专题4.2 应用导数研究函数的单调性-2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程相结合，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.与函数的图象、曲线方程、导数的几何意义相结合，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养．
知识点一
利用导数研究函数的单调性
在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.
在上为增函数．
在上为减函数．
知识点二
利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求f′(x)．
(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．
知识点三
特别提醒
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．
常考题型剖析
题型一：判断或证明已知函数的单调性
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·高三专题练习）已知，若在处的切线恰好与轴平行，判断此时的单调性.
【答案】在上单调递减，在上单调递增.
【分析】由导数的几何意义求出的值，再利用导数求函数单调性.
【详解】由题意得，的定义域为，，
∵在处的切线恰好与轴平行，∴，∴，
∴，.
令，则，∴在上单调递增，且，
∴当时，；当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
例1-2.（2023·全国·高三专题练习）判断函数的单调性．
【答案】在上单调递减
【分析】先求导，可得，构造函数，利用导数分析其单调性，结合得到的正负，进而求解.
【详解】因为
所以，
令，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
【规律方法】
1．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'(x)；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数.
【变式训练】
变式1-1.（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
【解析】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
变式1-2.（2016北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.
【解析】
（1）因为，所以.
依题设，即
解得；（2）由（Ⅰ）知.
由即知，与同号.
令，则.
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值，
从而.
综上可知，，，故的单调递增区间为.
题型二：判断或证明含参数函数的单调性
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出，然后分、、三种情况讨论即可.
【详解】，
，，
且，
①当时，，
或时，，单调递增，
时，，单调递减；
②当时，，
或时，，单调递增，
时，，单调递减；
③当时，，
时，，单调递减，
，，单调递增；
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在，单调递增，在单调递减.
例2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，.讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】对求导，对参数进行分类讨论，根据导函数函数值的正负即可判断的单调性.
【详解】因为，故可得，
令，可得或；
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时， 在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减.
【规律方法】
1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.
2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；
(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；
(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．
【变式训练】
变式2-1.（2020·全国高考真题（文））已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【解析】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
2.已知函数，。
（Ⅰ）若 ，求的值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性.
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得：，故，∴.
(Ⅱ)∵函数，其中a>1，
∴f(x)的定义域为(0,+∞)，，
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1.
①若a−1=1,即a=2时,，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
②若0由f′(x)<0得，a−1由f′(x)>0得，01.
故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增.
③若a−1>1，即a>2时，
由f′(x)<0得,10得，0a−1.
故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增；
当1当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增.
变式2-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，试讨论的单调性.
【答案】当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【分析】先求导，然后分和讨论即可.
【详解】由题知，，且定义域为，则，
当时，恒成立，所以在上单调递减.
当时，由，得，所以在上单调递增；
由，得，所以在上单调递减.
综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.
题型三：求函数的单调区间
【典例分析】
例3-1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是____；单调递减区间是_____.
【答案】
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.
【详解】函数定义域为，，
令，则，解得，，
令，则，解得，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
故答案为：；
例3-2．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的单调递减区间为________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，即可求出的取值情况，从而求出的取值情况，即可得到的单调性.
【详解】因为的定义域为，则，
令，，则，
在上单调递减，且，
∴当时，，即，
当时，，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递减区间为.
故答案为：
【方法技巧】
利用导数求函数单调区间的方法
(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．
(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．
(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为_____________.
【答案】
【分析】利用导数求出函数的单调递减区间作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，由，即，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
变式3-2. （2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为________.
【答案】
【分析】求得，根据得到函数的单调增区间.
【详解】，，
当时，，，，所以，单调递减；
当时，，，，所以，单调递增；
所以在的单调递增区间为，
故答案为：
题型四：利用函数的单调性研究函数图象
【典例分析】
例4-1.（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
例4-2．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J型曲线LOGO，以下4个函数中最能拟合该曲线的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别从函数奇偶性、单调性、及函数值的符号来逐项判断即可.
【详解】对于A项，设，定义域为，
又因为，所以为奇函数，
当时，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当x趋近于0时，趋近于0；当x趋近于时，趋近于；
又因为，故符合图象，故A项正确；
对于B项，设，定义域为，
又因为，所以为偶函数，而图象曲线是一个奇函数，故B项不符合；
对于C项，设，定义域为，
当时，，则，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，这与图象不符，故C项不符合；
对于D项，设，定义域为，
因为，这与图象中相矛盾，故D项不符合.
故选：A.
【总结提升】
1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
【变式训练】
变式4-1.（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】通过分析的奇偶性，在上的单调性，结合上函数值的正负性可排除不符合题意的选项，即可得答案.
【详解】当时，，即在上单调递增，故排除A；
注意到，则为奇函数，故可排除B；
又注意到时，，故可排除D.
故选：C
变式4-2.（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导函数的正负，得到的单调性，即可判断；
解法二：由导函数的图象可知在处取得极大值，即可判断.
【详解】解法一：因为在和上，在和上，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
观察各选项知，只有D符合题意.
解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，
所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.
故选：D.
题型五：利用函数的单调性解不等式
【典例分析】
例5-1.（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合奇偶性求不等式即可.
【详解】均为偶函数，故函数为偶函数，
令则，
，即在R上单调递减，
又在恒成立，
故函数在上递减，在递增.
.
故选：C.
例5-2.（2023·全国·高三专题练习）已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定图象，求出和的解集，再求解给定不等式作答.
【详解】由题图可知，且当和时，，
当时，，则原不等式等价于，
等价于或，
等价于或，
解得:或或．
故选：D．
【总结提升】
比较大小或解不等式的思路方法
(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．
(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．
【变式训练】
变式5-1．（2022秋·海南·高三校联考期末）已知函数对任意的，都有，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用赋值法及函数单调性与导函数的正负的关系，结合函数的单调性即可求解.
【详解】因为，
用代替代入上式，得到，
又，令，则.
因为对任意的，都有，
所以在上单调递增.
由，得，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
变式5-2.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用导数得到的单调与最值情况，结合，解题设不等式即可得解.
【详解】因为，导数为，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以，
而，且在单调递减，在单调递增，
因为，所以，则，
所以，则原不等式的解集为.
故选：D.
题型六：利用函数的单调性比较大小
【典例分析】
例6-1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
例6-2.（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上单调递减.
所以，
故，，
故选：C
【总结提升】
在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
【变式训练】
变式6-1. （2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）设，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解：由，构造和，利用其单调性比较.
【详解】解：由，
令，则，
所以在上递增，则，即，
则，即；
令，则，
所以在上递增，则，即，
则，即，
故选：C
变式6-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数求函数单调性，可比较函数值的大小.
【详解】函数，定义域为，
易知，
又时，，，所以，
即在上单调递增，
故，即.
故选：C
题型七：利用函数的单调性求参数的范围（值）
【典例分析】
例7-1．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
例7-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】求导，利用导函数在内有解即可，结合二次函数的性质求解即得.
【详解】
∵函数在区间上不单调，
∴在区间内有解，
则在内有解，
易知函数在上是减函数，
∴的值域为，
因此实数a的取值范围为.
故答案为：
【总结提升】
1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．注意检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．
(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．
【变式训练】
变式7-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
变式7-2.（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
一、单选题
1．（2004·浙江·高考真题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．
【详解】令，，则，
所以当时，即在上单调递增，
所以，即，即，即，
令，则，
在时，，则为减函数，
∴，即；
令，，则，
故在为减函数，
∴，即；
∴，
令，则，即，∴，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.
二、多选题
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．在区间上单调递减
C．的图象与轴相切
D．的图象关于点中心对称
【答案】AC
【分析】根据偶函数的概念判断A；利用导数研究函数的单调性判断B；利用导数的几何意义判断C；利用特例法判断D.
【详解】由题意知的定义域为，定义域关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故A正确；
因为时，，
所以在区间上单调递增，故B错误；
因为，则，，
所以的图象在点处的切线方程为，故C正确；
因为，，所以的图象不关于点对称，故D错误.
故选：AC
4．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，若，且对且总有，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由判断函数为增函数，由条件分析得到函数的图象是向上凸函数，然后结合图像分别逐项分析即可求解；
【详解】选项A：
由，得在R上单调递增，因为所以，
故A不正确；
选项B：
对且，总有，可得函数的图象是向上凸的，可用如图的图象来表示.
由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B正确；
选项C：
表示点与点连线的斜率，
由图可知，D正确，C不正确.
故选:BD
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的单调递增区间是______.
【答案】
【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.
【详解】因为函数，于是，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
因此函数的单调递增区间是.
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调，则的最大值为_____________.
【答案】
【分析】利用导函数与单调性的关系以及余弦函数的图象性质求解.
【详解】由已知得，＝，
由函数在区间上单调，可知在区间上单调递增，
令，则，即，
解得，
当时满足题意，此时，在区间上是单调递增的，
故a的最大值为.
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】先对函数求导，然后由题意可得在上恒成立，从而可求出实数的取值范围.
【详解】由，得
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以
即实数的取值范围是，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，则的解集为__________．
【答案】
【分析】通过构造函数，借助单调性解不等式.
【详解】由，得，
记，则在R上单调递增．
由，得，
即，，
，所以解集为．
故答案为：
四、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求函数的单调区间.
【答案】单调递减区间为，，单调递增区间为
【分析】求得，根据和的解集，得到函数的单调区间.
【详解】解析：因为，
所以，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.
10．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】先求得函数的导数，分、、三种情况分析导函数的正负，进而求解.
【详解】函数的定义域为，
求导得，
令，得，其中.
当时，，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递增；
当时，，由得，，
所以或时，；时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中常数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【分析】求出，根据和的解集，得到函数的单调区间．
【详解】，由知，
当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数．
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数．
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数，.设，试比较的大小．
【答案】
【分析】先求导数,再设函数,根据范围确定，根据单调性比较大小即可.
【详解】由，
得，
设，
则.
∵，∴，即函数在上是减函数．
∴，即，
故函数在上是减函数，
∴当时，有，
即．