上海市崇明区2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份上海市崇明区2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【详解】依题意，.
2. 直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.
【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是.
故答案为：
3. 集合，，若，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集运算得出，再由并集运算求解.
【详解】若，则，，所以，所以．
故答案为：
4. 已知幂函数图像经过点，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再求出函数值作答.
【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即，
所以.
故答案为：
5. 已知方程两个根为，则_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用韦达定理计算作答.
【详解】显然方程有两个实根，它们为，则，
所以．
故答案为：2
6. 用反证法证明命题：“设x，．若，则或”吋，假设的内容应该是_____________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据给定条件，写出已知命题结论的否定作答.
【详解】命题若，则或”的结论是“或”，其否定为“且”，
所以假设的内容应该是：且.
故答案为：且
7. 已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性求解作答.
【详解】函数在上是严格减函数，依题意，，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
8. 若关于x的不等式的解集是R，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集是R，可得，解不等式可得答案.
【详解】关于x的不等式的解集是R，
则方程的判别式 ,解得，
即实数k的取值范围是，
故答案为：
9. 已知偶函数，，且当时，，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义直接计算作答.
【详解】R上的偶函数，当时，，
所以.
故答案为：19
10. 若则的最小值为_________.
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：由得，
所以（当且仅当即时，等号成立）
所以答案应填1.
考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.
11. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为，乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出常数，再解一元二次不等式作答.
【详解】依题意，，，即，
因此不等式为：，解得，
所以原不等式的解集为．
故答案为：
12. 已知函数的定义域为D，对于D中任意给定的实数x，都有，，且．则下列3个命题中是真命题的有_____________（填写所有的真命题序号）．
①若，则；
②若当时，取得最大值5，则当时，取得最小值；
③若在区间上是严格增函数，则在区间上是严格减函数．
【答案】①②
【解析】
【分析】根据给定条件，逐一验证各个命题在条件被满足时，结论是否成立作答.
【详解】对于①，，有，则，又，所以，①正确；
对于②，依题意，，，
则，，即当时，取得最小值，②正确；
对于③，，有，则，依题意，在上是严格减函数，
因此在上是严格增函数，即函数在上是严格增函数，③错误，
所以3个命题中是真命题的有①②.
故答案为：①②
二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）
13. 已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a2<－abB. |a|<|b|
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由特殊值法可以排除选项A,B,D，由指数函数的单调性可知选项C正确.
【详解】法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，，所以A，B，D不一定成立．因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以，所以一定成立，故选C.
法二：因为a>0>b，所以，所以一定成立，
故选：C.
【点睛】对于不等式的判定，我们常取特殊值排除法和不等式的性质进行判断，另外对于指数式，对数式，等式子的大小比较，我们也常用函数的单调性．
14. 函数的零点所在的区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理，可得答案.
【详解】，，，，，
由，则函数的零点存在的区间可以是，
故选：B.
15. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系.
【详解】解：关于的不等式的解集为，当时，不等式为，解集为，符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；当时，不等式化为，则，不符合题意；综上，
所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.
故选：C.
16. 设集合，，，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的，是的子集；命题：对任意的，不是的子集．下列说法正确的是（ ）
A. 命题是真命题，命题是假命题
B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题、都是真命题
D. 命题、都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题.
【详解】由于，即时，一定成立，故是子集，因此命题是真命题.
令，；
令，.从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题.
故选：A
三、解答题（本大题满分52分，本大题共有4题）
17. 解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法，直接求解即可；
（2）根据分式不等式的解法，等价于，再求解即可.
【详解】（1）由可得： ，
解得：或，
故解集为：
（2）由化简为：，
即，等价于，
解得，故解集为.
18. 已知全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围；
（3）若“”是“”的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出集合B，再利用并集、补集的定义求解作答.
（2）化简集合B，利用交集的结果列出不等式，求解作答.
（3）利用必要不充分条件的意义，结合集合的包含关系求解作答.
【小问1详解】
当时，，则，
所以.
【小问2详解】
，
因为，则或，解得或，
所以m的取值范围为．
【小问3详解】
因为“”是“”的必要不充分条件，则有，
由（2）知，或，解得或，因此，
所以实数m取值范围是.
19. 设常数，函数．
（1）若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）函数在区间上是严格减函数，理由见解析
（2）具体见解析
【解析】
【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性；
（2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可.
【小问1详解】
当，，
任取，有，所以
所以，
所以函数在区间上是严格减函数
【小问2详解】
①当时，，定义域为，故函数是偶函数；
②当时，，定义域为，
，故函数为奇函数；
③当且时，定义域为关于原点不对称，
故函数既不是奇函数，也不是偶函数，
所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数.
20. 某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1600万元的投资收益．该公司对科研课题组的奖励方案有如下3条要求：
①奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加；
②奖金不低于10万元且不超过200万元；
③奖金不超过投资收益的20%．
（1）设奖励方案函数模型为，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为：“恒成立”．请你用用数学语言表述另外两条奖励方案；
（2）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
（3）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求．在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？
【答案】（1）答案见解析；
（2）不符合； （3）195万元.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用函数单调性、值域的意义写出方案的前两个要求作答.
（2）根据给定函数，逐一判断方案中的3个要求是否都满足作答.
（3）根据给定的函数模型，求出a的取值范围，再求出最多可以获取的奖金作答.
【小问1详解】
“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加”可以表述为：当时，是的增函数；
“奖金不低于10万元且不超过200万元”表述为：函数值.
【小问2详解】
函数在上是增函数，，
函数的值域，
由得：，解得，因此对，不成立，
即对，不等式不恒成立，
所以函数不符合公司奖励方案函数模型的要求.
【小问3详解】
因为函数符合公司奖励方案函数模型要求，则函数在上增函数，有，
，，解得，
由，不等式恒成立，得，
显然，，当且仅当，即时取等号，
于是，解得，从而，
因此当，时，，当且仅当且时取等号，且，
所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.