2023-2024学年福建省上杭县九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省上杭县九年级上学期数学月考试题及答案，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，，两函数图象符合题意；，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. m<0
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
3. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的平移可直接进行求解．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
4. 抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（ ）
A. (﹣3，2)B. (3，2)C. (﹣3，﹣2)D. (3，﹣2)
【答案】B
【解析】
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
5. 已知等腰三角形的两边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】先把方程化为，可得，，再根据等腰三角形的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
6. 为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据月平均增长率为x，可知第二个月进馆人次为，第三个月进馆人次为，根据三个月进馆人次列方程即可．
【详解】解：由题意，第二个月进馆人次用含x的代数式表示为：，
第三个月进馆人次用含x的代数式表示为：，
∵到第三个月月末累计进馆6080人次，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是理解月平均增长率的含义．
7. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系可得，，再根据即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，，即：，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
8. 在同一坐标系内，函数和的图象大致如图（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】解：解：A、二次函数开口向下，；一次函数图象经过第一、三象限，，故此选项不符合题意；
B、二次函数开口向下，；一次函数图象经过第二、四象限，，两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，；一次函数图象经过第二、四象限，，故此选项不符合题意；
D、一次函数解析式为：，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
9. 若二次函数的图象的对称轴是的直线，则关于的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数对称轴的计算方法可求出的值，代入关于的方程，再运用因式分解法求解即可．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴是的直线，且，
∴对称轴，
∴，
∴关于的方程得，，整理得，
∴因式分解得，，
∴当时，；当时，；
∴关于的方程的解为，，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数对称轴的计算方法，因式分解解一元二次方程的方法，掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴为x＝1可判断①；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
【详解】解：∵对称轴为x＝1，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故选项①正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故选项③错误；
∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 一元二次方程x(x-2)=0的解是______.
【答案】x1=0，x2=2．
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可得解.
【详解】解：,
或,
故答案为
12. 某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有_______人．
【答案】
【解析】
【分析】设该小组有个人，根据互送照片的方法，每个人要送出张，由此列式解一元二次方程即可求解．
【详解】解：设该小组有个人，
∴，整理得，，
∴，
∴（不符合题意，舍去），，
∴该组有人，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的解决实际问题的方法是解题的关键．
13. 已知函数是关于的二次函数，则m的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键．
14. 二次函数的最小值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴当时，y最小，最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知把二次函数化为顶点式，顶点坐标的纵坐标即为该函数的最大值或最小值是解题的关键．
15. 若关于x的一元二次方程的两根是，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，，
，
故答案为：
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
16. 已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______．
【答案】1或
【解析】
【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；②不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可．
【详解】解：∵函数与x轴有两个交点，
∴，解得，
当k取最小整数时，，
∴抛物线为，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或） ：
①因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过，把代入得所以，
②与相切时，图象有三个交点，
，，解得．
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，17-21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，25题14分．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 解方程：2x2﹣4x﹣3＝0．
【答案】x＝
【解析】
【分析】用配方法解一元二次方程即可.
【详解】解：∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴2x2﹣4x=3，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
∴x﹣1=±，
∴x=．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.
19. 先化简，再求值：，其中x是方程的解．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解一元二次方程求出x，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【详解】解：
，
解方程，得，，
由题意得：x≠±1且x≠0，
当x＝2时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、一元二次方程的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20. 已知关于x的方程x2－2（k－3）x＋k2－4k－1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
【答案】（1）k≤5；（2）k1=3-，k2=3+；
【解析】
【详解】试题分析：（1）用根的判别式Δ=b2-4ac≥0，求出k的取值范围；（2）把x=1代入此方程，解关于k的方程即可得出结论．
试题解析：（1）若这个方程有实数根，则Δ=b2-4ac≥0，即[-2（k-3）]2-4（k2-4k-1）≥0，化简得：-8k+40≥0，-8k≥-40，所以 k≤5；（2）把x=1代入原方程得：1-2（k-3）+k2-4k-1=0，即k2-6k+6=0，解得：k=，即k1=3-，k2=3+．
考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．
21. 已知二次函数的图象经过两点，
（1）求二次函数解析式．
（2）判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）在二次函数图象上
【解析】
【分析】（1）根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
（2）将代入二次函数解析式中求出值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
小问1详解】
解：将、代入中，
得：，解得：，
该二次函数的解析式为．
【小问2详解】
当时，，
点在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
22. 在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【答案】（1）见解析；（2）105°
【解析】
【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS定理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠AEF+∠CAD．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等、三角形外角的性质等知识，其中全等三角形的判定与性质是本题的关键．
23. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
【答案】（1）
（2）能
【解析】
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把代入，求得y的值，与6作比较即可．
【小问1详解】
解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米，
∴设石块运行函数关系式为，由图象可知，抛物线过点，
把代入，得：，
解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，当时，，
∵，
∴能飞越防御墙．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键．
24. 为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？
（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，每销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是 （直接写出结果）．
【答案】（1）y＝﹣x+70，自变量x的取值范围1000≤x≤2500；见解析；（2）每天的最大销售利润是22500元；见解析；（3）20≤m≤40．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝kx+b，
把与代入y＝kx+b得，
，
解得：，
∴每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式为y＝﹣x+70，
当y≥45时，﹣x+70≥45，解得：x≤2500，
∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；
（2）根据题意得，
P＝，
∵﹣＜0，P有最大值，
当x＜1500时，P随x的增大而增大，
∴当x＝1500时，P的最大值为22500元，
答：每天的最大销售利润是22500元；
（3）由题意得，P＝，
∵对称轴为x＝，
∵1000≤x≤2500，
∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，
≥2500，
解得：m≥20，
∴m的取值范围是：20≤m≤40．
故答案为：20≤m≤40．
【点睛】本题主要考查的是一次函数与二次函数的综合应用，关键是根据题意得到一次函数表达式，然后根据条件得到关于利润与销量的二次函数表达式，进而利用二次函数的性质求最值．
25. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；（3）满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标代入解析式中列出二元一次方程组 ，解此方程组即可求得抛物线的解析式；
（2）结合图像可知△BDE和△BEF是等高的，，由此得出他们的面积比即为DE：EF＝2：3，分两种情况考虑，根据两点间的距离公式即可得出方程，解方程求得D点坐标；
（3）分情况分析△MBC为直角三角形时M的坐标即可.
【详解】（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，
即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x1＝ ，x2＝5（舍去），此时D点坐标（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，

设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及三角形面积公式的综合应用，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式，分类讨论思想的运用.