【开学摸底考】高三理科数学（全国甲卷、乙卷通用）-2023-2024学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14．
15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.【详解】（1）当时，为等比数列，即是4的常数列，2分
故，3分
当时，，4分
当时，，5分
∴数列，均为公比为4的等比数列，
，，7分
.8分
（2），10分
∴当时，数列的前项和为
.12分
18.【详解】（1）在平面内过点作交于点，连接，

则四边形为平行四边形，
所以，所以，
又，所以，1分
因为平面平面，所以平面，
因为平面平面，所以平面，2分
又平面，所以平面平面，3分
又平面，所以平面．4分
（2）取的中点，连接，
因为，
所以，所以，所以，5分
又，所以，所以．
在中，，
又，所以，所以，6分
又平面，所以平面．
过作，则平面，则两两垂直，7分
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．8分
设平面的法向量为，
则，
取，则，故，10分
设直线与平面所成的角为，
则，11分
即直线与平面所成角的正弦值为．12分
19.【详解】（1）补全列联表如下：
2分
.4分
所以有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关.5分
（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3个是城市学校，抽取2个，6分
则可能取值为.
9分
所以的分布列为：
11分
的数学期望12分
20.【详解】（1）抛物线经过点，，解得：，
抛物线；1分
由题意知：直线斜率存在，设，，，
由得：，2分
，解得：或；3分
，，，，4分
又直线与轴相交于两点，
，
即，解得：且；5分
综上所述：直线斜率的取值范围为.6分
（2）设点，，
由，，知：共线，即在轴上，
则可设，，，
，，，同理可得：，
，直线，8分
令得：，同理可得：，
，，10分
由（1）知：，，
，解得：，
存在定点满足题意.12分
21.【详解】（1）由题知，，，
，2分
曲线在处的切线方程为，即，
解得；4分
（2）由题知，，
恰有2个不同的零点，即恰有2个不同的解，
即恰有2个不同的解.5分
设，
易知单调递增，
恰有2个不同的解，6分
设，，则恰有2个不同的零点，
，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，8分
要使恰有2个不同的零点，则，即，9分
当时，，．
设，则，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递增，10分
当时，，
在区间和区间上各有1个零点，11分
实数的取值范围为．12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22.【详解】（1）因为曲线（其中），且，1分
所以的极坐标方程为，即.2分
（2）由题意可知：曲线（为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，
所以曲线的极坐标方程为；4分
曲线（t为参数，），即，
表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；5分
可得，7分
注意到，则，8分
可得面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以面积的最大值为1.10分
选修4-5：不等式选讲
23.【详解】（1）解：当时，．
当时，，恒成立，故；1分
当时，，由，得，故；2分
当时，，无解．3分
故不等式的解集为．5分
（2）由，得，
令，，
作出函数的图象及当时函数的图象，7分
如图所示，
9分
数形结合可知当时，恒成立，故．10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
A
B
C
C
A
C
D
B
C
A
C
经常应用
偶尔应用或者不应用
总计
农村
40
40
80
城市
60
20
80
总计
100
60
160
0
1
2