29，2023年山东省泰安市高新区中考数学三模试题

这是一份29，2023年山东省泰安市高新区中考数学三模试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在四个数2，0，，中，比小的数是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据实数比较大小方法：正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小即可．
【详解】的绝对值小于的绝对值，的绝对值大于的绝对值，
小于，大于，
结合正数大于零，负数小于零，比小数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，关键要分清两个数的类型，依据比较法则作出大小判断．
2. 一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据各个选项的几何体的主视图和左视图判断即可．
【详解】解：A．该圆柱的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
B．该长方体的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
C．该三棱柱的主视图是一行两个相邻的矩形，左视图是一个矩形，故本部选项符合题意；
D．该三棱锥的主视图是一个三角形（三角形的内部由一条纵向的高线），左视图是一个三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见的几何体的三视图是解答本题的关键．
3. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：2200亿，
2200亿用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定与的值是解题的关键．
4. 去年月山东省部分城市最高气温如下表：
则这个城市该日最高气温的众数和中位数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义并灵活运用，利用中位数和众数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据按由小到大的顺序排列为、、、、、、、、、，
故该日最高气温的众数为，
中位数为，
故选：D．
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（ ）
A. 100°B. 105°C. 110°D. 115°
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵DE∥FG．∠DBC=45°，
∴∠BCG=∠DBC=45°，
∵∠ACG=10°，
∴∠ACB=35°，
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=35°，
∴∠ABD=∠DBC+∠ABC=80°，
∴∠ABD=180°-80°=100°，
故选：A
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，完全平方公式，利用合并同类项的法则，完全平方公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：．
7. 如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接，由是的切线，可得，，由，可得．
【详解】解：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）．

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：设绳索有尺长，

则，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，直线分别交，于点G，H，若，，则的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 10D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出的值，再解直角三角形得出的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
故选B．
【点睛】本题主要考查基本作图：线段的垂直平分线的作法，解直角三角形的知识，解题的关键是理解题意，明确是线段的垂直平分线，然后灵活运用解直角三角形的知识解决问题．
10. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法，①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，．其中正确的是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】利用图象的信息与已知条件求得，的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线，
，
，．
，，
，
①的结论正确；
抛物线经过点，
，
，
．
，
②的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的对称点为，
，
当时，随的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标为，1，
方程的两根为，，
④的结论正确；
综上，结论正确的有：①④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键．
11. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于E点，若AB=8，则图中阴影部分的面积是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形可得，阴影部分的面积=S半圆-（SADC+S扇形CDE）=S半圆-（S扇形OAD-S△CDO+S扇形CDE），依次运算即可得出答案．
【详解】解：连接AD，OD，BD，
可得△ACD∽△CDB，有CD2=AC•CB，
∴CD=2，OC=2，tan∠COD=2：2=：1，
∴S扇形OAD=，
S△CDO=CO×CD=2，
∴SADC=S扇形OAD-S△CDO═－2，
S扇形CDE==3π．
∴阴影部分的面积=S半圆-（SADC+S扇形CDE）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，涉及了相似三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，圆的面积公式，综合性较强，注意仔细观察所给图形．
12. 如图，正方形的边长为4，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作点C关于直线AB的对称点N，DN交AB于点P1，利用直角三角形斜边中线的性质求得DM=，为定值，则点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，得到当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，作点C关于直线AB的对称点N，连接PN、BN、DN，
DN交AB于点P1，
∵点C、点N关于直线AB对称，
∴PC=PN，
∵△DEF是直角三角形，M是EF的中点，且EF=3，
∴DM=EF=，为定值，
∴点M在以D为圆心，1.5为半径的圆上，
∵DM+PM+PC= DM+PM+PNDN，
∴当点D、M、 P、N 四点在同一直线上时，DM+PM+PN有最小值，最小值为DN，
∴PM+PC的最小值为DN-DM=DN-，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CD=4，CN=8，
∴DN=，
∴PM+PC的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确找到点P的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是_________．
【答案】且##k≠-2且k≥-3
【解析】
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：Δ=4+4（k+2）≥0，
∴解得：k≥-3，
∵k+2≠0，
∴k≥-3且k≠-2，
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14. 如图，正方形的边长为8，以点A为圆心，长为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为8
∴
∵是正方形的对角线
∴
∴
∴圆锥底面周长为，解得
∴该圆锥的底面圆的半径是1
故答案为：1
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
15. 已知关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解关于x的不等式组，确定不等式组的解集，然后根据不等式组恰好有个整数解，确定a的范围即可．
【详解】，
∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵关于x的不等式组恰好有个整数解，则一定是2，3，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为2米，表示直角遮阳棚，墙长度为米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为______米．
【答案】####
【解析】
【分析】根据题意分析，要使太阳光刚好不射入室内，则太阳光为，平行线推论出等角后利用正切值直接列方程求解即可．
【详解】过作交于，
∵太阳光与地面的最大夹角为，
∴
∵
∴
∵（米），
∴，解得（米）．
故答案为：
【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是掌握正切值即对边比邻边，列方程求解即可．
17. 如图，在矩形中，的平分线交于点于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O．下列结论：①；②；③H为的中点；④．其中正确的有______________（将所有正确结论的序号填在横线上）
【答案】①②③
【解析】
分析】设AB=a，则AD=a，用a表示出AE长度可判断①；证明DH=DC即可说明②；证明△DHF≌EBH，可判断③；用a表示出CF和FD长度即可判断④．
详解】解：①设AB=a，则AD=a，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴BA=BE．
∴在Rt△ABE中，AE=a，
∴AE=BE．①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE=45°，AD=a，
∴DH=AH=a．
∴DH=DC．
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED=∠CED正确；
③∵AH=AB=a，
∴∠ABH=∠AHB．
∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠DFB=180°．
又∠AHB+∠BHE=180°，
∴∠BHE=∠HFD．
∴∠HEB=∠FDH=45°，又BE=DH=a，
∴△BHE≌△HFD（AAS），
∴BH=HF，即H为BF的中点，③正确；
④由△BHE≌△HFD得到HE=DF，HE=AE-AH=a−a，
则CF=a-(a−a)=2a-a，
∴，即CF=DF，
∴④错误；
综上所述，正确的是①②③共3个．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质．正确的识别图形是解题的关键．
18. 如图所示，直线与轴相交于点，点在直线上，点在轴上，且是正三角形，记作第一个正三角形；然后过做与直线相交于点，点在轴上，再以为边作正三角形，记作第二个正三角形；同样过作与直线相交于点，点在轴上，再以边作正三角形，记作第三个正三角形；依此类推，则第个正三角形的顶点的横坐标为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用、正三角形的性质和解直角三角形有关计算，可设直线与轴相交于点．通过求交点、的坐标可求根据题意得、、都是等腰三角形，且腰长变化有规律，在正三角形中求高即可求出第个正三角形的顶点的纵坐标，再求横坐标即可．
【详解】解：如图，设直线与轴相交于点，分别作，，垂直于轴，垂足分别为，，，

令，则；令，则，
，，
，
，
是正三角形，
，
，
，
第一个正三角形的高；
同理可得：第二个正三角形的边长，高，
第三个正三角形的边长，高，
第四个正三角形的边长，高，
，
第个正三角形的边长，高，
第个正三角形顶点的纵坐标是，
当时，
，
，
第个正三角形的顶点的横坐标为，
第个正三角形的顶点的横坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中是满足的整数．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，涉及到绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，
（1）分别根据绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取出合适的的值代入进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
原式



，
是满足的整数，，，，
，，，
时，原式．
20. 某工厂为掌握新入职员工的工作积极性，工厂对新入职员工进行了为期一个月的跟踪调查，调查结果分为四类：；很好；：较好；：一般；；不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）类女职工有______ 名，类男职工有______ 名，将上面条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“：不达标”对应的圆心角度数是______ ；
（3）为了相互学习，激励后进，工厂从被调查的类和类职工中各随机抽取一名职工组建“”，请用画树状图或列表的方法求出所选两名职工恰好是一男职工一女职工的概率．
【答案】（1），，详见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图及用树状图法求概率等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）先求出调查总人数，再列式计算可得答案，最后补充条形统计图；
（2）用乘以即可；
（3）画树状图，求得有6种等可能的结果，再由概率公式求解即可
【小问1详解】
由可得调查总数为（人，
类女职工有（人；
类男职工有（人；
补充条形统计图如下：
故答案为：3，1；
【小问2详解】
“：不达标”对应的圆心角度数是，
故答案为：；
【小问3详解】
记男职工为，女职工为，画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到的（或的结果有3种，
（恰好是一男职工一女职工）．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）请直接写出在第一象限时，的取值范围．
（3）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，解决问题的关键是画出图形．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）求出，由，即可求解．
【小问1详解】
将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
则点，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：；
【小问2详解】
把代入，得，
由图可知时，，
由图可知时，，
时，；
【小问3详解】
点，点的纵坐标是，，
点的纵坐标是，
把代入，
得，
，
如图，

作轴于，交于，
当时，，
，
，
，
由．
22. 某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化的面积的倍，并且甲队独立完成绿化面积比乙队独立完成的绿化面积少用天．
（1）甲、乙两个工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，乙队为万元，要使这次的绿化总费用不超过万元，至少应安排甲队工作多步天？
【答案】（1）甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为
（2）至少应安排甲队工作天
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于的分式方程；（2）根据总费用需付给甲队总费用需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过万元，列出关于的一元一次不等式．
（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据甲队独立完成绿化面积比乙队独立完成的绿化面积少用天，即可得出关于的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；
（2）设安排甲工程队工作天，则乙工程队工作天，根据总费用需付给甲队总费用需付给乙队总费用结合这次的绿化总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【小问1详解】
设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为．
【小问2详解】
设安排甲工程队工作天，则乙工程队工作天，
根据题意得：，
解得：，
答：至少应安排甲队工作天．
23. 已知如图，为正方形的边上任意一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，的平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是等腰直角三角形；
（3）如图，若正方形的边长为，连接，当点为的中点时，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及正方形的性质即可证明；
（2）想办法证明，由，，即可解决问题；
（3）等面积法求出，证明得到，证明≌，即可推出，，由此即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，，
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，
，
．
【小问2详解】
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交于，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形．
【小问3详解】
解：连接．

是中点，正方形的边长为，
，，
在中，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
由（2）可知，
，
，
，
，，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为，已知动点在直线上方的抛物线上，动点在线段上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，求到的距离最大值及此时的点坐标；
（3）连接、，请直接写出当为等腰直角三角形时点的坐标．
【答案】（1）
（2）当点的坐标为时，点到的距离取得最大值为
（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】（1）先求出点、的坐标，再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作于点，交于点，过点作于点，根据勾股定理求得，易证∽，根据相似三角形的性质可得，因此当有最大值时，有最大值，设点，则，于是可得，根据二次函数的性质即可得当时，取得最大值，求出此时点的坐标和的长度即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，易证≌，得到，，设，则，，分别可求出，，，进而得到，将的坐标代入抛物线的解析式中，求出的值即可得出点的坐标；当时，过点作轴于点，过点作的延长线于点，同理可证：≌，得到，，设，则，，分别求出，，，于是，将点的坐标代入直线的解析式中，求出的值即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
抛物线经过、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点，

，，
，，
在中，，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
当有最大值时，有最大值，
设点，则，
，
当时，取得最大值，
此时，，，
当点的坐标为时，点到的距离取得最大值为；
【小问3详解】
解：当时，如图，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，

则，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和，
，
，
，，
设，则，，
，
，
，
，
将，代入中，得，
解得：不合题意，舍去，，
；
当时，如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，

用理可证：，
，，
设，则，，
，
，
，
，
将点代入中，
得，
解得：不合题意，舍去，，
．
综上，当为等腰直角三角形时，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合和分类讨论思想解决问题．
25. 【例题探究】数学课上，老师给出一道例题，如图，点在的延长线上，且，若求证：；请用你所学的知识进行证明．
【拓展训练】
如图，点在的延长线上，且，若，，，则的值为______；（直接写出）
【知识迁移】
将此模型迁移到平行四边形中，如图，在平行四边形中，为边上的一点，为边上的一点若求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析
【解析】
【分析】（1）由，，推出，进而得出结论；
（2）在上截取，连接，可证得，从而，进而得出；
（3）以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，可得出，从而，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）解：如图，

在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
故答案为：；
（3）证明：如图，

以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”．
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