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2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高二上学期期中数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列的前n项和，则的值为
A．80B．40C．20D．10
【答案】C
【详解】试题分析：，．故选C．
【解析】已知数列的前项和，求项．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．90°C．180°D．不存在
【答案】B
【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.
【详解】因为直线与轴垂直，
所以直线的倾斜角为90°.
故选：B
3．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.
【详解】方程可化为：，
由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，
解得.
故选：C.
4．若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】抛物线为，焦点为，设，，，由有，所以，，故，选D.
5．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A．2，B．－2，C．，－3D．－2，－3
【答案】B
【分析】可分别令，求出相应的y和x的值，即为相应坐标轴上的截距.
【详解】令，解得：，即为y轴上截距；
令，解得：，即为x轴上截距.
故选B.
【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x轴、y轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.
6．设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知点在椭圆C上可得答案；方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，利用勾股定理、椭圆定义可得答案.
【详解】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，
点在椭圆C上，则，
将代入并化简得，
因为，解得.
方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，所以，，，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
7．已知双曲线，（，）F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端点，C是它的左顶点，直线与直线相交于点D，若双曲线的离心率为，则的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得，且，从而得到直线的方程，即可得到，再由余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为双曲线的离心率为，则，且，
由题意可得，，
即，
则直线的方程为，即，
则的斜率为，即，
因为，，所以，
则，，
则
.
故选：B
8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.
【详解】设，
因为，所以，
过点分别作准线于点，，
由抛物线定义可知，
由梯形中位线可知，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
故，
故，的最小值为.
故选：B
二、多选题
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.
【详解】由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
【答案】BCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线，
当时，点M的轨迹为两条射线，
当时，点M的轨迹为双曲线，
当时，点不存在，
故选：BCD
11．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可.
【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为；
若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故选：BD
12．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．若某等差数列的第2项为2，第5项为7，则该等差数列的公差为 ．
【答案】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由题意可知，
该等差数列的公差．
故答案为：
14．双曲线的焦距为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得出双曲线中的值，进而解出焦距.
【详解】解：因为双曲线的方程为，
所以，
所以，
故双曲线的焦距为.
故答案为：.
15．已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为 .
【答案】
【分析】化简直线方程为，联立方程组，求得点，将点代入抛物线方程，即可求解.
【详解】直线，可化为，
联立方程组，解得，即直线恒过点，
因为点在抛物线上，可得，解得.
故答案为：.
16．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【详解】如图，设，则，.
又由椭圆定义可得.
则在中，由余弦定理可得:
.
则，
则在由余弦定理可得：
.
又.
故答案为：
四、解答题
17．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
18．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式，结合抛物线定义即可求解，
（2）联立直线与抛物线方程可得，进而根据面积求解，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由题意知,
所以.
（2）由 (1) 知, 抛物线, 直线过,
可设直线的方程为,
联立
设,不妨设，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意设椭圆的方程为（），即可得到关于、、的方程组，解得、，即可得解；
（2）首先得到直线的方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，最后利用弦长公式计算可得.
【详解】（1）依题意设椭圆的方程为（），
则，解得，所以椭圆方程为.
（2）依题意直线的方程为，设、，
由，消去整理得，
则，所以，，
所以.
20．在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为,
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
21．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；
（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.
【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，
又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得即，所以，
所以双曲线C的方程为，即.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，
设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，
又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.
联立，消去x得，
则，得，
，，则，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，
所以直线BD过点F.
22．已知椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，点D在椭圆C上，的周长为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l经过点且斜率为k，与椭圆C交于不同的两点M，N，若，，（O为坐标原点）满足，判断k是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线的斜率为定值，该定值为
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由，求得k的值，即可得到结论．
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由题意可设直线的斜率为，则直线的方程为，
设，．
联立方程，消去得，
由根与系数的关系得，
由，得，
因为，则，
即，
则，
整理可得，
所以，
整理得，所以，
因为，所以，
故直线的斜率为定值，该定值为．
一、单选题
1．已知数列的前n项和，则的值为
A．80B．40C．20D．10
【答案】C
【详解】试题分析：，．故选C．
【解析】已知数列的前项和，求项．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．0°B．90°C．180°D．不存在
【答案】B
【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.
【详解】因为直线与轴垂直，
所以直线的倾斜角为90°.
故选：B
3．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化为双曲线的标准方程，再建立不等式求解即可.
【详解】方程可化为：，
由方程表示的焦点在y轴的双曲线，得，
解得.
故选：C.
4．若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】抛物线为，焦点为，设，，，由有，所以，，故，选D.
5．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A．2，B．－2，C．，－3D．－2，－3
【答案】B
【分析】可分别令，求出相应的y和x的值，即为相应坐标轴上的截距.
【详解】令，解得：，即为y轴上截距；
令，解得：，即为x轴上截距.
故选B.
【点睛】本题考查截距的求法，即直线分别与x轴、y轴交点的横坐标和纵坐标，根据坐标轴上点的特点将0代入即可.
6．设椭圆C：的半焦距为c，离心率为e，已知圆O：与C有四个公共点，依次连接这四点组成一个正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知点在椭圆C上可得答案；方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，利用勾股定理、椭圆定义可得答案.
【详解】方法1：连接这四点组成一个正方形，根据椭圆和圆的对称性知，
点在椭圆C上，则，
将代入并化简得，
因为，解得.
方法2：设圆O与椭圆C在第一象限的公共点为M,设C的左、右焦点为、，，，所以，，，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
7．已知双曲线，（，）F是左焦点，A、B分别是虚轴上、下两端点，C是它的左顶点，直线与直线相交于点D，若双曲线的离心率为，则的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得，且，从而得到直线的方程，即可得到，再由余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为双曲线的离心率为，则，且，
由题意可得，，
即，
则直线的方程为，即，
则的斜率为，即，
因为，，所以，
则，，
则
.
故选：B
8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.
【详解】设，
因为，所以，
过点分别作准线于点，，
由抛物线定义可知，
由梯形中位线可知，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
故，
故，的最小值为.
故选：B
二、多选题
9．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A．B．13C．D．19
【答案】BD
【分析】利用椭圆焦距的定义和性质即可求解.
【详解】由题知，
或，
解得或.
故选：BD
10．平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆B．一条直线C．两条射线D．双曲线
【答案】BCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线，
当时，点M的轨迹为两条射线，
当时，点M的轨迹为双曲线，
当时，点不存在，
故选：BCD
11．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可.
【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为；
若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故选：BD
12．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ）
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答．
【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则，离心率，B正确；
当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．若某等差数列的第2项为2，第5项为7，则该等差数列的公差为 ．
【答案】
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由题意可知，
该等差数列的公差．
故答案为：
14．双曲线的焦距为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得出双曲线中的值，进而解出焦距.
【详解】解：因为双曲线的方程为，
所以，
所以，
故双曲线的焦距为.
故答案为：.
15．已知直线过定点且该点在抛物线上，则的值为 .
【答案】
【分析】化简直线方程为，联立方程组，求得点，将点代入抛物线方程，即可求解.
【详解】直线，可化为，
联立方程组，解得，即直线恒过点，
因为点在抛物线上，可得，解得.
故答案为：.
16．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】如图，设，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.
【详解】如图，设，则，.
又由椭圆定义可得.
则在中，由余弦定理可得:
.
则，
则在由余弦定理可得：
.
又.
故答案为：
四、解答题
17．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
18．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为3，且点到焦点的距离为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式，结合抛物线定义即可求解，
（2）联立直线与抛物线方程可得，进而根据面积求解，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】（1）由题意知,
所以.
（2）由 (1) 知, 抛物线, 直线过,
可设直线的方程为,
联立
设,不妨设，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意设椭圆的方程为（），即可得到关于、、的方程组，解得、，即可得解；
（2）首先得到直线的方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，最后利用弦长公式计算可得.
【详解】（1）依题意设椭圆的方程为（），
则，解得，所以椭圆方程为.
（2）依题意直线的方程为，设、，
由，消去整理得，
则，所以，，
所以.
20．在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
(1)求圆C的方程；
(2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为,
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
21．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；
（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.
【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，
又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得即，所以，
所以双曲线C的方程为，即.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，
设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，
又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.
联立，消去x得，
则，得，
，，则，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，
所以直线BD过点F.
22．已知椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，点D在椭圆C上，的周长为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l经过点且斜率为k，与椭圆C交于不同的两点M，N，若，，（O为坐标原点）满足，判断k是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线的斜率为定值，该定值为
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设，，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由，求得k的值，即可得到结论．
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的方程为．
（2）由题意可设直线的斜率为，则直线的方程为，
设，．
联立方程，消去得，
由根与系数的关系得，
由，得，
因为，则，
即，
则，
整理可得，
所以，
整理得，所以，
因为，所以，
故直线的斜率为定值，该定值为．
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