【开学摸底考】高三数学（天津专用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，
2，本卷共9小题，每小题5分，共45分
参考公式：
•如果事件A、B互斥，那么．
•如果事件A、B相互独立，那么．
•球的体积公式，其中R表示球的半径．
•圆锥的体积公式，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。
一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知：，：，则是的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若回归方程，则变量与正相关
B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18
D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”
5．已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第1层）有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…设“三角垛”从第1层到第n层的各层的球数构成一个数列，则第21层的球数为（ ）
A．241B．231C．213D．192
7．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为（ ）

A．B．C．D．
8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数，若有三个不同的实数，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
第II卷
注意事项
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．设为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ．
11．的展开式中各项系数之和为64，则的展开式中常数项为 ．
12．已知直线与圆交于A，B两点，则当取得最小值时，其余弦值为 ．
13．函数的图象为，如下结论中正确的是 ．
（1）图象关于直线对称；
（2）图象关于点对称；
（3）函数在区间内单调递增；
（4）由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
14．第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是 ．
15．在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为 .
解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤。
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
17．如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.
(1)求证：⊥平面；
(2)求二面角余弦值的大小；
(3)求点到平面的距离．
18．已知等比数列是递增数列，且，.
(1)求通项公式；
(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；…；在和之间插入个数、、…、，使、、、…、、成等差数列.若，且对恒成立，求实数的取值范围.
19．已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为.
(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）.
20．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且．