38，湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

这是一份38，湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合U=R，集合M={x|xnSn+1，且a22=a62，则S3和S4均是Sn的最大值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α∈(π2,π)，sin α= 55，则tan (α+π4)=______．
13.已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB=120∘，若△PAB的面积等于9 34，则该圆锥的体积为________
14.已知正实数a,b,c,d满足a2−ab+4=0，c2+d2=1，则当(a−c)2+(b−d)2取得最小值时，ab=_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A级旅游景区首道门票至少半价优惠.本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来，游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%.某市旅游局从游客中随机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的有60人)了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄(50周岁及以下和50周岁以上)分类统计得到不完整的2×2列联表：单位：人
(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联．
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率作为概率.，求X的分布列和数学期望;
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
附：
16.(本小题15分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为6的正方形，下底面圆周的一条弦EF交CD于点G，其中DG=2，DE=DF．
(1)证明：平面AEF⊥平面ABCD．
(2)在上底面圆周上是否存在点P，使得二面角P−EF−A的正弦值为35?若存在，求AP的长;若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B两点分别为椭圆的左顶点、下顶点，F是椭圆的右焦点，且∠FAB=π6，直线l与椭圆相切于点P(P在第一象限)，与y轴相交于Q(Q异于P).记O为坐标原点，若△OPQ是等边三角形，且△OPQ的面积为 32，
(1)求椭圆的标准方程．
(2)C、D两点均在直线m：x=a上，且C在第一象限．设直线AD、BC分别交椭圆于点S、点T，若S、T关于原点对称，求|CD|的最小值．
18.(本小题17分)
高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段AB､BC代表山坡，线段CD为一段平地.设图中AB､BC坡的倾角满足tanθ=724，tanφ=512,AB长250m,BC长182m,CD长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的(与CD平行)，且端点E､F分别与A､D在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩(不考虑端点F建造桥墩)
(1)求需要建造的桥墩的个数；
(2)已知高铁轨道的高度为80m，设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为ℎ(单位：m)，单个桥墩的建造成本为W=0.65ℎ+5(单位：万元)，求所有桥墩建造成本总和的最小值．
19.(本小题17分)
设y=fx、y=gx是定义域为R的函数，当gx1≠gx2时，δ(x1,x2)=f(x1)−f(x2)g(x1)−g(x2)．
(1)已知y=gx在区间I上严格增函数，且对任意x1,x2∈I,x1≠x2，有δx1,x2>0，证明：函数y=fx在区间I上是严格增函数；
(2)已知gx=13x3+ax2−3x，且对任意x1,x2∈R，当gx1≠gx2时，有δx1,x2>0，若当x=1时，函数y=fx取得极值，求实数a的值；
(3)已知g(x)=sin x,f(π2)=1,f(−π2)=−1，且对任意x1,x2∈R，当g(x1)≠g(x2)时，有|δ(x1,x2)|⩽1，证明：fx=sinx．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合交并补混合运算，属于基础题．
先求出M∪N，M∩N，∁UM，∁UN，即可逐项求出．
【解答】
解：因为U=R，集合M={x|x