2023-2024学年河南省商丘市梁园区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市梁园区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，第四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A. y=1x2B. y=x2+1x+1C. y=2x2−1D. y= x2−1
2.一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是( )
A. 至少有1个球是白色球B. 至少有1个球是黑色球
C. 至少有2个球是白球D. 至少有2个球是黑色球
3.已知a4=b3，则a−bb的值是( )
A. 34B. 43C. 3D. 13
4.对于反比例函数y=−3x，下列说法错误的是( )
A. 图象经过点(1,−3)B. 图象位于第二、第四象限
C. 当x<0时，y随x的增大而减小D. 当x>0时，y随x的增大而增大
5.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=36°，则∠OAB=( )
A. 18°
B. 54°
C. 36°
D. 72°
6.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为( )
A. 逆时针，30°B. 逆时针，105°C. 顺时针，30°D. 顺时针，105°
7.下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是( )
A. x2+2x−1=0B. x2−2x+1=0C. x2+2x+4=0D. x2−2x−4=0
8.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A. 1：2
B. 1：4
C. 1：3
D. 1：9
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO=30°，AD=4，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 8 3
B. 8
C. 6
D. 6 3
10.如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标(2, 5)，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为( )
A. (203,103)
B. (163,4 53)
C. (163,4 3)
D. (203,4 53)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：______．
12.某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中红球的个数约为______．
13.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，且x114.如图，在扇形AOB中，已知∠AOB=90°，OA=2 2，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中阴影部分的面积为______．
15.如图，CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB=10，BC=6，点E、F在边AC上，连接DE，DF，且∠DEF=∠B，若△DEF与△DBC相似，则线段CF的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程．
(1)x2+2x−3=0；
(2)6x2+5x−6=0．
17.(本小题9分)
共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是______；
(2)小沈从中随机抽取一张卡片(不放回)，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．(这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示)
18.(本小题9分)
如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，∠BCE=∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC：S△DEC=4：9，BC=6，求EC的长．
19.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接AD，过点O作OE/​/AD，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AD的延长线于点C，过点B作⊙O的切线，交OE的延长线于点F．
(1)求证：AC=AB；
(2)若AB=10，AD=6，求BF的长．
20.(本小题9分)
要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1m处达到最高，且最高为3m，水柱落地处离广场中央3m，建立如图所示的直角坐标系
(1)求抛物线的解析式；
(2)求水管的长度；
(3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5m的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？
21.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象都经过点A(2,−2)．
(1)分别求出这两个函数的表达式；
(2)尺规作图：在y轴正半轴上取一点B，使OB=OA，过点B作直线OA的平行线，与反比例函数的图象在第四象限内交于点C；
(3)在(2)的条件下，求点C的坐标．
22.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−5)，连接BC.N是线段BC上方抛物线上一点，过点N作NM⊥BC于M．
(1)求抛物线的解析式和点B的坐标；
(2)求线段NM的最大值；
(3)若点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1)如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD=∠ACE；
(2)如图2，若∠ADE=∠ABC=30°，问：(1)中的结论是否成立？请说明理由．
(3)在(1)的条件下，AB=6，AD=4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，请直接写出PB的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：y是x的二次函数的是y=2x2−1．
故选：C．
根据二次函数的定义对各选项进行判断即可．
本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量．
2.【答案】B
【解析】解：至少有1个球是白球是随机事件，故A选项不正确；
至少有1个球是黑球是必然事件，故B选项正确；
至少有2个球是白球是随机事件，故C选项不正确；
至少有2个球是黑球是随机事件，故D选项不正确；
故选B．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
3.【答案】D
【解析】解：∵a4=b3，
∴ab=43，
∴a−bb=ab−1=43−1=13．
故选：D．
根据a4=b3得出ab=43，再把要求的式子化成ab−1，然后进行计算即可得出答案．
4.【答案】C
【解析】解：∵反比例函数y=−3x，
∴当x=1时，y=−31=−3，故选项A不符合题意；
k=−3，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x<0，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
当x>0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=12∠AOB，∠ACB=36°，
∴∠AOB=2×∠ACB=72°．
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，
∴∠OAB=12(180°−∠AOB)=54°，
故选：B．
利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，
∴∠ACD=180°−∠ACB=180°−75°=105°，
∴旋转方向为顺时针，旋转角为105°，
故选：D．
根据旋转的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、△=22−4×(−1)=8>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=22−4×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B选项正确；
C、△=22−4×4=−12<0，方程没有实数根，所以C选项错误；
D、△=22−4×(−4)=20>0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选：B．
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC/​/EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=12，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，
故选：A．
根据位似图形的概念得到BC/​/EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似图形的概念和性质，以及相似三角形的性质．
9.【答案】D
【解析】
解：如图，作BE⊥x轴于点E，
∵∠AOE=30°，AE=DE=12AD=2，
∴OE=12AE=1，∠AEO=60°，
∴OA= 3，∠CEO=60°，
∴∠DCE=30°，
∴CE=2DE=4，
∴CD=2 3，
∴AB=2 3，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AE=12AD= 3，BE=3，
∴B的坐标为(2 3,3)，
∴k=2 3×3=6 3．
故选：D．
作BE⊥x轴于点E，根据有一个30°角的直角三角形的性质，求出各边的长，得B的坐标，即可求出k的值．
本题考查了反比例函数k的求法和解直角三角形，解题的关键是掌握一个30°角的直角三角形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，
∵A(2, 5)，
∴OC=2，AC= 5，
由勾股定理得，OA= OC2+AC2= 22+( 5)2=3，
∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，
∴OB=2OC=2×2=4，
由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，
∴sin∠ABO=sin∠O′BD，
∴ACAB=O′D′BO′
∴O′D=4 53，
BD= BO′2−DO′2= 42−(4 53)2=83，
∴OD=OB+BD=4+83=203，
∴点O′的坐标为(203,4 53).
故选：D．
过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
11.【答案】y=x2(答案不唯一)
【解析】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式为y=x2(答案不唯一)，
故答案为y=x2(答案不唯一)．
根据形如y=ax2+c的二次函数的性质直接写出即可．
本题考查了二次函数的性质．
12.【答案】12
【解析】【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用红球的频率乘以总球数求解．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：40×30%=12，所以口袋中红球的个数约为12个．
故答案为：12．
13.【答案】y2>y1>y3
【解析】解：∵反比例函数y=kx(k<0)的图象分布在第二、四象限，
在每一象限y随x的增大而增大，
而x1∴y3<0即y2>y1>y3．
故答案为：y2>y1>y3．
根据反比例函数性质，反比例函数y=kx(k<0)的图象分布在第二、四象限，则y3最小，y2最大．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了反比例函数的性质．
14.【答案】2π−4
【解析】解：连接OC，则：OC=OA=2 2，
∵C为弧AB的中点，
∴∠COA=∠COB，
∵∠AOB=90°，
∴∠COA=∠COB=45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∴四边形DOEC为矩形，∠OCD=90°−∠COA=45°，
∴OD=CD，
∴四边形DOEC为正方形，
由勾股定理，得：OD2+CD2=OC2，即：2OD2=8，
∴OD2=4，
即：正方形DOEC的面积为4，
∴阴影部分的面积=S扇形AOB−S正方形CDOE=90°π360∘×(2 2)2−4=2π−4；
故答案为：2π−4．
用扇形的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积．
本题考查求阴影部分的面积．解题的关键是利用割补法将阴影部分的面积转化为规则图形的面积．
15.【答案】74或258
【解析】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB=10，
∴CD=12AB=AD=BD=5，
∵BC=6，
∴AC= AB2−BC2=8，
当△DEF∽△DBC时，∠DEF=∠B，
∴∠EDF=∠BDC，∠DFE=∠DCB，
∵CD=BD，
∴DE=DF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴∠DFC=∠DEA，
∴△DFC≌△DEA(AAS)，
∴CF=AE，
∵∠DCA=∠A，∠DEF=∠B=∠DCB，∠A+∠B=90°，
∴∠DCA+∠DEF=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠ACB=90°，
∵∠DCE=∠A，
∴△DCE∽△CAB，
∴CEAB=CDAC，
∴CE10=58，
∴CE=254，
∴CF=AE=AC−CE=8−254=74；
当△DEF∽△BCD时，∠DFE=∠BDC，
∵∠DFE=∠FCD+∠FDC，∠BDC=∠FCD+∠A，
∴∠FDC=∠A，
∵∠DCF=∠ACD，
∴△DFC∽△ADC，
∴DCAC=CFCD，
∴58=CF5，
∴CF=258，
综上所述：CF的长为74或258．
故答案为：74或258．
当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD=5，利用勾股定理求出AC=8，证明△DFC≌△DEA(AAS)，可得CF=AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE=254，根据线段的和差即可求出CF的长；当△DEF∽△BCD时，∠DFE=∠BDC，证明△DFC∽△ADC，对应边成比例即可求出CF的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB．
16.【答案】解：(1)x2+2x−3=0，
(x−1)(x+3)=0，
则x−1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=−3；
(2)6x2+5x−6=0，
Δ=b2−4ac=25−4×6×(−6)=25+144=169>0，
则x=−5± 1692×6，
解得：x1=−32，x2=23．
【解析】(1)直接利用因式分解法解方程即可；
(2)直接利用公式法解方程得出答案．
此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．
17.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率为212=16．
【解析】本题考查了用树状图法求概率．
(1)根据概率公式直接得出答案；
(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：(1)∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，共享服务只有一张，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是14，
故答案为14；
(2)见答案；
18.【答案】解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB．
∵∠A=∠D，
∴在△ABC和△DEC中，
∵∠CAB=∠CDE，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC∽△DEC．
(2)∵△ABC∽△DEC，
∴S△ABCS△DEC=(CBCE)2=49．
又∵BC=6，
∴CE=9．
【解析】本题考查相似三角形的判定与判定．
(1)由两角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△DEC；
(2)由相似三角形的性质可得S△ABCS△DEC=(CBCE)2=49，即可求解．
19.【答案】(1)证明：∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵OE/​/AC，
∴∠C=∠OEB
∴∠ABC=∠C，
∴AC=AB．
(2)解：如图，连接BD，则∠ADB=90°，

∵AB=10，AD=6，
∴BO=5，BD= AB2−AD2=8．
∵BF是⊙O的切线，
∴∠OBF=∠ADB=90°，
∵OE/​/AC，
∴∠BOF=∠A，
∴△BOF∽△DAB，
∴BODA=BFBD，
即56=BF8，
∴BF=203．
【解析】(1)根据等边对等角可得∠OBE=∠OEB，根据平行线的性质可得∠C=∠OEB，推得∠ABC=∠C，根据等角对等边即可求得；
(2)连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，根据勾股定理可得BD=8，根据切线的性质可得∠OBF=∠ADB=90°，根据平行线的性质可得∠BOF=∠A，根据相似三角形的判定和性质可得BODA=BFBD，即可求得．
本题考查了等边对等角，平行线的性质，等角对等边，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设y=a(x−1)2+3，
∵点(3,0)在此抛物线上，
∴0=a(3−1)2+3，得a=−34，
即抛物线的解析式为y=−34(x−1)2+3；
(2)当x=0时，y=−34(0−1)2+3=214，
答：水管的长度是214m；
(3)当y=1.5时，
1.5=−34(x−1)2+3，
解得，x1=1+ 2，x2=1− 2(舍去)，
∴当0【解析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
(1)根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式；
(2)将x=0代入(1)中的函数解析式即可解答本题；
(3)将y=1.5代入(1)中的函数解析式，求出相应的x的值，再根据m>0，即可求得m的取值范围．
21.【答案】解：(1)把点A(2,−2)代入正比例函数y=kx得：k=−1，
∴y=−x，
把点A(2,−2)代入反比例函数y=mx得：m=−4；
∴y=−4x；
(2)如图，直线BC及点C即所求作；

(3)根据勾股定理，OA= 22+22=2 2，
∴OB=OA=2 2，
∴B(0,2 2)，
设直线BC的解析式为：y=ax+2 2，
∵BC/​/OA，
∴a=−1，
∴y=−x+2 2，
令y=−x+2 2=−4x，整理得：x2−2 2x−4=0，
解得：x1= 2+ 6，x2= 2− 6，
∵点C在第四象限，
∴x2= 2− 6<0(不合题意，舍去)，
∴y1=−( 2+ 6)+2 2= 2− 6，
∴点C的坐标为( 2+ 6, 2− 6)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)以O为圆心，OA长为半径画弧，交y轴于B，交反比例函数的图象于C；
(3)求得OA的长，即可求得B的坐标，由于BC/​/OA，即可得到直线BC的解析式为：y=−x+2 2，然后与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得C的坐标．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,−5)代入y=−x2+bx+c，
∴0=−1−b+cc=−5，
解得b=−6c=−5，
∴二次函数的解析式为：y=−x2−6x−5，
令−x2−6x−5=0，解得，x1=−5，x2=−1，
∴B(−5,0)；
(2)如图，过点N作NG⊥x轴与BC交于点G，

设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B(−5,0)，C(0,−5)分别代入得：
0=−k+mm=−5，解得，k=−1m=−5，
∴直线BC的解析式为y=−x−5，
∴NG=(−x2−6x−5)−(−x−5)=−x2−5x，
∴当x=−b2a=−52时，NG有最大值为254，
又∵MN= 22NG，
∴NM的最大值为25 28．
(3)存在，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时点P(0,−1)，(0,152)；理由如下：

∵C(0,−5)，
∴OC=5，
∵A(−1,0)，B(−5,0)，
∴OB=5，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠BAC<135°，即点P只能在点C上方的y轴上，
∴∠PCB=∠ABC=45°，
设P(0,a)，则a>−5，
∴AB=4，BC=5 2，CP=a+5，
∵以点B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，
∴①△PCB∽△ABC，
∴PC：AB=BC：BC=1，即(5+a)：4=1，
解得a=−1，
∴P(0,−1)；
②△BCP∽△ABC，
∴BC：AB=PC：BC，即5 2：4=(5+a)：5 2，
解得a=152，
∴P(0,152).
综上，以B，C，P为顶点的三角形与△ABC相似，此时P(0,−1)，(0,152).
【解析】(1)把点A和点C的坐标分别代入y=−x2+bx+c，求出b和c，再令y=0，可求出点B坐标；
(2)过点N作NG⊥x轴与BC交于点G，易得△MNG是等腰直角三角形，即MN= 22NG，求出NG的最大值即可；
(3)因为∠BAC<135°，即点P只能在点C上方的y轴上，又∠OBC=∠OCB=45°，所以分两种情况：①△PCB∽△ABC和②△BCP∽△ABC，分别讨论即可求解．
本题属于二次函数综合题，涉及的的知识有待定系数法求表达式，相似三角形的存在性等，(3)中先分析题目中的已知条件，发现点P只能在点C上方的y轴上且∠OBC=∠OCB=45°是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．
∴△ADB≌△AEC．
∴∠ABD=∠ACE．
(2)(1)中结论成立，理由：
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB= 3AC，
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
∴AD= 3AE，
∴ADAB=AEAC．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ADB∽△AEC．
∴∠ABD=∠ACE
(3)解：①当点E在AB上时，BE=AB−AE=AB−AD=2．
∵∠EAC=90°，
∴CE= AE2+AC2= 42+62=2 13．
同(1)可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴PBAC=BECE．
∴PB6=22 13．
∴PB=6 1313．
②当点E在BA延长线上时，BE=10．
∵∠EAC=90°，
∴CE= AE2+AC2= 42+62=2 13．
同(1)可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC．
∴PBAC=BECE．
∴PB6=102 13．
∴PB=30 1313．
综上所述，PB的长为6 1313或30 1313．
【解析】(1)依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；
(2)先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；
(3)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
此题是几何变换综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．