可知：；
（2）根据诱导公式可知：；
（3）根据诱导公式可知：.
考点三 利用互余互补关系求值
11．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式即可得到答案.
【详解】，
故选：B．
12．（2023上·江苏苏州·高三统考期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：D
13．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
14．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以为整体，利用诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
15．（2023上·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】因为，则.
故选：B.
16．（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】以为整体，根据诱导公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
考点四 化简求值
17．（2023上·上海崇明·高三校考阶段练习）化简： .
【答案】
【分析】利用诱导公式运算即可得解.
【详解】解：∵，
，，
，，
∴.
故答案为：.
18．（2023上·江苏·高一专题练习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)
【分析】利用诱导公式，化简求值.
【详解】（1）原式．
（2）原式
．
19．（2023上·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）已知，则 .
【答案】
【分析】利用诱导公式将式子化简可得，再利用同角三角函数之间的基本关系代入计算即可求得结果.
【详解】根据题意可知，由诱导公式可得；
显然，将的分子分母同时除以可得
，即.
故答案为：
20．（2023上·陕西西安·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．1B．－C．D．－
【答案】D
【分析】利用三角诱导公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】因为，
所以，
又因为，
故选:D.
21．（2023·全国·高一专题练习）（1）化简：.
（2）化简；
（3）化简．
（4）化简；
（5）化简；
（6）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）
【分析】利用诱导公式计算即可.
【详解】（1）原式＝；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式；
（5）原式；
（6）由可得，
.
22．（2023上·江苏·高一专题练习）已知．
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得；
（2）根据角的范围将代入计算即可得.
【详解】（1）
即
（2）由，可得．
因为为第三象限角，
因此，
故.
考点五 三角恒等式的证明
23．（2023·浙江·高三专题练习）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用切化弦和诱导公式进行化简，即可证明等式；
【详解】左边＝
＝右边．
故原式得证．
【点睛】本题考查诱导公式的综合运用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数符号的正负.
24．（2023·全国·高一专题练习）求证：
【答案】证明见解析
【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明
【详解】左边＝＝右边，所以原等式成立．
25．（2023·全国·高一专题练习）求证：．
【答案】证明见解析.
【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【详解】左边==–tanα=右边，
∴等式成立．
26．（2023·高一课前预习）求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题.
【详解】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．