江西省赣州市经开区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)

这是一份江西省赣州市经开区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)，共11页。

一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分，每小题只有一个正确答案）
1．下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称特为直线
C．有级大值为9 D．当时，随的增大而增大
3．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
4．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上．点的读数分别为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线经过点，且当时，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分）
7．圆是_____________图形．
8．若点与点关于原点对称，则___________．
9．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该图象的对称轴是_____________．
10．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则___________．
11．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长．”可求出直径的长为_____________寸．
12．在中，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为_____________．．
三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共计30分）
13．解方程：（1） （2）
14．如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到．
（1）旋转角为_____________度；
（2）连接，若，求的长．
15．已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出当时x的取值范围．
16．如图，点A、B、C在上，．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．
图（1） 图（2）
（1）在图（1）中，作一个度数为的圆周角；
（2）在图（2）中，作一个度数为的圆周角．
17．有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一个人患了这种疾病，经过两轮传染后共有169个人患有这种疾病．
（1）设这种疾病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有_____________个人患病；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有_____________个人患病．（用含x的式子表示）
（2）求x的值．
四、解答题（本题有3小题，每题8分，共计24分）
18．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c为的三边．
（1）若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
（2）若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
19．小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面处的A点处出手，在距出手点A水平距离处达到最高点B，最高点B距地
面的距离为．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式；
（2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀．
20．如图，A、P、B、C是上的四个点，，且平分．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）若的半径为2，求的面积．
五、解答题（本题有2小题，每题9分，共计18分）
21．观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
．
【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________．
【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值．
22．取一副三角板按图1拼接，固定三角板，将三角板绕点A依顺时针方向旋转一定的角度得到三角形，请问：
图1 图2 图3
（1）如图2，当时，请你判断与D的位置关系，并说明理由；
（2）如图3，当为多少度时，能使？
六、解答题（本题12分）
23．二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线、再将得到的对称抛物线向上平移个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．
（1）已知：二次函数它的顶点关于原点的对称点为_____________，这个抛物线的2阶变换的表达式为_____________．
（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为．
①二次函数M的函数表达式为_____________．
②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线上是否存在点P，使点P与直线的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．
抛物线的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若是以为腰的等腰三角形，请直接写出m的值．
赣州经开区2023~2024学年第一学期九年级
数学期中测试卷参考答案
一、选择题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分，每小题只有一个正确答案）
1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．D
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共计18分）
7．中心对称（答案不唯一） 8． 9．直线
10． 11．26 12．或或
三、解答题（本大题有5小题，每题6分，共计30分）
13．解：（1）
；
（2），
，
，
或，
解得：．
14．解：（1）90；
（2）四边形是正方形，
在中，，
旋转得到，
在中，，
15．解：（1）把代入得，
，
把分别代入，
得，解得，
二次函数解析式为；
（2）或．
16．解：（1）如图（1），为所作；
（2）如图（2），为所作．
图（1） 图（2）
17．（1），
列方程
解方程，得（不合题意，舍去）
故的值为12．
四、（本题有3小题，每题8分，共计24分）
18．解：（1）的形状为等腰三角形；
把代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
（2）的形状为直角三角形；
由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程的判别式，
，
，
则该三角形的形状为直角三角形．
19．解：（1）依题意，设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，有．
解得，
该抛物线的表达式为；
（2）解：令，得，
解得（在轴正半轴，故舍去），
点的坐标为．
，
由，可得．
小碓此次试投的成绩达到优秀．
20．解：（1）为等边三角形，理由如下：
平分，
，
，
为等边三角形；
（2）连接，并延长，交于点．
为等边三角形
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
五、（本题有2小题，每题9分，共计18分）
21．（1）101；
（2）（，且为正整数），
对称轴为，因是正整数，且，
所以取50或51时，最大为2250．
（3）
当时，有最小值为8．
22．解：（1）如答图1，，
，
（2）当或时，能使，理由如下，
如答图③，延长交于点．
图③
，
，
．
如图④中，当时，设与交于点．
图④
，
，
，
，
．
六、（本题12分）
23．解：（1）；
（2）①；
②存在，理由：
，令，则或0，
点，而点，
将点的坐标代入一次函数表达式：得，解得，
故直线的函数表达式为：，
设直线向上平移个单位长度，得，
如图，当直线与抛物线相切，即有且只有一个交点时，此时交点与直线距离最短，故联立得，
整理得：，
，解得
把代入中，
解方程得
当时，
故点；
（3）抛物线的顶点为点，与轴交于点，
则点、点，
抛物线的阶变换的函数表达式为：，
故点，
则，
当时，，解得：；
当时，同理可得：或2，
当时，共线，故舍去
故的值为：或或8．
x
…
0
1
…
y
…
…