北师大版七年级数学下册高频考点专题突破 专题01 相交线与平行线 教材同步讲练-【高频考点】（原卷版+解析）

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专题01 相交线与平行线 教材同步讲练知识点1-1 余角、补角、对顶角的概念和性质1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）A． B．C． D．变式1．（2021·广东揭阳市·七年级期中）下面各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．变式2．（2021·成都·七年级课时练习）如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．例2．（2021·山东临沂市·七年级期末）已知，，则与的关系为（ ）A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对5．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ）A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余例2．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOE的大小为（　　）A．72° B．98° C．100° D．108°变式3．（2021·安徽合肥市·七年级期末）如果和互余，则下列式子中表示补角是（ ）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例3．（2021·北京海淀区·北大附中七年级期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互补的是（ ）A．B．C． D．变式4．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）A．38° B．37° C．36° D．52°变式5.（2021·浙江嘉兴市·七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（ ）A． B． C． D．例4．（2021·江苏扬州·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．变式6．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．（1）当时，写出图中所有与互补的角．（2）当时，求的度数．知识点1-2 垂线的概念和性质1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ： = 1 \* GB3 ①必须强调在同一平面内； = 2 \* GB3 ②点可在直线外，也可在直线上。 （2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度例1．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC变式1．（2021·全国·七年级课时练习）下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有（ ）个．（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1变式2．（2021·全国·七年级课时练习）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（ ）．A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角例2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．变式3．（2021·安徽·铜陵市第十五中学七年级期中）如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是__________．例3．（2021·辽宁·营口市老边区教师进修学校七年级期中）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．（1）如图1，若，求数；（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．变式4．（2021·江苏盱眙·七年级期末）如图，点O在直线AB上，OC． OD是两条射线，OC⊥OD，射线OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度数．（2）若∠DOE＝α，则∠AOC＝　 　.（ 请用含α的代数式表示）；变式5．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．（1）求的度数；（2）求的度数．例4．（2021·全国·七年级单元测试）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索（回顾）（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由（探索）（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）变式6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，汽车站、码头分别位于两点，直线b和波浪线分别表示公路与河流．（1）从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；（2）从码头B到公路b怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）变式7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．知识点1-3 同位角、内错角、同旁内角的概念1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。注：如下图，位置相同指： = 1 \* GB3 ①两个角都在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角都在两条直线a、b的上方（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位置完全错开的角）注：如下图，位置完全错开指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的不同侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在两条直线a、b的上下不同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。注：如下图，同旁内角指： = 1 \* GB3 ①两个角在第三条直线c的同一侧； = 2 \* GB3 ②且两个角在a、b两条直线的内侧例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。例1．（2021·广西钦州·七年级期末）如图，下列各组角中是同位角的是（　　）A．∠1和∠2 B．∠3和∠4 C．∠2和∠4 D．∠1和∠4变式1．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，直线AB与CD被直线AC所截得的内错角是 ___．变式2．（2021·辽宁沈河·七年级期末）下列四个图形中，和是内错角的是（ ）A． B． C．D．例3．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同旁内角是（ ）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5变式3．（2021·江苏·七年级期中）如图所示，直线a,b被直线c所截，则与是（ ）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角例4. （2021·盐城市·七年级月考）如图，下列说法正确的是（ ）A．∠2和∠4是同位角 B．∠2和∠4是内错角 C．∠1和∠A是内错角 D．∠3和∠4是同旁内角变式4．（2021·四川渠县·七年级期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠1与∠A是同位角；③∠A与∠B是同旁内角；④∠B与∠ACB不是同旁内角，其中正确的是 ______．（只填序号）例5. （2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学七年级期中）如图所示，用数字表示的8个角中，若同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则ab﹣c＝___．变式5．（2020·南通市启秀中学七年级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．（1）如图1，直线，被直线所截，在这个基本图形中，形成了______对同旁内角．（2）如图2，平面内三条直线，，两两相交，交点分别为、、，图中一共有______对同旁内角．（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．（4）平面内条直线两两相交，最多可以形成______对同旁内角．知识点1-4 平行线的概念1）同一平面两条直线间的关系： = 1 \* GB3 ①平行； = 2 \* GB3 ②相交2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线注： = 1 \* GB3 ①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”； = 2 \* GB3 ②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。例1．（2021·河北沧县·七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行变式1．（2021·陕西宝鸡期末）下列说法中正确的个数为（ ）①不相交的两条直线叫做平行线；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．（2021·河北平泉·一模）如图，在平面内作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条变式2．（2021·河北兴隆·九年级期中）已知直线，在同一平面内，给定一点，过点作直线的平行线，可作平行线的条数有（　　）A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条例3．（2021·牡丹江市田家炳实验中学初一期中）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的有________个变式3．（2021·辽宁·初一期中）若直线，，则直线与的位置关系是__________．变式4．（2021·云南镇康·初一期中）已知：如图，梯形ABCD．（1）过点A画直线AE∥CD交BC于E； （2）过点A画线段AF⊥BC于F；比较线段AE与AF的大小：AE AF（直接用“＞”“＝”或“＜”填空）．知识点1-5 平行线的判定1）判定方法一：同位角相等，两直线平行2）判定方法二：内错角相等，两直线平行3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。例1．（2021·汉中市南郑区初一期中）已知平面上五条直线，，，和相交的情形如图所示，根据图中标出的角度，下列叙述正确的是( )A．和不平行，和平行，和平行 B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行 D．和平行，和不平行，和不平行变式1．（2021·山西期末）如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）A．° B． C． D．例2．（2021·上海市市西初级中学初一期中）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行变式2．（2021·山西初一月考）工人师傅在工程施工时，在图纸上画了一条管道的示意图（如图所示），经测量得到，，那么（ ）A． B． C． D．与相交例3．（2021·山西模拟）下列图形中，根据，能得到的是（ ）A． B． C． D．变式3．（2021·洛阳市第四职业高中期中）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°变式4．（2021·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，下列条件：①；②；③；;⑤；其中能判断直线的有（ ）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④变式5．（2020·江苏徐州市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能说明AB∥DC的条件有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个知识点1-6 平行线的性质1）两直线平行，同位角相等; 2）两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补注： = 1 \* GB3 ①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。 = 2 \* GB3 ②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。注：a.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；b.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一条直线，一定垂直于另一条平行线（易证）例1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度数为（　　　）A．120° B．130° C．140° D．150°变式1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，，则（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°例2．（2021·河北张家口·初三二模）如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　A． B． C． D．变式2．（2021·陕西初三其他）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF＝（　　）A．70° B．110° C．20° D．120°例3．（2021·河北初三其他）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　）A．61° B．58° C．48° D．41°变式3．（2021·山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）A． B． C． D．例4．（2021·深圳市高级中学初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是　　A． B． C． D．变式4．（2021·海安市白甸镇初级中学七年级月考）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1 C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1例5．（2020·四川郫都·期末）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（　　）A．180° B．270° C．360° D．450°变式5．（2021·河南沁阳·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2021·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．变式6．（2021·湖北十堰·七年级期末）已知ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG． （1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系 ；（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．知识点1-7 尺规作图例1．（2020·全国初一课时练习）尺规作图的工具是（ ）．A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规 C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规变式1．（2020·山西初一期中）下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（ ）A．作，使 B．作，使C．以点为圆心，线段的长为半径作弧 D．以点为圆心作弧变式2．（2020·山西寿阳·期末）下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作④，∠DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射线EF例2．（2020·四川龙泉驿·初一期中）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（　　）A．以D为圆心，以DN为半径画弧 B．以M为圆心，以DN长为半径画弧C．以M为圆心，以EF为半径画弧 D．以D为圆心，以EF长为半径画弧变式3．（2020·山东薛城·初一期末）如图，已知与线段a，按下列步骤作图（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）；（1）作；（2）在的两边分别作；（3）连接MN． 变式4．（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点（1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；（2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．变式5．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）专题01 相交线与平行线 教材同步讲练知识点1-1 余角、补角、对顶角的概念和性质1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对顶角的定义注意判断选项，即可．【详解】解：A.∠1和∠2的边不是互为反向延长线，不是对顶角，故该选项错误；B. ∠1和∠2没有公共顶点，不是对顶角，故该选项错误；C. ∠1和∠2是对顶角，故该选项正确；D. ∠1和∠2没有公共顶点，不是对顶角，故该选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查对顶角的定义，掌握“有公共顶点且角的两边分别互为反向延长线的两个角叫做对顶角”是解题的关键．变式1．（2021·广东揭阳市·七年级期中）下面各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有第1个图中的是对顶角，其它都不是．故选：A．【点睛】本题考查对顶角的定义，理解对顶角的定义是解题的关键，注意对顶角的前提是两条直线相交．变式2．（2021·成都·七年级课时练习）如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．【答案】40 对顶角相等 【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，图中的量角器显示的度数是40°，∴扇形零件的圆心角40°；故答案为：40；对顶角相等．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，题目比较简单．掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键．例2．（2021·山东临沂市·七年级期末）已知，，则与的关系为（ ）A．相等 B．互余 C．互补 D．以上都不对【答案】B【分析】计算出的值即可得出结论．【详解】解：∵，，∴∴与的关系为互余．故选：B．【点睛】本题考查了互为余角的关系；熟练掌握互余两角的关系是解决问题的关键．5．（2021·浙江宁波市·七年级期末）如图，点在直线上，，那么下列说法错误的是（ ）A．与相等 B．与互余 C．与互补 D．与互余【答案】D【分析】根据垂直的定义和余角，补角的定义和性质解答，即可．【详解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠AOE＋∠2＝90°，即与互余，∵∠2+=180°，∴∠1+=180°，即：与互补，∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，∴∠AOE＝∠COD，∴D选项说法是错误的，故选：D．【点睛】本题考查了垂线的定义，余角和补角的定义和性质，关键是掌握平角的度数是180°，余角和补角的性质．例2．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD：∠BOE=1：2，则∠AOE的大小为（　　）A．72° B．98° C．100° D．108°【答案】D【分析】根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE，根据邻补角的定义列出方程，解方程求出∠BOD，根据对顶角相等求出∠AOC，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设∠BOD＝x，∵∠BOD：∠BOE＝1：2，∴∠BOE＝2x，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE＝2x，∴x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，即∠BOD＝36°，∠COE＝72°，∴∠AOC＝∠BOD＝36°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝108°，故选：D．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，掌握对顶角相等、邻补角之和为180°是解题的关键．变式3．（2021·安徽合肥市·七年级期末）如果和互余，则下列式子中表示补角是（ ）①180°－；②＋2；③2＋；④＋90°A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】根据补角和余角的定义逐项判断即可．【详解】∵，∴是的补角，故①正确．∵互余，∴．∴是的补角，故②正确．∵互余，∴，∵无法判断的大小，∴无法判断是否为的补角，故③无法确定．∵互余，∴．∴是的补角，故④正确．综上可知：①②④正确．故选：A．【点睛】本题考查补角和余角的定义．掌握两个角互余，那么这两个角相加等于；两个角互补，那么这两个角相加等于是解答本题的关键．例3．（2021·北京海淀区·北大附中七年级期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互补的是（ ）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据图形，结合互补的定义判断即可．【详解】A、与相等，不互补，故本选项错误；B、与不互补，故本选项错误；C、与互余，故本选项错误；D、和互补，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．变式4．（2021·湖北随州市·七年级期末）如图，直线，交于点，射线平分，如果，那么等于（ ）A．38° B．37° C．36° D．52°【答案】A【分析】先根据已知条件求出∠AOC的度数，再根据OM平分∠AOC，即可得到∠MOC的值【详解】解：∵∴∠AOC =180°−104°=76°∵OM 平分∠AOC∴∠MOC==38°故选：A【点睛】本题主要考查了领补角及角平分线的定义，熟练掌握定义是解题的关键变式5.（2021·浙江嘉兴市·七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角板的直角顶点且与斜边相交，则与一定满足的数量关系是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直角和邻补角的定义列出关系式，从而利用等式的性质计算求解．【详解】解：由题意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°∴∠3=90°-∠1，∠3=180°-∠2∴90°-∠1=180°-∠2∴故选：D．【点睛】本题考查直角和邻补角的概念及等式的性质，掌握相关性质正确列关系式求解是关键．例4．（2021·江苏扬州市·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度数；（2）过点O作射线OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度数．【答案】（1）52°；（2）图见解析，26°或102°【分析】（1）依据OF⊥CD，∠BOF＝38°，可得∠BOD＝90°−38°＝52°，依据对顶角相等得到∠AOC＝52°；（2）分两种情况求解即可.【详解】（1）∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，∴∠BOD＝90°−38°＝52°，∴∠AOC＝52°；（2）由（1）知：∠BOD＝52°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°，此时∠GOE=∠BOF=38°，分两种情况：如图： 如图：此时∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；此时∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；综上：∠FOG的度数为26°或102°.【点睛】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的有关定义的应用，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合．变式6．（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O，射线OE在内部，OA平分．（1）当时，写出图中所有与互补的角．（2）当时，求的度数．【答案】（1）、、；（2）36°．【分析】（1）根据题意，由角平分线的定义，先求出，然后求出，即可得到答案；（2）根据角的比例，先求出，由角平分线的定义和对顶角定理，即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴，∵OA平分，∴，∴，∴，∴与互补的角有、、；（2）根据题意，∵，又∵，∴，∵OA平分，∴，∴；【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的定义，对顶角相等，以及平角的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，得到角的关系进行解题．知识点1-2 垂线的概念和性质1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ： = 1 \* GB3 ①必须强调在同一平面内； = 2 \* GB3 ②点可在直线外，也可在直线上。 （2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度例1．（2021·河南郑州·七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段AB和CD相交于点O，则下列条件中能说明AB⊥CD的是（ ）A．AO＝OB B．CO＝OD C．∠AOC＝∠BOD D．∠AOC＝∠BOC【答案】D【分析】根据题意证明∠AOC=90°即可．【详解】解：A.由OA＝OB只能得出O是AB的中点，故A选项错误；B.由OC＝OD只能得出O是CD的中点，故B选项错误；C.∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角始终是相等的，故C选项错误；D.∠AOC和∠BOC互补，当∠AOC＝∠BOC时，∠AOC＝180°÷2＝90°，∴CD⊥AB，故选项D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查垂直的定义，当两条线的夹角是90°时，两直线互相垂直，基本定义要牢记．也考查了对顶角和线段的中点．变式1．（2021·全国·七年级课时练习）下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有（ ）个．（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直．（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直．（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直．（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据两直线互相垂直定义对各选项进行一一判断与计算即可得出结论．【详解】解：（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直正确，符合题意；（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，设这两个角分别为α，β，根据题意α+β=180°，α=β，解得α=β=90°，则这两条直线互相垂直正确，符合题意；（3）两条直线相交，所成的四个角相等，设这四个角分别为α，β，γ，δ，根据题意α+β+γ+δ=360°，α=β=γ=δ，解得α=β=γ=δ=90°，这两条直线互相垂直正确符合题意；（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，设这组对角分别为α，β，根据题意α+β=180°，根据对顶角性质α=β，解得α=β=90°，则这两条直线互相垂直，判断两条直线垂直的方法正确的有四个．故选择A．【点睛】本题考查两直线互相垂直的识别，掌握两直线互相垂直的定义是解题关键．变式2．（2021·全国·七年级课时练习）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（ ）．A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角【答案】C【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可．【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．例2．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．【答案】130°或50°【分析】根据题意作出图形，根据垂直的定义，互余与互补的定义，分类讨论即可【详解】①如图， ， ， ②如图，， ，综上所述，或故答案为：130°或50°【点睛】本题考查了相交线所成角，对顶角相等，垂直的定义，求一个角的余角，补角，分类讨论是解题的关键．变式3．（2021·安徽·铜陵市第十五中学七年级期中）如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的2倍少，那么这两个角的和是__________．【答案】或【分析】设一个角为，另一个角为，根据两个角的两边分别垂直得到或，求得或，即可得解；【详解】设一个角为，另一个角为，∵两个角的两边分别垂直，∴或，解得：或，∴当时，，当时，，即：，，∴这两个角的和为或；故答案是：或．【点睛】本题主要考查了角的计算和垂线的定义，准确分析计算是解题的关键．例3．（2021·辽宁·营口市老边区教师进修学校七年级期中）平面内两条直线、相交于点，，恰好平分．（1）如图1，若，求数；（2）在图1中，若，请求出的度数（用含有的式子表示），并写出和的数量关系；（3）如图2，当，在直线的同侧时，和的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．【答案】（1）；（2），；（3）不变，【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可；（3）根据（1）（2）解答即可．【详解】（1），，平分，，，，；（2），，平分，，，，；；（3）不变，．【点睛】考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．变式4．（2021·江苏盱眙·七年级期末）如图，点O在直线AB上，OC． OD是两条射线，OC⊥OD，射线OE平分∠BOC．（1）若∠DOE＝140°，求∠AOC的度数．（2）若∠DOE＝α，则∠AOC＝　 　.（ 请用含α的代数式表示）；【答案】（1）80°；（2）360°-2α【分析】（1）根据OC⊥OD，∠DOE=140°可求出∠COE，再根据射线OE平分∠BOC．求出BOE，最后根据平角的意义求出答案；（2）利用（1）的方法，用代数式表示角度即可．【详解】解：（1）∵OC⊥OD，∠DOE=140°，∴∠COE=∠DOE-∠COD=140°-90°=50°，∵射线OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=50°，∴∠AOC=180°-∠COE-∠BOE=180°-50°-50°=80°；（2）∵OC⊥OD，∠DOE=α，∴∠COE=∠DOE-∠COD=α-90°，∵射线OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=α-90°，∴∠AOC=180°-∠COE-∠BOE=180°-（α-90°）-（α-90°）=360°-2α，故答案为：360°-2α．【点睛】本题考查了垂直、平角、直角的意义，根据图形得出各个角之间的关系是解决问题的关键．变式5．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，已知直线与相交于点为的角平分线．（1）求的度数；（2）求的度数．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由对顶角相等的性质得，再由，即可求出的度数；（2）先求出的度数，再由角平分线的性质得到的度数，即可求出的度数．【详解】解：（1），∴，∵，；（2）∵直线与相交于点O，，∴，为的角平分线，，．【点睛】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质．例4．（2021·全国·七年级单元测试）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索（回顾）（1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由（探索）（2）如图②，在村庄附件有一个生态保护区，现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，从村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点的位置（3）如图③，、是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且村到村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）连接AB交直线l于点C，点C即为所求作．（2）根据两点之间线段最短解决问题．（3）作AA′CD，且AA′＝1，连接BA′得到点C，作线段CD⊥河岸即可．【详解】（1）如图，点C即为所求作．理由：两点之间，线段最短.（2）如图，点C即为所求作．（3）如图，线段CD可即为所求作．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，垂线段最短，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．变式6．（2021·浙江湖州市·七年级期末）如图，汽车站、码头分别位于两点，直线b和波浪线分别表示公路与河流．（1）从汽车站A到码头B怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；（2）从码头B到公路b怎样走最近？画出最近路线，并说明理由．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【答案】（1）汽车站到码头走最近，见解析；（2）码头到公路走垂线段最近，见解析【分析】（1）连接AB，即得到最近路线；（2）过点B作于点C，即得到最近路线．【详解】解：（1）如图，汽车站到码头走最近，理由：两点之间线段最短；（2）如图，码头到公路走垂线段最近，理由：垂线段最短．【点睛】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握线段的性质和作图方法．变式7．（2021·浙江宁波市·七年级期末）（1）如图，过点A画直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．（2）线段 的长度是点A到直线BC的距离．（3）线段AG、AH的大小关系为AG AH．（用符号>，<，=，表示）．理由是 ．【答案】（1）见解析；（2）AG；（3）<，垂线段最短【分析】（1）利用三角板的两条直角边画图即可；（2）根据点到直线的距离的定义解答即可；（3）根据垂线段最短解答即可．【详解】解：（1）如图，（2）∵AG是BC的垂线，∴线段AG的长度是点A到直线BC的距离，故答案为：AG；（3）线段AG、AH的大小关系为AG ．【分析】（1）根据平行线的定义作图即可；（2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得.【解析】（1）如图，AE即为所求；（2）如图所示，AF即为所求，根据垂线段的性质知AE＞AF，故答案为：＞；【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．知识点1-5 平行线的判定1）判定方法一：同位角相等，两直线平行2）判定方法二：内错角相等，两直线平行3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。例1．（2021·汉中市南郑区初一期中）已知平面上五条直线，，，和相交的情形如图所示，根据图中标出的角度，下列叙述正确的是( )A．和不平行，和平行，和平行 B．和不平行，和不平行，和不平行C．和平行，和平行，和平行 D．和平行，和不平行，和不平行【答案】A【分析】根据平行线的判定定理即可．【解析】解：如下图：∠1=88°，∴∥（同位角相等，两直线平行）∵88°+92°=180°，∴∥（同旁内角互补，两直线平行）又∵92°+92°≠180°，∴和不平行，故答案为：A．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．变式1．（2021·山西期末）如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）A．° B． C． D．【答案】B【分析】据平行线的判定方法结合图形逐选项分析，找出正确选项．【解析】由，得∠A,∠2互补；由图得∠A,∠2是与AB、DF有关的同旁内角，据同旁内角互补，两直线平行得A选项能判定AB∥DF；由，得∠A,∠1相等；由图得∠A、∠1是与AC、DE有关的同位角，据同位角相等补，两直线平行得B选项能判定AC∥DE，不能判断AB∥DF；由，得∠1,∠4相等；由图得∠1、∠4是与AB、DF有关的内错角，据内角角相等，两直线平行得C选项能判定AB∥DF；由，得∠A,∠3相等；由图得∠A,∠3是与AB、DF有关同位角，据同位角相等，两直线平行得C选项能判定AB∥DF．综上分析，只有B选项不能判定AB∥DF．故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定．其关键是找准与要判定平行的直线有关的同位角、内错角、同旁内角，再判断它们相等或互补与否才能应用相关判定方法进行判定．例2．（2021·上海市市西初级中学初一期中）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行【答案】B【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．【解析】解：如图： ∵∠DPF=∠BAF，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定方法,熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．变式2．（2021·山西初一月考）工人师傅在工程施工时，在图纸上画了一条管道的示意图（如图所示），经测量得到，，那么（ ）A． B． C． D．与相交【答案】C【分析】根据平行线的判定条件判定即可；【解析】∵，，∴，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．例3．（2021·山西模拟）下列图形中，根据，能得到的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线的判定定理判定答案即可．【解析】解：A、∠1和∠2是同旁内角，∠1=∠2不能判定AB//CD，故错误；B、∠1的对顶角和∠2是同位角关系，∠1=∠2能够判定AB//CD，故正确；C、∠1与∠2是内错角，∠1=∠2能够判定AC//CD，故错误；D、∠1与∠2是同旁内角关系，∠1=∠2不能判定AB//CD，故错误．故选：B．【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．变式3．（2021·洛阳市第四职业高中期中）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2+∠4＝180°【答案】B【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【解析】A、当∠1＝∠3时，a∥b，内错角相等，两直线平行，故正确；B、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；C、当∠4＝∠5时，a∥b，同位角相等，两直线平行，故正确；D、当∠2+∠4＝180°时，a∥b，同旁内角互补，两直线平行，故正确．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．变式4．（2021·沈阳市第一二七中学初一期中）如图，下列条件：①；②；③；;⑤；其中能判断直线的有（ ）A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④【答案】D【分析】根据平行线的判定方法，对每一项进行分析判断即可解决.【解析】根据同为角相等两直线平行可以判断②，④正确；①非同位角非内错角无法判断直线平行，错误③，⑤非同旁内角，无法判断两直线平行.故选D.【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键：正确理解题意能够从图形中找到同位角、同旁内角、内错角，熟练掌握平行线的判定方法.变式5．（2020·江苏徐州市·七年级期末）如图，给出下列条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠B；④AD∥BE，且∠D=∠B．其中能说明AB∥DC的条件有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：,①正确；,②不正确；,③正确；,④正确；综上所述，①、③、④正确，故选B．知识点1-6 平行线的性质1）两直线平行，同位角相等; 2）两直线平行，内错角相等; 3）两直线平行，同旁内角互补注： = 1 \* GB3 ①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。 = 2 \* GB3 ②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。注：a.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；b.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一条直线，一定垂直于另一条平行线（易证）例1．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的度数为（　　　）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【分析】由∠3=∠1内错角相等得到上下两直线平行，进而得到∠2=∠5，再用180°减去∠5得到∠4即可求解．【详解】解：如下图所示：∵∠1=∠3，∴直线a∥直线b，∴∠2=∠5=60°，∴∠4=180°-∠5=180°-60°=120°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，属于基础题，熟练掌握平行线的性质定义和判定定理是解决本题的关键．变式1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）一把直尺与30°的直角三角板如图所示，，则（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】直接利用平行线的性质即可得到结论．【详解】如图所示，∵三角板是含30°角的直角三角板，∴∠3=60°，∵AB∥CD，∴∠2+∠1+∠3=180°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-50°-60°=70°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．例2．（2021·河北张家口·初三二模）如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则　　A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得：，，直线，，，．故选B.变式2．（2021·陕西初三其他）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读数为70°，OF与AB交于点E，那么∠AEF＝（　　）A．70° B．110° C．20° D．120°【答案】A【解析】【分析】由平行线的性质可得结论．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠COF＝70°，故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握基础知识是关键．例3．（2021·河北初三其他）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝122°，则∠2＝（　　）A．61° B．58° C．48° D．41°【答案】B【分析】由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠3的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2的度数．【解析】如图，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣122°＝58°．∵水中的两条折射光线平行，∴∠2＝∠3＝58°．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．变式3．（2021·山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该过程中始终等于（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】过点B作BG∥CD，由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°，从而证出BG∥CD∥AE，然后根据平行线的性质可得∠ABG=90°，=180°，从而求出结论．【解析】解：过点B作BG∥CD由题意可知：CD∥AE，∠BAE=90°∴BG∥CD∥AE∴∠ABG=180°－∠BAE=90°，=180°∴=∠ABG＋=270°故选D．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键．例4．（2021·深圳市高级中学初二月考）已知：如图，，则，，之间的关系是　　A． B． C． D．【答案】C【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【解析】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，，，，，，，又，，，即，故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．变式4．（2021·海安市白甸镇初级中学七年级月考）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )A．∠1＋∠2 B．∠2－∠1 C．180°－∠1＋∠2 D．180°－∠2＋∠1【答案】D【分析】先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠BCD=∠1，∵CD∥EF，∴∠DCE=180°-∠2，∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．故选D．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．例5．（2020·四川郫都·期末）如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（　　）A．180° B．270° C．360° D．450°【答案】C【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．【解析】过点D作DF∥AE，交AB于点F，∵AE∥BC，∴AE∥DF∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．变式5．（2021·河南沁阳·初一期末）已知，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得，同样的方法可得，再根据角的倍分可得，由此即可得出答案．【解析】如图，过点E作，则，，，同理可得：，，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．例6．（2021·山东新泰·七年级期末）（1）已知：如图1，．求证：（2）如图2，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点E作，则由平行线的性质可得，再由即可推出，即可判断，即可得到；（2）过点N作，交于点G，则由平行线的性质可得，，再由三角形外角的性质可得，即可推出，再由角平分线的定义，由此即可证明．【详解】解：（1）证明：如图1，过点E作． ∴，∵，（已知）， ∴（等量代换），∴（等式性质），∴，∵，∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）； （2）证明：过点N作，交于点G，如图2所示：则，∴，， ∵是的一个外角，∴，又∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确作出辅助线进行求解．变式6．（2021·湖北十堰·七年级期末）已知ABCD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG． （1）如图1，当点G在AB、CD之间时，请直接写出∠AEG、∠CFG与∠G之间的数量关系 ；（2）如图2，当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，求证：∠BEG –∠DFG＝90°；（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作直线HK交直线CD于K，使∠HEG与∠GEB互补，∠EKD的平分交与直线GE交于点L，请你判断FG与KL的位置关系，并证明．【答案】（1）∠G＝∠AEG＋∠CFG；（2）90°；（3）FGKL，见解析【分析】（1）过点G作，GH∥AB，则由平行线的性质可得∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，即可推出∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，再由AB∥CD，得到∠MND＝∠MEB，即可得到∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝90º；（3）先证明∠AEG＝∠HEG，从而得到∠BEL＝∠KEL＝∠BEK，再由角平分线的定义和平行线的性质即可得到∠ELK＝90º，从而可以利用同旁内角互补，两直线平行得证．【详解】解：（1）∠EGF＝∠AEG＋∠CFG，理由如下：如图所示，过点G作，GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH，∴∠AEG=∠EGH，∠CFG=∠FGH，∴∠AEG+∠CFG=∠EGH+∠FGH=∠EGF，∴∠EGF＝∠AEG＋∠CFG；（2）过点E作MN∥GF交CD于N，则∠GFN＝∠MND，∠G＝∠GEM＝90º，∵AB∥CD，∴∠MND＝∠MEB，∴∠BEG－∠DFG＝∠BEG－∠MEB＝∠GEM＝90º；（3） FG∥KL．理由如下：∵∠HEG＋∠GEB＝180º ，∠AEG＋∠GEB＝180º，∴∠AEG＝∠HEG，∵∠BEL＝∠AEG，∠HEG＝∠KEL，∴∠BEL＝∠KEL＝∠BEK，∵KL平分∠EKD，∴∠EKL＝∠EKD，∵AB∥CD，∴∠BEK＋∠EKD＝180º，∴∠KEL＋∠EKL＝(∠BEK＋∠EKD)＝90º，∴∠ELK＝90º，∵∠G＝90º，∴FG∥KL．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．知识点1-7 尺规作图例1．（2020·全国初一课时练习）尺规作图的工具是（ ）．A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规 C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规【答案】D【分析】根据尺规作图的定义作答．【解析】解：“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．故选：D．【点睛】本题考查了尺规作图的定义，解题的关键是掌握尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．变式1．（2020·山西初一期中）下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（ ）A．作，使 B．作，使C．以点为圆心，线段的长为半径作弧 D．以点为圆心作弧【答案】D【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，据此逐项分析即可．【解析】解：A. 作，使 ，此选项描述准确；B. 作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确；C. 以点为圆心，线段的长为半径作弧 ，此选项描述准确；D. 画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线．变式2．（2020·山西寿阳·期末）下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作④，∠DEF即为所求作的角．A．①表示点E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射线EF【答案】D【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可判断．【解析】尺规作图作一个角等于已知角作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；（2）作射线EG，并以点E为圆心OP长为半径画弧交EG于点D；（3）以点D为圆心PQ长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．所以A，B，C选项都错误，D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．例2．（2020·四川龙泉驿·初一期中）用直尺和圆规作∠HDG＝∠AOB的过程中，弧②是（　　）A．以D为圆心，以DN为半径画弧 B．以M为圆心，以DN长为半径画弧C．以M为圆心，以EF为半径画弧 D．以D为圆心，以EF长为半径画弧【答案】C【分析】根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．【解析】由题意弧②是以M为圆心，EF为半径画弧，故选：C．【点睛】此题主要考查根据作一个角等于已知角的步骤，熟练掌握，即可解题.变式3．（2020·山东薛城·初一期末）如图，已知与线段a，按下列步骤作图（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）；（1）作；（2）在的两边分别作；（3）连接MN． 【答案】见解析【分析】先以A为圆心，a为半径画弧，即可作∠A=∠1，则AM=AN=a；最后连接MN即可．【解析】解：如图所示：【点睛】本题考查作图—基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图的方法．变式4．（2020·泰兴市河头庄中学初三二模）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点（1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；（2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE．【答案】（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求；（2）连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC．根据平行线间的距离相等得到DF=EG，然后再分别表示出S△BCD和S△BCE即可证明．【解析】（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC∵DE//BC∴DF=EG ∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG,∴S△BCD＝S△BCE【点睛】本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键．变式5．（2020·上海市静安区实验中学单元测试）已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）【答案】见解析【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．