山东省枣庄市薛城区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省枣庄市薛城区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了01， 的值为， 设，，，则的大小关系为， 已知命题p， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A. [﹣1，2]B. （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D. （﹣1，2）
7. 已知函数在区间内零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C D.
8. 如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个角的终边相同，则它们的大小相等
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度
10. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 为奇函数B. 在区间内有2个零点
C. 的周期是D. 的最大值为
12. 已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A. 函数零点的个数为2
B. 实数的取值范围为
C. 函数无最值
D. 函数在上单调递增
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的值为______．
14. 若，则_________.
15. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______.
16. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
18. 已知函数，.
（1）当时，解关于的方程；
（2）解关于的不等式.
19. 已知函数的部分图象如图所示.若的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调递减区间.
20. 已知二次函数．
（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立：
（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
21. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
22. 已知定义域为的函数满足对任意都有．
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且当x＞1时，，求不等式的解．2023～2024学年度第一学期学科素养诊断试题
高一数学2024.01
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合钝角，第二象限角，小于的角，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据钝角的范围，即可得出选项C正确，再由第二象限角的范围，即可判断出选项ABD的正误，从而得出结果.
【详解】因为钝角大于，且小于的角，一定是第二象限角，所以，故选项C正确，
又第二象限角的范围为，
不妨取，此时是第二象限角，但，所以选项ABD均错误，
故选：C.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式与和差公式化简求值即可.
【详解】
.
故选：A.
3. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数，对数函数单调性分析和与1和0 的关系，由正切函数性质分析与1和0 的关系，即可得出答案.
【详解】，即，
，且，即，
由正切函数性质可知，即，
故，
故选：A.
4. 下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.
【详解】因为是奇函数又在上是增函数，所以A正确.
因为定义域为，所以在和是增函数，所以B错误.
因为是偶函数不是奇函数，所以C错误.
因为定义域为不具备奇偶性，所以D错误.
故选：A
5. 已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上有2个零点，
所以，解得，
即的取值范围是
故选：C.
6. 已知命题p：，命题q：，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（ ）
A. [﹣1，2]B. （﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D. （﹣1，2）
【答案】B
【解析】
【分析】由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件, 由得或，只需,即可.
【详解】由得或,因为是的充分不必要条件,所以是的充分不必要条件,所以,解得或.
故选:.
【点睛】本题考查充分必要条件求参数取值范围问题,难度一般.
7. 已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数的单调性结合零点存在性定理判断a，b，c所在区间作答.
【详解】函数在上单调递减，函数在上都单调递增，
因此函数在上都单调递减，
在上最多一个零点，，即有，
，则，而，即，
所以.
故选：A
8. 如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，扇形周长为定值，圆心角为，若，则当取得最大值时，圆心角为的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先利用扇形的周长得到推得，再利用扇形的面积公式将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解.
【详解】依题意，知，则，，
因为，所以，不妨设，则，
因为扇形周长为定值，所以，则，
因为，
扇形的面积为，
则，
对于，其开口向下，对称轴为，
故当，即时，取得最大值，即取得最大值，
此时，.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个角的终边相同，则它们的大小相等
B.
C. 若，则为第一或第四象限角
D. 经过30分钟，钟表的分针转过弧度
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，可利用终边相同的角的关系判断出选项A的正误；选项B，利用诱导公式及特殊角的函数值，即可判断出选项B的正误；选项C，通过取特殊角，即可作出判断；选项D，利用角的定义即可作出判断，从而得出结果.
【详解】对于选项A，终边相同的角相差倍，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B正确；
对于选项C，当时，，此时为轴线角，所以选项C错误；
对于选项D，经过30分钟，钟表的分针转过半个圆，由角的定义知，分针转过弧度，所以选项D正确，
故选：BD.
10. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据，并结合为锐角求解即可.
【详解】解：因为，所以，即
所以，
因为为锐角，所以，
所以，
所以，
所以
故选：ABD
11. 已知函数，下列选项中正确的是（ ）
A. 为奇函数B. 在区间内有2个零点
C. 的周期是D. 的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据奇偶性判断A，由二倍角公式变形函数式，结合方程判断B，根据周期的定义判断C，结合二次函数性质判断D．
【详解】由题，A错；
由，可得（舍去），
又，因此有两解，B正确；
因为，，因此不可能是的周期，C错；
因为，∴时，取得最大值，D正确．
故选：BD．
12. 已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A. 函数的零点的个数为2
B. 实数的取值范围为
C. 函数无最值
D. 函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可
【详解】

14. 若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式即可化简求解.
【详解】,
故答案为：
15. 已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，
设，则，且，
原式
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：4
16. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2).
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；
（2）由同角三角函数的关系即可求解.
【小问1详解】
∵角的终边与单位圆的交点为
∴
∵
∴
∴.
【小问2详解】
原式
又∵
∴原式
18. 已知函数，.
（1）当时，解关于的方程；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件得到或，即可求出结果；
（2）分和两种情况讨论，当时，因为恒成立，即可求出结果；当时，由，得到或，再对进行分类讨论即可求出结果.
【小问1详解】
当时，由方程，得到，
所以或，解得或，
故方程的解为或.
【小问2详解】
由，可得，
①当时，恒成立，原不等式等价于，解得，
此时不等式解集为；
当时，由，得到或，
②当时，，由，得到或，此时不等式解集为；
③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为；
④当时， ，由，得到或，此时不等式解集为，
综上所述，当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，方不等式解集为，
当时，不等式解集为.
19. 已知函数的部分图象如图所示.若的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象.
（1）求解析式；
（2）求在上的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图像求出的解析式，再根据伸缩变换得到的解析式；
（2）整体代入法求单调区间.
【小问1详解】
由题可得，，则，
则，
当时，取得最大值，则，
解得，
又因为，故，所以，
则.
【小问2详解】
由（1）可知，
令，
则，
故的单调递减区间为.
则时，在上的单调递减区间为.
20. 已知二次函数．
（1）当取何值时，不等式对一切实数都成立：
（2）若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对a分类讨论，结合二次函数图象及判别式法求解；
（2）对零点个数分类讨论，结合判别式法及零点存在定理列式求解，另外需要注意讨论零点在的临界情况.
小问1详解】
为二次函数，则，
当时，二次函数开口向上，不等式不对一切实数都成立，不满足题意；
当时，则有，解得.
故当时，不等式对一切实数都成立；
【小问2详解】
i.当仅有一个零点时，由，此时零点，符合题意；
ii.当有两个零点时，
①当，则由解得另一个零点为，符合题意；
②当，则由解得另一个零点为，符合题意；
③当，由零点存在定理，则有，解得.
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为.
21. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据解析式计算可得结果；
（2）化简，根据正弦函数的单调递增区间可得结果；
（3）根据正弦函数的图象列式可得结果.
【小问1详解】
.
【小问2详解】

，
由，，
得，，
所以的单调递增区间是．
【小问3详解】
因为，所以．
依题意，解得．
所以m的取值范围为．
22. 已知定义域为的函数满足对任意都有．
（1）求证：是奇函数；
（2）设，且当x＞1时，，求不等式的解．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意赋值结合奇函数定义证明；（2）根据题意整理可得，赋值结合单调性定义可证在上单调递减，并根据偶函数的定义证明是偶函数，根据奇偶性、单调性解不等式.
【小问1详解】
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
故是奇函数.
【小问2详解】
∵，则，即，
则，即，
令，则，，
∴，即，
故在上单调递减，
又∵，则是偶函数，
∴，即，
则，解得或，
故不等式的解集为.