山东省枣庄市薛城区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一年级质量检测

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定，即可选择.

【详解】命题“”的否定为“” .

故选：.

2. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先化简集合A，再利用交集定义即可求得

【详解】，

则

故选：B

3. 已知点是角终边上一点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根据三角函数的定义即可得结果.

【详解】因为点是角终边上一点，所以，

所以，

故选：D.

4. 函数的零点所在的一个区间是（    ）

A. (1，2) B. (2，3) C. (3，4) D. (4，5)

【答案】B

【解析】

【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】解：函数在是连续不断的，

由，

，

所以函数的零点所在的一个区间是.

故选：B.

5. 已知a=3.20.1，b=log25，c=log32，则（    ）

A. b>a>c B. c>b>a C. b>c>a D. a>b>c

【答案】A

【解析】

【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.

【详解】

所以

故选：A

6. 若函数图像的一条对称轴为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据为对称轴，得到，然后对取值，结合的取值范围即可求解.

【详解】因为为的一条对称轴，则，所以，当时，，此时，符合题意.

故选：A

7. 已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】用换元法转化为在上的值域为，画图观察列式可得结果.

【详解】由题意可得，令 则 ,如图所示，

∵的值域是，，

∴，即：

∴由图可知，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：B.

8. 若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】构造奇函数 ，利用奇函数的最大值和最小值互为相反数求解．

【详解】由题意设，，所以是奇函数，

，，

∴，又，∴．

故选：B.

【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值．解题关键是构造新函数，利用奇函数性质求解．

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各组函数为同一个函数的是（    ）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】CD

【解析】

【分析】逐项判断即可，A项定义域不同；B项定义域不同；CD项化简后三要素相同；

【详解】对于A：的定义域为，的定义域为，

因为这两个函数定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A错误；

对于B：的定义域为，的定义域为，

因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B错误；

对于C：的定义域为，的定义域为，

，，所以这两个函数是同一函数，故C正确；

对于D：的定义域为，的定义域为，

，所以这两个函数是同一函数，故D正确；

故选：CD.

10. 已知，则下列说法中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可判断A；

利用作差法，举出反例即可判断B，如；

根据对数真数的特征即可判断C；

利用基本不等式即可判断D.

【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，，当时，，故B错误；

对于C，当时，无意义，故C错误；

对于D，，当且仅当时，取等号，

又因，所以，故D正确.

故选：AD.

11. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（    ）

A. 的图象关于直线对称 B. 的一个周期是

C. 最大值为2 D. 是区间上的减函数

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据正弦函数与余弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.

【详解】由，

对于A，，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，所以的最大值为，

当时，，取得最大值，

所以的最大值为，故C不正确；

对于D，在区间上是减函数，且，

所以在区间上是减函数；在区间上是增函数，

且，所以在区间上是减函数，故D正确；

故选：BD.

【点睛】思路点睛：

求解三角函数性质相关的题目时，通常需要利用三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等），由函数解析式，结合选项进行判断即可.

12. 已知函数，若，且，则（    ）

A.

B.

C. 的取值范围是

D. 的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出函数的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误.

【详解】由可得，解得.

作出函数的图象如下图所示：

由图象可得，

由，可得，即，得，A选项正确；

令，解得，

当时，令，解得，由于，，

所以，函数的图象关于直线对称，

则点、关于直线对称，可得，B选项错误；

，C选项正确；

，下面证明函数在上为减函数，

任取、且，则，

，则，，所以，，

所以，函数在上为减函数，

，则，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若幂函数在（0，）上单调递减，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】解方程，再检验即得解.

【详解】，解得或.

当时，，在（0，）上单调递增，与已知不符，所以舍去.

当时，，在（0，）上单调递减，与已知相符.

故答案为：

14. 扇形面积为16，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为__________.

【答案】

【解析】

【分析】先由已知求出半径，从而可求出弧长

【详解】设扇形所在圆的半径为，

因为扇形的面积为16，圆心角为2弧度，

所以，得，

所以该扇形的弧长为，

故答案为：

15. 若，，则___________．（用a、b表示）

【答案】

【解析】

【分析】先转化指数式为对数式，再利用换底公式即可求解.

【详解】因为，所以

因此.

故答案为：

16. 已知且，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．

【详解】解：令，，因为，所以，

则，，所以,

所以

，

当且仅当，即，，即时取“”，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角函数诱导公式即可化简；
 

（2）利用三角函数诱导公式和特殊角三角函数值即可求得时的值．

【小问1详解】

.

【小问2详解】

时，.

18. 已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）由条件结合，可得和，从而得解；

（Ⅱ）由，结合（Ⅰ）的值即可得解.

【详解】（Ⅰ）因为,

所以,

代入可得，

所以，

故，，

所以．

（Ⅱ）因为，

所以．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.

19. 设函数．

（1）求的最小正周期和单调增区间；

（2）当时，求的最大值和最小值．

【答案】（1），，   

（2）最大值2，最小值

【解析】

【分析】（1）利用最小正周期公式求得的周期；利用余弦函数的单调性求得的单调增区间；

（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得的最大值和最小值．

【小问1详解】

∵函数，∴的最小正周期为，

令，，

求得，

故函数单调增区间为，．

【小问2详解】

当时，，

∴，

故当，即时，函数取得最大值2，

当，即时，函数取得最小值为．

20. 已知函数（其中）．

（1）设关于的函数当时，在如图所示的坐标系中画出函数的图象，并写出的最小值（无需过程）；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）图象见解析，最小值为0；   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）利用描点法即可得到函数的图象，进而得到的最小值；

（2）按k分类讨论，即可求得该一元二次不等式的解集.

【小问1详解】

k＝1时，的图象如图所示：

当x＝－1时，函数取得最小值0．

【小问2详解】

因为，故，即．

①当k＞2时，可得；

②当k＝2时，可得x＝0；

③当k＜2时，可得．

综上所述：当k＜2时，不等式的解集为；

当k＝2时，不等式的解集为；

当k＞2时，不等式的解集为．

21. 已知函数是定义在R上奇函数，且当时，．

（1）求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）；

（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），单调递增；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用奇函数定义求得x＜0时的解析式，进而得到的解析式并判断该函数的单调性；

（2）构造新函数，利用的单调性将题给不等式转化为对任意的恒成立，进而求得实数的取值范围．

【小问1详解】

因为是定义在R上的奇函数，且当时，，

设x＜0，则－x＞0，则．

故，函数在定义域R上单调递增．

【小问2详解】

因为函数在定义域R上的单调递增．

原不等式恒成立等价于

对任意的恒成立．

即

对任意的恒成立．

构造函数，则也是R上的增函数 .

故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．

①当时，为开口向下的二次函数，

不恒成立；

②当时，不恒成立；

③当a＞0时，由对任意的恒成立，

可得，解得1＜a＜9．

综上，实数a的取值范围是．

22. 已知函数．

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．

【答案】（1）a＝1    （2）

【解析】

【分析】（1）利用奇函数定义列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；

（2）先将题给条件转化为关于实数的不等式恒成立，再利用换元法和均值定理即可求得实数的取值范围.

小问1详解】

因为为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有，

即．即，

即，化简得．

上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a＝1．

【小问2详解】

要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，

必须使在上恒成立．

令，则，上式整理得，．

由基本不等式可知．（当且仅当时，等号成立）

即，所以，

所以a的取值范围是．