湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷）

这是一份湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷），共13页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列方程中两根之和为6的是，设集合，若，则，定义等内容，欢迎下载使用。

命题人：李昊､欧阳东凌､陈诗如 审题人：张志军 时量：120分钟 分值：150分
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（ ）
A.或 B. C. D.
2.下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.下列方程中两根之和为6的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设集合，若，则（ ）
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
6.函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7.关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.
A.或 B.或 C.或 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（ ）
A.众数是2.1 B.中位数是1.6
C.平均数是2.08 D.方差大于1
11.已知二次函数的图像与轴有两个交点，则下面说法正确的是（ ）
A.该二次函数的图像一定过定点；
B.若该函数图像开口向下，则的取值范围为：；
C.当，且时，的最大值为；
D.当，且该函数图像与x轴两交点的横坐标满足时，m的取值范围为：
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则式子的值为__________.
13.如图，一段抛物线记为，它与轴交于点；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则__________.
14.给定实数集合，定义运算.设，则中的所有元素之和为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）
已知关于的一元二次方程有两个实数根.
（1）求的取值范围；
（2）若满足，求的值.
16.（本小题15分）
甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A，E，I是元音字母；B，C，D，H是辅音字母）
17.（本小题15分）
对､定义一种新运算“”，规定：（其中､b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.
（1）已知.
①求的值；
②若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围.
（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，m，结论“”都成立，试探索a､b所应满足的关系式.
18.（本小题17分）
定义：若任意可以相等，都有，则集合称为集合A的生成集；
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合的生成集为的子集个数为4个，求实数的值；
（3）若集合，A的生成集为B，求证.
19.（本小题17分）
已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.
（1）求的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上.
（i）若，且，求的值；
（ii）若，求的最大值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足的的集合.
本题考查了集合的表示方法，属于基础题.
【解答】
解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足的的集合，
解绝对值不等式可得：，
故选B.
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.
【解答】
解：根据俯视图可知该组合体共2行､4列，
结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：
则组成此几何体需要正方体的个数是8，
故选B.
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题.
分别由，求出的值，再将值代入验证即可.
【解答】
解：若，则，满足；
若，则或，
时，；
时，，不符合互异性，
则或2.
故选C.
6.【答案】C
【解析】解：分两种情况讨论：
①当时，反比例函数，在一､三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点为，都不符；
②当时，反比例函数，在二､四象限，而二次函数开口向下，与y轴交点为，C符合.
故选：C.
根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.
本题主要考查二次函数､反比例函数的图象特点.
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键.
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可.
【解答】
解：直线经过点，则；
直线.
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
该等腰三角形的高等于斜边的一半.
，
该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
当时，，
当时，，
当时，，
美丽抛物线的顶点只有.
①若为顶点，由，则；
②若为顶点，由，则，
综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.
故选：B.
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查集合中元素的性质､集合与元素的关系，注意题意中的位置有对称性，即代数式的值只与中有几个为负数有关，与具体中谁为负无关.
根据题意，分析可得代数式的值与的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得，分析选项可得答案.
【解答】
解：根据题意，分4种情况讨论；
①全部为负数时，则xyz也为负数，则，
②中有一个为负数时，则xyz为负数，则，
③中有两个为负数时，则xyz为正数，则，
④全部为正数时，则xyz也正数，则；
则，
分析选项可得CD符合.
故选CD.
10.【答案】AC
【解析】解：A､因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故本选项正确，符合题意；
B､把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故本选项错误，不符合题意；
C､平均数是：，故本选项正确，符合题意；
D､方差是：，故本选项错误，不符合题意；
故选：AC.
根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案.
本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
11.【答案】ABD
【解析】略
12.【答案】-12
【解析】略
13.【答案】2
【解析】由题知图像与轴的交点坐标分别为，易知图像与轴的交点坐标分别为，，且图像在x轴上方，
的表达式为，当时，.
14.【答案】29970
【解析】【分析】
本题考查了集合的新定义问题
【解答】
解：由，可知所有元素之和为.
15.【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为.
（2）：关于的一元二次方程有两个实数根，
①，②.
，
当时，有③，
联立①③解得：，
当时，有④，
联立①④解得：（不合题意，舍去）.
符合条件的的值为4.
【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系.
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得①､②，分和可找出③或④，联立①③或①④求出的值，进而可求出的值.
16.【答案】【小题1】个元音个元音个元音
【小题2】
【解析】1.略
2.略
17.【答案】解：（1）①，
，
解得：；
②，
，
，
即，
解得：
关于x的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母t的取值范围是；
（2），
，
，
，
，
为任意数，
不一定等于0，
，
即所应满足的关系式是.
【解析】略
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键.
（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；
（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.
18.【答案】解：（1）由题可知
①当时，，
②当时，，
③当或时，，
所以；
（2）①当时，，
②当时，，
③当或时，，
的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或或，
解得或或舍去.
（3）证明：，
，
，
，即，
，
又，
所以A，
综上可得.
【解析】本题考查集合的新定义问题，集合中子集的个数，作差法比较大小，属于较难题.
（1）根据新定义算出的值即可求出B；
（2）B的子集个数为4个，转化为中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出B的范围即可证明出结论.
19.【答案】解：
（1）：抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，
，
；
（2）点在抛物线上，
，
在抛物线上，
，
，
，
（i），
，
（ii）将代入，
，
，
，
：当，即时，取最大值.
【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键.
（1）求出抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b的值；
（2）先求出，（i）列方程即可求出h的值；
（ii）求出关于的方程，配顶点式求出最大值.