河南省商丘市梁园区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省商丘市梁园区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了试卷上不要答题，请用0等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分试题卷和答题卡两部分，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2.试卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3.答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义依次判断．
【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意；
B、，不是二次函数，不符合题意；
C、，是二次函数，符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．
2. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A. 至少有1个球是黑球B. 至少有1个球是白球
C. 至少有2个球是黑球D. 至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列举所有可能，即可求解．
【详解】解：一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，
可以是3个黑球，2个黑球和1个白球，1个黑球和2个白球，
∴至少有1个球是黑球，
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，根据题意列举所有可能是解题的关键．
3. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，可得 ，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能够用表示出是解题的关键．
4. 对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图像经过点（1，﹣3）
B. 图像位于第二、第四象限
C. 当x＜0时，y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵反比例函数，
∴当x＝1时，，故选项A不符合题意；
k＝﹣3，故该函数图像位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＜0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5. 如图，点A，B，C都⊙O上，若＝36°，则∠OAB＝（ ）
A. 18°B. 54°C. 36°D. 72°
【答案】B
【解析】
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，
∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
6. 如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A. 逆时针，30°B. 逆时针，105°C. 顺时针，30°D. 顺时针，105°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据旋转得出△ABC≌△DEC，可得∠ACB=∠DCE=75°，利用邻补角求出∠BCE=180°-∠DCE=105°，得出旋转角和旋转方向即可．
【详解】解∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=75°，
∴∠BCE=180°-∠DCE=105°，
∴△ABC绕点C旋转，顺时针旋转105°得到△DEC，
故选D．
【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等旋转，邻补角，掌握图形旋转，三角形全等旋转，邻补角是解题关键．
7. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：A、△=22-4×1×（-1）=8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（-2）2-4×1×1=0，则方程两个相等的实数根，所以B选项正确；
C、△=22-4×1×4=-12<0，则方程没有实数根，所以C选项错误；
D、△=（-2）2-4×2×（-4）=20>0，则方程有两个相等的实数根，所以D选项错误．
故选B．
8. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A. 1：2B. 1：4C. 1：3D. 1：9
【答案】A
【解析】
【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（ ）
A. B. 8C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G,设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4，求出DH=，由勾股定理求出 AH ，根据E为AD的中点，由勾股定理求得OA ,证明△DGC≅△AFB中，得DG=AF= 在Rt∆AFB中，根据锐角三角函数求出BF的长度，再得到 将代入y=，得k．
【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，
可知：∠DHA=∠DGC=∠BFA=90°
在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4,
∴DH=
AH=
∵E为AD的中点，
∴AE= ，
∴OE= ，
∴OA= ，
OH=HA-OA= ，
又四边形DHOG为矩形，
∴DG=HO= ，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠BCG=60°，
∴∠DCG=90°-60°=30°，
∴∠CDG=90°-30°=60°
又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°，
∵矩形ABCD中，AB=AC，
在△DGC和△AFB中， ，
∴△DGC≅△AFB，
∴DG=AF= ，
在Rt∆AFB中，
∵tan∠BAF= ，
∴BF=AFtan30°= ，
∴OF=OA+AF=2 ，
BF=3，
∴
将代入y=
得k= ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△DGC≅△AFB，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解．
10. 如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（ ）
A. （，）B. （，）C. （，）D. （，4）
【答案】C
【解析】
【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标即可．
【详解】解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，），
∴AE=，OE=2．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得AB=3，A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，
即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，
由勾股定理BF=，
∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．
【点睛】本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，对称轴为轴，即b=0，写出满足条件的函数解析式即可.
【详解】解：设函数表达式为y=ax2+bx+c，
∵图象的对称轴为y轴，
∴对称轴为x==0，
∴b=0，
∴满足条件的函数可以是：.（答案不唯一）
故答案是：y=x2（答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
12. 某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为，则口袋中红球的个数约为______ ．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据概率公式计算数量，解题的关键是熟练掌握概率公式，根据摸到红球的频率为得出摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算数量即可．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为，
∴摸到红球的概率为，
∴，
∴口袋中红球的个数约为12个．
故答案为：12．
13. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】先判断出函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14. 如图，在扇形中，已知，，过弧的中点C作，，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，则：，
∵C为弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴四边形为正方形，
由勾股定理，得：，即：，
∴，
即：正方形的面积为，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
15. 如图，是斜边的中线，，，点E、F在边上，连接，，且，若与相似，则线段的长为________．
【答案】或
【解析】
【分析】先由勾股定理求得，根据是斜边中线得到，进而得到，根据与相似， 得到或，所以分两种情况讨论：①若，则可得，即是直角三角形，利用的三角函数可求出的长，则求解即可；②若，则，即是直角三角形，通过解直角三角形求得，的长，利用求得的长，则求解．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵是斜边的中线，
，
，
∵与相似，且，
∴分两种情况讨论：① ；②；
①如图①，若，则，
∵在中，，
，
，
，
，
；

②如图②，若，
，又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．

综上所述，的长为或 ．
故答案为：或 ．
【点睛】本题考查三角形相似的性质，勾股定理，解直角三角形，三角函数的应用，解题的关键是分情况讨论相等的角．
三、解答题（共8题，共75分）
16. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）x1=1，x2=-3；
（2）x1=，x2=
【解析】
【分析】（1）根据配方法解方程；
（2）根据因式分解法解方程．
【小问1详解】
解：，
∴x2+2x+1=4，
（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x1=1，x2=-3；
【小问2详解】
，
（2x+3）（3x-2）=0
∴x1=，x2=．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法并根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键．
17. 共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18. 如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【解析】
【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
19. 如图，是的直径，点D在上，连接，过点O作，交于点E，连接并延长，交的延长线于点C，过点B作的切线，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，等角对等边，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边即可求得；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据勾股定理可得，根据切线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求得．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接，则，

，，
，．
是的切线，
，
，
，
，
，
即，
．
20. 要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水管的长度；
（3）当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？
【答案】（1）
（2）米
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是：
（1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题；
（3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：设，
点在此抛物线上，
，得，
即抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
答：水管的长度是；
【小问3详解】
当时，
，
解得，，（舍去），
当，才不会淋湿衣裳．
21. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数的图象都经过点A(2，-2).
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)尺规作图：在y轴正半轴上取一点B，使OB=OA，过点B作直线OA的平行线，与反比例函数的图象在第四象限内交于点C；
(3)在（2）的条件下，求点C的坐标.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）点C的坐标为
【解析】
【分析】（1）将点A坐标分别代入正比例函数与反比例函数解析式即可；
（2）根据要求尺规作图即可；
（3）求出直线BC的解析式，联立反比例函数解析式，求出符合题意的交点坐标即可.
【详解】解：（1）把点A(2，-2)代入正比例函数y=kx得：k= -1，∴y=-x，
把点A(2，-2)代入反比例函数得：m= -4;∴
（2）如图直线BC及点C即所求作；
（3）根据勾股定理，
∴OB=OA=，∴B
设直线BC的解析式为：y=ax+
∵BC∥OA ∴a= -1， ∴y=-x+
令，整理得：
解得：，
∵点C在第四象限，∴不合题意，舍去，
∴
∴点C的坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22. 如图，抛物线与x轴交于点和点B．与y轴交于点，连接，N是线段上方抛物线上一点，过点N作于M．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）求线段的最大值；
（3）若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由，
【答案】（1）抛物线解析式为，点B（-5，0）；（2）NM最大值为=；（3）存在，点P的坐标（0，-1）或（0，）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法点、点代入抛物线上，的方程组，解方程组求出，令y=0，解方程，即可求出点B（-5，0）；
（2）过N作ND∥y轴交BC于D，用待定系数法求BC解析式为：，由OB=OC=5，∠BOC=90°，可得△BOC为等腰三角形，∠OCB=45°，由可得∠NDM=∠OCB=45°，利用三角函数NM =，ND最大时，NM最大，设N（x, ）,D（x，），ND，由a=-1<0，当 时，ND有最大值=即可；
（3）存在，点P的坐标（0，-1）或（0，）．分类考虑，当点P在OC上，PC=AB时，△ABC≌△PCB（SAS），P（0，-1），当点P在y轴正半轴上，，当时，△ABC∽△PCB，点P（0，）即可．
【详解】解：（1）点、点在抛物线上，
代入抛物线得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
当y=0时，，因式分解得，
解得，
∴点B（-5，0）；
（2）设BC解析式为：，过点B（-5，0）和（0，-5），
代入得，
解得，
BC解析式为：，
∵OB=OC=5，∠BOC=90°，
∴△BOC为等腰三角形，
∴∠OCB=45°，
过N作ND∥y轴交BC于D，
∴∠NDM=∠OCB=45°，
又∵，
∴NM=ND×cs45°=，
∴ND最大时，NM最大，
设N（x, ）,D（x，），
ND=，
∵a=-1<0，
当 时，ND有最大值=，
∴NM最大值为=；
（3）存在，点P的坐标（0，-1）或（0，）．
当点P在OC上，PC=AB时，
在△ABC和△PCB中，
，
∴△ABC≌△PCB（SAS），
∴△ABC∽△PCB，
∵AB=-1+5=4，
∴PC=4，
∴OP=OC-PC=5-4=1，
P（0，-1），
当点P在y轴正半轴上，
∵，
当时，△ABC∽△PCB，
∴，
∴PO=PC-OC=，
点P（0，），
∴存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与相似，点P的坐标（0，-1）或（0，）．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形，特殊角锐角三角函数，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形，特殊角锐角三角函数，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键．
23. 如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．
（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：；
（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到，，依据同角的余角相等得到，然后依据可证明，最后，依据全等三角形的性质可得到；
（2）先判断出，即可得出结论；
（3）分为点在上和点在延长线上两种情况画出图形，然后再证明，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
【小问1详解】
解：和是等腰直角三角形，，
，，．
．
．
【小问2详解】
（1）中结论成立，理由：
在中，，
，
在中，，
，
．
，
，
．
；
【小问3详解】
①当点在上时，．
，
．
同（1）可证．
．
，
．
．
．
．
②当点在延长线上时，．
，
．
同（1）可证．
．
，
．
．
．
．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，分类讨论，属于压轴题．