2023-2024学年陕西省延安市宝塔区培文实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省延安市宝塔区培文实验学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式x−23x−1的值为0，则x的值是( )
A. −2B. 0C. 2D. 13
2.下列与环保有关的图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.计算：(14a3b2−7ab2)÷7ab2的结果是( )
A. 2a2B. 2a2−1C. 2a2−bD. 2a2b−1
4.下列分式计算正确的是( )
A. (2y3x)2=2y23x2B. 1x−y−1y−x=0
C. (−x2y)3=−x6y3D. 13x+13y=13(x+y)
5.陕北剪纸兼备了我国北方剪纸的粗犷大气，写意豪放和南方剪纸工巧细致，写实秀美的特点，某剪纸图案的外轮廓为八边形，则这个八边形的内角和为( )
A. 720°B. 900°C. 1080°D. 1440°
6.若4a2−2ka+9是一个完全平方式，则k=( )
A. 12B. ±12C. 6D. ±6
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，还需再添加一个条件，这个条件不能是( )
A. AD=BC
B. ∠B=∠C
C. BD=CD
D. ∠BAD=∠CAD
8.如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为( )
A. 44°
B. 66°
C. 88°
D. 92°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过几年后，石头上形成了一个深度为0.0039毫米的小洞，数据0.0039用科学记数法表示为______．
10.代数式x2−9与x2−6x+9的公因式是______．
11.若约定a⊗b=10a×10b，如2⊗3=102×103=105，则3⊗4等于______．
12.若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为______．
13.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF=7，则AC为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
14.如图，某市有一块长为(3a+b)米、宽为(2a+b)米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为(a+b)米的正方形雕像．
(1)试用含a、b的式子表示绿化部分的面积(结果要化简)．
(2)若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
四、解答题：本题共12小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题5分)
计算：(−1)3+(π+2024)0+(12)−2．
16.(本小题5分)
因式分解：2ax2−8a．
17.(本小题5分)
解方程：32x−2−1x−1=3．
18.(本小题5分)
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG、公路CE和CD的距离相等．如果你是红方的指挥员，请你在图中准确地作出蓝方指挥部点P的位置．(保留作图痕迹，不必写作法)
19.(本小题5分)
在△ABC中，∠B=∠A+20°，∠C=∠B+41°，求∠A的度数．
20.(本小题5分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，试判断AB与BC的数量关系，并说明理由．
21.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.求证：△ADC是等腰三角形．
22.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−x+1x2−2x+1)÷x−3x−1，其中x=12．
23.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A(−2,−3)、B(3,3)、C(−3,−1)，△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，其中点A1，B1、C1分别是点A、B、C的对应点．
(1)画出△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标．
24.(本小题7分)
开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚.某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份.近日，学校食堂花了1400元和1600元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低50%，求橘子每千克的价格．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB=DE．
(1)求证：△ACB≌△EBD；
(2)若DB=12．
①求AC的长；
②求△DCE的面积．
26.(本小题10分)
【问题情境】
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB=OC．
【探索求证】
(1)求证：AE垂直平分BC；
(2)若∠OED=∠ODE，求证：CO平分∠ACB；
【深入探究】
(3)若∠BAC=60°，试判断△CDE的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：x−2=0且3x−1≠0，
解得：x=2，
故选：C．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：(14a3b2−7ab2)÷7ab2
=14a3b2÷7ab2−7ab2÷7ab2
=2a2−1．
故选：B．
先去括号，再合并同类项即可．
本题主要考查整式的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】C
【解析】解：(A)原式=4y29x2，故A错误；
(B)原式=1x−y+1x−y=2x−y，故B错误；
(D)原式=y3xy+x3xy=x+y3xy，故D错误；
故选：C．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知，八边形的内角和为：(8−2)×180°=1080°．
故选：C．
根据三角形的内角和公式可直接得出结论．
本题主要考查多边形内角和公式，熟练掌握该公式是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵4a2−2ka+9=(2a)2−2ka+32，
∴−2ka=±2⋅2a⋅3，
解得k=±6．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7.【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴当添加∠B=∠C时，△ABD≌△ACD(AAS)；
当添加BD=CD时，△ABD≌△ACD(SAS)；
当添加∠BAD=∠CAD时，△ABD≌△ACD(ASA)．
故选：A．
利用垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，加上AD为公共边，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
8.【答案】D
【解析】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
AM=BK∠A=∠BAK=BN，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=92°，
故选：D．
根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
9.【答案】3.9×10−3
【解析】解：数据0.0039用科学记数法表示为3.9×10−3．
故答案为：3.9×10−3．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10.【答案】x−3
【解析】解：x2−9=(x−3)(x+3)；
x2−6x+9=(x−3)2．
故公因式为x−3．
代数式x2−9用平方差公式分解；代数式x2−6x+9用完全平方公式分解．
本题主要考查公因式的确定，利用平方差公式和完全平方公式分解因式是解本题的关键．
11.【答案】107
【解析】解：根据题中的新定义得：
原式=103×104=107．
故答案为：107．
原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：m+4x−3=3xx−3+2，
m+4=3x+2(x−3)，
解得：x=m+105，
∵分式方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x=m+105中得：
3=m+105，
解得：m=5，
故答案为：5．
根据题意可得x=3，然后把x=3代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B=60°，∠BFG=90°，
∴∠G=30°，
∵BF=7，
∴BG=2BF=14，
∴EG=8，
∵CE=CG=4，
∴AC=BC=10，
故答案为：10．
根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BF=14，求得EG=8，于是得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
14.【答案】解：(1)根据题意得：(3a+b)(2a+b)−(a+b)2=6a2+5ab+b2−a2−2ab−b2=5a2−3ab；
(2)当a=3，b=2时，原式=45−18=23．
【解析】(1)由长方形面积减去正方形面积表示出绿化美面积即可；
(2)将a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】解：原式=−1+1+4
=4．
【解析】先根据整数指数幂的性质计算乘方，然后再算加减即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握整数指数幂的性质．
16.【答案】解：2ax2−8a
=2a(x2−4)
=2a(x+2)(x−2)．
【解析】根据提公因式与公式法因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17.【答案】解：32x−2−1x−1=3，
化为：32(x−1)−1x−1=3，
在方程两边都乘以2(x−1)得：
3−2=6(x−1)，
整理得：6x=7，
解得：x=76，
把x=76代入到2(x−1)=13≠0，
所以原分式方程的解为：x=76．
【解析】把分式方程的左边第1个分母提取2后，得到2(x−1)，找出各分母的最简公分母为2(x−1)，在方程两边都乘以最简公分母2(x−1)后，将分式方程转化为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
18.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】作∠DCB的角平分线CM，作∠CBF的角平分线BN，射线CM交射线BN于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：∵∠B=∠A+20°，∠C=∠B+41°，
∴∠C=∠A+20°+41°=∠A+61°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+20°+∠A+61°=180°，
解得∠A=33°．
【解析】根据题意得出∠C=∠A+61°，再由三角形内角和为180°列式进行计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是解此题的关键．
20.【答案】解：AB=BC，
理由：连接BD，
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
BD=BDAD=CD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)，
∴AB=BC．
【解析】连接BD，∠BAD=∠BCD=90°，BD=BD，AD=CD，根据“HL”证明Rt△BAD≌Rt△BCD，则AB=BC．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；
∵∠DAB=45°，∠B=30°
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴△ADC是等腰三角形．
【解析】由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°，再根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，于是∴∠DAC=∠ADC，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC．
本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
22.【答案】解：原式=x2−2x+1−x−1x2−2x+1⋅x−1x−3
=x(x−3)(x−1)2⋅x−1x−3
=xx−1，
当x=12时，原式=1212−1=−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)如图，

点A1、B1、C1分别是点A、B、C关于x轴对称的对称点，
连接A1B1、B1C1、A1C1，
则△A1B1C1即为所作；
(2)由(1)图可知，A1的坐标为(2,−3)，B1的坐标为(−3,3)，C1的坐标为(3,−1)．
【解析】(1)根据轴对称变换的定义和性质作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
(2)根据点A1、B1、C1在坐标系中的位置写出坐标即可．
本题考查利用作图−轴对称变换，写出坐标系中点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系并根据轴对称变换的定义和性质准确找出各点的位置是解题的关键．
24.【答案】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为(1−50%)x元，
根据题意得：1400(1−50%)x−1600x=150，
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．
答：橘子每千克的价格为8元．
【解析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为(1−50%)x元，根据学校食堂花了1400元和1600元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠DBC=90°，
∴∠ABC+∠ABD=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DFB=90°，即∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ABC=∠EDB，
∵∠ACB=∠EBD，∠ABC=∠EDB，AB=DE，
∴△ACB≌△EBD(AAS)；
(2)解：①∵点E是BC的中点，
∴CE=BE=12BC，
由(1)可知，△ACB≌△EBD(AAS)，
∴AC=BE，BC=BD，
∴AC=BE=12BC=12BD=6，
∴AC的长为6；
②：由题意知，S△DCE=12CE×BD=12×6×12=36，
∴△DCE的面积为36．
【解析】(1)由题意知，∠ABC+∠ABD=90°，∠ABD+∠EDB=90°，则∠ABC=∠EDB，证明△ACB≌△EBD(AAS)；
(2)①由题意知，CE=BE=12BC，由△ACB≌△EBD(AAS)，可得AC=BE=12BC=12BD，计算求解即可；②根据S△DCE=12CE×BD，计算求解即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
∵OB=OC，点A，O在AE上，
∴AE垂直平分BC；
(2)证明：∵∠OED=∠ODE，
∴OD=OE．
又∵BD⊥AC，AE⊥BC，
即OD⊥AC，OE⊥BC，
∴CO平分∠ACB；
(3)解：△CDE是等边三角形，
理由：由(1)知AB=AC．
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°．
由(1)知AE垂直平分BC，
∴E是BC的中点，
∴EC=12BC，
∵BD⊥AC，
∴CD=12AC，
∴EC=CD，
∴△CDE是等边三角形．
【解析】(1)证出AB=AC，由线段垂直平分线的判定可得出结论；
(2)由角平分线的判定可得出结论；
(3)证出AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°.由(1)知AE垂直平分BC，则EC=12BC，由等边三角形的判定可得出结论．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．