河北省石家庄市元氏县第四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份河北省石家庄市元氏县第四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了满分等内容，欢迎下载使用。

1.（单选题.5分）已知z=（2-3i）（1-i）.则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.（单选题.5分）已知 a，b 是两个不共线的向量.且向量 b+ma，a−3b 共线.则实数m的值为（ ）
A.3
B.-3
C. 13
D. −13
3.（单选题.5分）在△ABC中.已知A=75°.B=45°.AC=4.则AB的长为（ ）
A. 6
B.2
C. 43
D. 26
4.（单选题.5分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为若 ba=1−csBcsA .则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
5.（单选题.5分）下列说法正确的是（ ）
A.如果一条直线上的某一点在平面α内.那么这条直线也在平面α内
B.如果两条直线与同一个平面所成的角相等.那么这两条直线互相平行
C.如果两条直线与同一条直线垂直.那么这两条直线互相垂直
D.如果两条直线与同一条直线平行.那么这两条直线互相平行
6.（单选题.5分）如图.向量 b−a 等于（ ）
A. e1−3e2
B. −4e1−2e2
C. −2e1−3e2
D. −e1+3e2
7.（单选题.5分）已知一个圆锥的底面积为π.侧面积为2π.则该圆锥的体积为（ ）
A. 86π
B. 46π
C. 3π3
D. 22π3
8.（单选题.5分）如图.无人机在离地面高200m的A处.观测到山顶M处的仰角为15°.山脚C处的俯角为45°.已知∠MCN=60°.则山的高度MN为（ ）
A.150 3 m
B.200 3 m
C.300 3 m
D.300m
9.（多选题.5分）已知i是虚数单位.则下列说法正确的有（ ）
A.i2021=-i
B.“a=0”是“复数a+bi（a.b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件
C.若复数z=a+i（a∈R）.且|z|=2.则 a=3
D.若复数z满足2z+ z =3-2i.则复数z的虚部为-2
10.（多选题.5分）设向量 a=x1，y1 ， b=x2，y2 .定义运算： a⊗b=x1x2−y1y2 ．则下列说法正确的是（ ）
A.（csα.sinα）⊗（csα.-sinα）=1
B.（sinα.csα）⊗（csβ.sinβ）=sin（α-β）
C. a⊗b c=b⊗c a
D. a⊗b+c=a⊗b+a⊗c
11.（多选题.5分）如图.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.则下列结论错误的是（ ）
A.直线A1C1与BD1为异面直线
B.直线BB1与平面ACD1平行
C.将形状为正方体ABCD-A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件.可能制作的最大零件的表面积为16π
D.若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面）.则从A点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是 4+2π2
12.（多选题.5分）设△ABC的内角A.B.C所对的边为则下列命题正确的有（ ）
A.若a2+b2-ab＜c2.则 0＜C＜π3
B.若ab＞c2.则 0＜C＜π3
C.若a+b＞2c.则 0＜C＜π3
D.若a4+b4=c4.则 0＜C＜π2
13.（填空题.5分）若复数z=（m+2）+（m2-9）i（m∈R）是正实数.则实数m的值为 ___ ．
14.（填空题.5分）圆锥的半径为2.高为2.则圆锥的侧面积为 ___ ．
15.（填空题.5分）已知a.b.c分别为△ABC三个内角A.B.C的对边.a= 6 .b= 3 +1.C=45°.则A=___ ．
16.（填空题.5分）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.E是BC的中点.F是C1D的中点.P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：
① CD⊥PE
② EF || 平面ABC1
③ VP−A1DD1=VD1−ADE
④ 不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是___ （写出所有正确命题的序号）．
17.（问答题.10分）已知复数z=m2-4m-12+（m2-4）i.其中m∈R．
（1）若z为纯虚数.求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第一象限.求m的取值范围．
18.（问答题.12分）已知向量 a=1，b=2 ．
（1）若向量 a，b 的夹角为120°.求 a•b 的值；
（2）若 a+b=5 .求 2a−3b 的值；
（3）若 a•a−b=0 .求 a，b 的夹角．
19.（问答题.12分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知a2=bcsC+ccsB．
（1）求a；
（2）若 A=π3 .△ABC的面积为 34 .求△ABC的周长．
20.（问答题.12分）如图.在三棱锥P-ABC中.∠PAC=90°.AB=BC.E.F分别为AC.PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA || 平面BEF；
（Ⅱ）求证：AC⊥BF．
21.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中（底面△ABC为正三角形）.A1A⊥平面ABC.AB=AC=2. AA1=3 .D是BC边的中点．
（1）证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C．
（2）求点B到平面ADB1的距离．
22.（问答题.12分）在△ABC中.A为钝角.（b2+c2-a2）•tanA= 3 bc.
（1）求A；
（2）再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知.使△ABC存在且唯一确定.求BC边上高线的长．
条件 ① ：C=3B；
条件 ② ：a=7. sinBsinC=53 ．
2021-2022学年河北省石家庄市元氏四中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分）已知z=（2-3i）（1-i）.则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【正确答案】：C
【解析】：化简z.求出z在复平面内对应的点的坐标.求出答案即可．
【解答】：解：z=（2-3i）（1-i）=2-2i-3i+3i2=-1-5i.
故z在复平面内对应的点是（-1.-5）.在第三象限.
故选：C．
【点评】：本题考查了复数的运算.考查转化思想.是基础题．
2.（单选题.5分）已知 a，b 是两个不共线的向量.且向量 b+ma，a−3b 共线.则实数m的值为（ ）
A.3
B.-3
C. 13
D. −13
【正确答案】：D
【解析】：根据条件.可得存在实数λ.使得 b+ma =λ（ a−3b ）（λ≠0）.然后解方程.求出实数m的值．
【解答】：解：∵ a，b 是两个不共线的向量.且向量 b+ma，a−3b 共线.
∴存在实数λ.使得 b+ma =λ（ a−3b ）（λ≠0）.
∴ m=λ1=−3λ .解得m=λ=- 13 ．
∴实数m的值为- 13 ．
故选：D．
【点评】：本题考查向量共线的性质.考查运算求解能力.是基础题．
3.（单选题.5分）在△ABC中.已知A=75°.B=45°.AC=4.则AB的长为（ ）
A. 6
B.2
C. 43
D. 26
【正确答案】：D
【解析】：求出C.根据正弦定理求出AB的值即可．
【解答】：解：∵A=75°.B=45°.∴C=60°.
又AC=4.
∴AB= 4sin60°sin45° =2 6 .
故选：D．
【点评】：本题考查了正弦定理的应用.解三角形问题.是基础题．
4.（单选题.5分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为若 ba=1−csBcsA .则△ABC的形状是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
【正确答案】：C
【解析】：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解．
【解答】：解：由正弦定理得 ba=1−csBcsA = sinBsinA .
整理得sinA=sinAcsB+sinBcsA=sin（A+B）=sinC.
所以A=C．
故△ABC的形状是等腰三角形．
故选：C．
【点评】：本题主要考查了正弦定理及和差角公式的应用.属于基础题．
5.（单选题.5分）下列说法正确的是（ ）
A.如果一条直线上的某一点在平面α内.那么这条直线也在平面α内
B.如果两条直线与同一个平面所成的角相等.那么这两条直线互相平行
C.如果两条直线与同一条直线垂直.那么这两条直线互相垂直
D.如果两条直线与同一条直线平行.那么这两条直线互相平行
【正确答案】：D
【解析】：根据空间两直线的位置关系的定义逐一对选项进行判断即可．
【解答】：解：如果一条直线上的某一点在平面α内.那么这条直线与平面α相交或在平面α内.A不正确；
如果两条直线与同一个平面所成的角相等.那么这两条直线的位置关系不确定.B不正确；
如果两条直线与同一条直线垂直.那么这两条直线可能相交.平行或异面.C不正确；
由平行公理可知.如果两条直线与同一条直线平行.那么这两条直线互相平行.D正确；
故选：D．
【点评】：本题考查了空间中直线与直线间的位置关系.属于基础题．
6.（单选题.5分）如图.向量 b−a 等于（ ）
A. e1−3e2
B. −4e1−2e2
C. −2e1−3e2
D. −e1+3e2
【正确答案】：A
【解析】：可设 BC=b，AC=a .从而可得出 b−a=BA=e1−3e2 ．
【解答】：解：如图.设 BC=b，AC=a .
∴ b−a=BC−AC=BC+CA=BA = e1−3e2 ．
故选：A．
【点评】：本题考查了向量、向量加法和向量数乘的几何意义.相反向量的定义.考查了计算能力.属于基础题．
7.（单选题.5分）已知一个圆锥的底面积为π.侧面积为2π.则该圆锥的体积为（ ）
A. 86π
B. 46π
C. 3π3
D. 22π3
【正确答案】：C
【解析】：由条件底面积和侧面积建立方程.求出圆锥的底面半径和侧棱.再求出高.然后再求体积．
【解答】：解：设圆锥的底面半径、高、母线长分别为
则 πr2=π，πrl=2π， 解得 r=1，l=2． 所以 ℎ=3 ．
圆锥的体积 V=13Sℎ=13×π×12×3=3π3
故选：C．
【点评】：本题主要考查锥体体积的计算.空间想象能力的培养.属于基础题．
8.（单选题.5分）如图.无人机在离地面高200m的A处.观测到山顶M处的仰角为15°.山脚C处的俯角为45°.已知∠MCN=60°.则山的高度MN为（ ）
A.150 3 m
B.200 3 m
C.300 3 m
D.300m
【正确答案】：D
【解析】：在Rt△ABC中求得AC的值.△ACM中求得MC的值.Rt△MNC中即可求得MN的值．
【解答】：解：如图.由A点向地面引垂线.交地面于B点.
Rt△ABC中.∠ACB=45°.AB=200.
∴AC=200 2 .
又△ACM中.∠MAC=15°+45°=60°.
∴∠ACM=180°-60°-45°=75°.
∴∠AMC=180°-75°-60°=45°.
∴ MCsin60° = 2002sin45° .
解得MC= 2002×3222 =200 3 .
Rt△MNC中.∠MCN=60°.
∴MN=MCsin60°=200 3 × 32 =300.
则山的高度MN为300m.
故选：D．
【点评】：本题考查了三角形边角关系的应用问题.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．
9.（多选题.5分）已知i是虚数单位.则下列说法正确的有（ ）
A.i2021=-i
B.“a=0”是“复数a+bi（a.b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件
C.若复数z=a+i（a∈R）.且|z|=2.则 a=3
D.若复数z满足2z+ z =3-2i.则复数z的虚部为-2
【正确答案】：BD
【解析】：根据已知条件.结合复数的运算法则.以及复数的性质.即可求解．
【解答】：解：对于A.i2021=（i4）505•i=i.故A错误.
对于B.若复数a+bi是纯虚数.
则a=0且b≠0.
故”a=0”是“复数a+bi（a.b∈R）是纯虚数”的必要不充分条件.故B正确.
对于C.∵复数z=a+i（a∈R）.且|z|=2.
∴ a2+1=2 .解得 a=±3 .故C错误.
对于D.设z=a+bi（a.b∈R）.
则2（a+bi）+a-bi=3-2i.即 3a=3b=−2 .
故复数z的虚部为-2.故D正确．
故选：BD．
【点评】：本题主要考查复数的运算法则.以及复数的性质.属于基础题．
10.（多选题.5分）设向量 a=x1，y1 ， b=x2，y2 .定义运算： a⊗b=x1x2−y1y2 ．则下列说法正确的是（ ）
A.（csα.sinα）⊗（csα.-sinα）=1
B.（sinα.csα）⊗（csβ.sinβ）=sin（α-β）
C. a⊗b c=b⊗c a
D. a⊗b+c=a⊗b+a⊗c
【正确答案】：ABD
【解析】：根据题意.依次分析选项是否正确.即可得答案．
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.（csα.sinα）⊗（csα.-sinα）=cs2α+sin2α=1.A正确.
对于B.（sinα.csα）⊗（csβ.sinβ）=sinαcsβ-csβsinβ=sin（α-β）.B正确.
对于C. a⊗b=x1x2−y1y2 ．则 a ⊗ b 是实数.则（ a ⊗ b ） c 与 c 共线.而（ b ⊗ c ） a 与 a 共线.两者不一定相等.C错误.
对于D.设 c =（x3.y3）. a ⊗（ b + c ）=x1（x2+x3）-y1（y2+y3）=x1x2-y1y2+x1x3-y1y3= a ⊗ b + a ⊗ c .D正确.
故选：ABD．
【点评】：本题向量的坐标计算.关键是理解则 a ⊗ b 的计算规则.属于基础题．
11.（多选题.5分）如图.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.则下列结论错误的是（ ）
A.直线A1C1与BD1为异面直线
B.直线BB1与平面ACD1平行
C.将形状为正方体ABCD-A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件.可能制作的最大零件的表面积为16π
D.若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面）.则从A点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是 4+2π2
【正确答案】：BC
【解析】：根据题意.由正方体的几何结构.依次分析选项.综合可得答案.
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.直线A1C1与BD1既不平行也不相交.是异面直线.A正确；
对于B.BB1 || DD1.而直线DD1与平面ACD1相交.故直线BB1与平面ACD1也相交.B错误；
对于C.将形状为正方体ABCD-A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件.当球的半径为棱长一半.即其半径为1时.球的表面积最大.其表面积最大值S=4π×12=4π.C错误；
对于D.从A点沿圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离.即其最短距离d= 4+2π2 .D正确；
故选：BC．
【点评】：本题考查空间直线与平面的位置关系以及正方体的几何结构.涉及旋转体表面最短距离的计算.属于基础题．
12.（多选题.5分）设△ABC的内角A.B.C所对的边为则下列命题正确的有（ ）
A.若a2+b2-ab＜c2.则 0＜C＜π3
B.若ab＞c2.则 0＜C＜π3
C.若a+b＞2c.则 0＜C＜π3
D.若a4+b4=c4.则 0＜C＜π2
【正确答案】：BCD
【解析】：由余弦定理及基本不等式逐一分析四个选项得答案．
【解答】：解：由a2+b2-ab＜c2.得a2+b2-c2＜ab.
则csC= a2+b2−c22ab ＜ab2ab=12 .
∵C∈（0.π）.∴ π3 ＜C＜π.故A错误；
由ab＞c2.
得csC= a2+b2−c22ab ＞ a2+b2−ab2ab ≥ 2ab−ab2ab=12 .当且仅当a=b时等号成立．
∵C∈（0.π）.∴0＜C＜ π3 .故B正确；
∵c2=a2+b2-2ab•csC.且2c＜a+b.
∴4c2=4（a+b）2-8ab（1+csC）＜（a+b）2.
得3（a+b）2＜8ab（1+csC）.∴8ab（1+csC）＞12ab.
∴csC＞ 12 .
∵C∈（0.π）.∴0＜C＜ π3 .故C正确；
由a4+b4=c4.得（a2+b2）2=a4+2a2b2+b4=2a2b2+c4＞c4.
∴a2+b2＞c2.得csC= a2+b2−c22ab ＞0.
∵C∈（0.π）.∴0＜C＜ π2 .故D正确．
故选：BCD．
【点评】：本题考查余弦定理及基本不等式的应用.考查运算求解能力.是中档题．
13.（填空题.5分）若复数z=（m+2）+（m2-9）i（m∈R）是正实数.则实数m的值为 ___ ．
【正确答案】：[1]3
【解析】：利用复数的代数形式求解即可．
【解答】：解：∵复数z=（m+2）+（m2-9）i（m∈R）是正实数.
∴ m+2＞0m2−9=0 .∴m=3.
故答案为：3．
【点评】：本题考查复数代数形式的应用.是基础题．
14.（填空题.5分）圆锥的半径为2.高为2.则圆锥的侧面积为 ___ ．
【正确答案】：[1]4 2 π
【解析】：先算出母线长.就可以算圆锥侧面积．
【解答】：解：如图.
圆锥的母线 I=ℎ2+r2=22 .
圆锥的侧面展开图为扇形.
故侧面积为 S=πrl=42π .
故答案为： 42π ．
【点评】：本题考查了圆锥的侧面积的计算.属于基础题．
15.（填空题.5分）已知a.b.c分别为△ABC三个内角A.B.C的对边.a= 6 .b= 3 +1.C=45°.则A=___ ．
【正确答案】：[1]60°
【解析】：由三角形的余弦定理可得c.再由正弦定理可得sinA.由三角形的边角关系可得A．
【解答】：解：由a= 6 .b= 3 +1.C=45°.可得c2=a2+b2-2abcsC=6+4+2 3 -2 6 ×（1+ 3 ）× 22 =4.
即有c=2.
由 csinC = asinA 可得sinA= asinCc = 6×222 = 32 .
由于a＜b.所以A为锐角.则A=60°.
故答案为：60°．
【点评】：本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用.考查方程思想和运算能力.属于基础题．
16.（填空题.5分）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.E是BC的中点.F是C1D的中点.P是棱CC1所在直线上的动点．则下列四个命题：
① CD⊥PE
② EF || 平面ABC1
③ VP−A1DD1=VD1−ADE
④ 不存在过P的直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是___ （写出所有正确命题的序号）．
【正确答案】：[1] ① ③
【解析】：根据标榜的结构特征.结合线面垂直的判定与性质.面面平行的判定与性质.锥体的体积公式.直线与平面的夹角等知识点.分别判断4个结论的真假.可得答案．
【解答】：解：在 ① 中：∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.E是BC的中点.F是C1D的中点.P是棱CC1所在直线上的动点.
∴CD⊥平面ECC1.又PE⊂平面ECC1.∴CD⊥PE.故 ① 正确；
在 ② 中：EF⊂平面EC1D.延长C1E与B1B交于H.连接DH.得DH平行于EF.
DH与平面ABC1相交.故 ② EF || 平面ABC1不正确；
在 ③ 中： VP−A1DD1 = 16 VABCD−A1B1C1D1 . VD1−ADE = 16 VABCD−A1B1C1D1 .
故 ③ VP−A1DD1=VD1−ADE 正确；
在 ④ 中：过P做一条与以ABCD为底面的正方体的对角线平行的直线.
则该直线与正四棱柱的各个面都成等角．故 ④ 不正确；
故正确命题的序号为： ① ③ ．
故答案为： ① ③ ．
【点评】：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质.面面平行的判定与性质.锥体的体积公式.直线与平面的夹角.是立体几何知识的综合考查.是中档题．
17.（问答题.10分）已知复数z=m2-4m-12+（m2-4）i.其中m∈R．
（1）若z为纯虚数.求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第一象限.求m的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件.结合纯虚数的定义.即可求解．
（2）根据已知条件.结合复数的几何意义.即可求解．
【解答】：解：（1）∵z=m2-4m-12+（m2-4）i且z为纯虚数.
∴ m2−4m−12=0m2−4≠0 .解得m=6．
（2）∵z在复平面内对应的点在第一象限.
∴ m2−4m−12＞0m2−4＞0 .解得m＜-2或m＞6.
故m的取值范围为（-∞.-2）∪（6.+∞）．
【点评】：本题主要考查纯虚数的定义.以及复数的几何意义.属于基础题．
18.（问答题.12分）已知向量 a=1，b=2 ．
（1）若向量 a，b 的夹角为120°.求 a•b 的值；
（2）若 a+b=5 .求 2a−3b 的值；
（3）若 a•a−b=0 .求 a，b 的夹角．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据平面向量数量积的定义.即可得解；
（2）将 a+b=5 两边平方.可推出 a•b =0.再由 2a−3b = 2a−3b2 .结合平面向量数量积的运算法则展开运算.即可；
（3）由 a•a−b=0 .可得 |a|2 -| a |•| b |cs＜ a . b ＞=0.代入数据运算即可．
【解答】：解：（1） a•b =| a |•| b |cs120°=1×2×（- 12 ）=-1；
（2）因为 a+b=5 .
所以 a+b2 =5.即 |a|2 +2 a•b + |b|2 =5.所以1+2 a•b +4=5.解得 a•b =0.
所以 2a−3b = 2a−3b2 = 4a2−12a•b+9b2 = 4×1−0+9×4 =2 10 ；
（3）因为 a•a−b=0 .
所以 a2 - a • b = |a|2 -| a |•| b |cs＜ a . b ＞=0.
即1-1×2×cs＜ a . b ＞=0.
所以cs＜ a . b ＞= 12 .即＜ a . b ＞= π3 .
故 a，b 的夹角为 π3 ．
【点评】：本题考查平面向量的混合运算.熟练掌握平面向量数量积的运算法则和模长的计算方法是解题的关键.考查逻辑推理能力和运算能力.属于基础题．
19.（问答题.12分）△ABC的内角A.B.C的对边分别为已知a2=bcsC+ccsB．
（1）求a；
（2）若 A=π3 .△ABC的面积为 34 .求△ABC的周长．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据已知条件.结合正弦定理.以及三角形的性质.即可求解．
（2）根据已知条件.结合余弦定理.以及三角形面积公式.即可求解．
【解答】：解：（1）∵a2=bcsC+ccsB.
∴由正弦定理可得.asinA=sinBcsC+sinCcsB=sin（B+C）=sinA.
∵A∈（0.π）.
∴sinA≠0.
∴a=1．
（2）∵△ABC的面积为 34 .
∴ 12bcsinA=34 .解得bc=1.
由余弦定理可得.a2=b2+c2-2bc•csA=（b+c）2-3bc=（b+c）2-3.
∴b+c=2.
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2=3．
【点评】：本题主要考查解三角形.掌握正弦定理.余弦定理是解本题的关键.属于基础题．
20.（问答题.12分）如图.在三棱锥P-ABC中.∠PAC=90°.AB=BC.E.F分别为AC.PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA || 平面BEF；
（Ⅱ）求证：AC⊥BF．
【正确答案】：
【解析】：（1）用线面平行的判定定理进行证明；
（2）先由条件证明AC⊥平面BEF.然后由线面垂直的定义可证结论．
【解答】：证明：（1）因为E.F分别为AC.PC的中点.
所以EF || PA.
因为PA⊄平面BEF.EF⊂平面BEF.
所以PA || 平面BEF．
（2）因为∠PAC=90°.所以PA⊥AC.
又因为PA || EF.所以EF⊥AC.
因为AB=BC.E为AC的中点.
所以BE⊥AC.
又BE∩EF=E.
所以：AC⊥平面BEF.
因为BF⊂平面BEF.
所以：AC⊥BF．
【点评】：本题考查了用线面平行.线面垂直的判定定理证明平行垂直关系.属于基础题．
21.（问答题.12分）如图.在三棱柱ABC-A1B1C1中（底面△ABC为正三角形）.A1A⊥平面ABC.AB=AC=2. AA1=3 .D是BC边的中点．
（1）证明：平面ADB1⊥平面BB1C1C．
（2）求点B到平面ADB1的距离．
【正确答案】：
【解析】：（1）证明AD⊥BC．BB1⊥AD．推出AD⊥平面BB1C1C．然后证明平面ADB1⊥平面BB1C1C．
（2）由 VB−ADB1=VB1−ABD .转化求解点B到平面ADB1的距离即可．
【解答】：（1）证明：∵AB=AC.D为BC的中点.∴AD⊥BC．
又BB1⊥平面ABC.AD⊂平面ABC.∴BB1⊥AD．
又BC∩BB1=B.∴AD⊥平面BB1C1C．
又AD⊂平面ADB1.∴平面ADB1⊥平面BB1C1C．
（2）解：由（1）知.AD⊥平面BB1C1C.B1D⊂平面BB1C1C.∴AD⊥B1D． AA1=3 .
∵ AD=3 .B1D=2.
∴ S△ADB1=12•B1D•AD = 12×2×3=3 . S△ABD=12•BD•AD=12×1×3 = 32 ．
设点B到平面ADB1的距离为d.
由 VB−ADB1=VB1−ABD .得 13•S△ADB1•d=13•S△ABD•B1B .
即 13×3×d=13 × 32 × 3 .∴d= 32 .即点B到平面ADB1的距离为 32 ．
【点评】：本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用.几何体的体积的求法.考查空间想象能力以及计算能力．
22.（问答题.12分）在△ABC中.A为钝角.（b2+c2-a2）•tanA= 3 bc.
（1）求A；
（2）再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知.使△ABC存在且唯一确定.求BC边上高线的长．
条件 ① ：C=3B；
条件 ② ：a=7. sinBsinC=53 ．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用余弦定理和同角的三角函数关系求出sinA.再计算为A的值．
（2）选条件 ① 时.求出B与C.验证此时△ABC 存在但不唯一.不合题意；
选条件 ② 时.利用正弦定理和余弦定理.即可求出b、c的值.利用等面积法求出BC 边上高线的长．
【解答】：解：（1）△ABC中.（b2+c2-a2）•tanA= 3 bc.
由余弦定理得2bccsA•tanA= 3 bc.
所以sinA= 32 .
又因为A为钝角.所以 π2 ＜A＜π.解得A= 2π3 ．
（2）选条件 ① ：C=3B.
由（1）知：A= 2π3 .所以C+B= π3 .代入C=3B.解得：B= π12 .所以C= π4 .
此时△ABC 存在但不唯一.不合题意.舍去；
选条件 ② ：a=7. sinBsinC = 53 ．
由正弦定理 bsinB = csinC 及 sinBsinC = 53 .得 bc = 53 ．
在△ABC中.a=7.设b=5x.c=3x.x＞0.
由a2=b2+c2-2bccsA.得a2=b2+c2+bc.
即49=25x2+9x2+15x2.解得x=1.b=5.c=3.符合要求．
设BC 边上高线的长为h.由S△ABC= 12 bcsinA= 12 ah.解得h= bcsinAa = 15314 .
所以BC边上高线的长为 15314 ．
【点评】：本题考查了解三角形的应用问题.也考查了运算求解能力与方程思想.是中档题．