2022年山东省泰安市高新区中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2022年山东省泰安市高新区中考数学二模试卷(含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年山东省泰安市高新区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有产个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如图简单几何体的主视图（从正面看）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3＝2x5 B．m8÷m2＝m4
C．（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn﹣n2 D．（x2）3＝x6
4．（4分）综合灯塔、猫眼等平台数据，截至5月4日21时30分，2022“五一档”，档期票房中《神奇动物：邓布利多之谜》3287.4万．3287.4万用科学记数法应表示为（　　）
A．3.2874×106 B．3.2874×107 C．3.2874×108 D．32.874×106
5．（4分）将一副三角板按如图方式放置，使EF∥AB，则∠α的度数是（　　）

A．95° B．100° C．120° D．105°
6．（4分）某校为了了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生某一周主题阅读文章的篇数，并绘制成统计图表．
文章阅读的篇数
3
4
5
6
7及以上
人数
20
28
m
16
12
某校抽查学生主题阅读的情况统计图
根据统计数据，本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数是（　　）

A．4 5 B．5 4 C．5 5 D．4 4
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（　　）

A．150° B．105° C．75° D．165°
8．（4分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a，c为常数，且a≠0）一定有实数根的是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．c＞0 D．c＝0
9．（4分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
10．（4分）如图，⊙O中，＝，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（　　）

A．74° B．67° C．66° D．60°
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：
①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有4am2+4bm≥a﹣2b．其中正确结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB＝5，OA＝2，点C是y轴上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针方向旋转60°得到AD，连接BD，则BD的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（1，4），点C（4，2），将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点C的对应点C′的坐标是 　 　．

14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝45°，点C为OB的中点，以点C为圆心，以OC的长为半径画半圆交OA于点D，若OB＝2，则阴影部分的面积为　 　．

15．（3分）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD′，若∠BAC＝90°，DE＝5，CE＝4，则线段AC的长度为　 　．

17．（3分）如图所示，菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE，AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：
①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③∠AEH＝∠DAH；④AE•AD＝AH•AF．其中结论是 　 　．（将所有正确结论的序号都填入）．

18．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n⋅i＝（i4）n⋅i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i2+i3+i4+⋯+i2020+i2021+i2022的值为 　 　．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）计算：
先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
20．（10分）近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 　 　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；
（3）对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．
21．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，AB＝3BC，点C的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式；
（2）以AB为边作▱ABEF，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段EF与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标．

22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接ME，MF．连接CM交AE于点G．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求证：∠MFE＝45°；
（3）若DE＝6，DF＝2，求线段DM长．

23．（12分）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天．
（1）求B施工队每天修建公路长度是多少公里；
（2）若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？
24．（12分）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；
（3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得tan∠PCO＝2，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：DG•BC＝DF•BG；
（2）连接CF，求∠CFB的大小；
（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．


2022年山东省泰安市高新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题；在每小题给出的四个选项中，只有产个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求一个数的倒数就是把这个数的分子分母交换位置即可，互为倒数的两个数的乘积为1．
【解答】解：﹣3＝﹣，
﹣的倒数为：﹣，
∴的倒数是：﹣，
故选：C．
【点评】本题考查的是倒数，做此类型的题目关键在于对倒数概念的理解．
2．（4分）如图简单几何体的主视图（从正面看）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．主视图是正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．主视图是三角形，且内部有一条纵向的虚线，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．主视图的正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3＝2x5 B．m8÷m2＝m4
C．（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn﹣n2 D．（x2）3＝x6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式、幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、m8÷m2＝m6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（2m﹣n）2＝4m2﹣4mn+n2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x2）3＝x6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、完全平方公式．熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式是解题的关键．
4．（4分）综合灯塔、猫眼等平台数据，截至5月4日21时30分，2022“五一档”，档期票房中《神奇动物：邓布利多之谜》3287.4万．3287.4万用科学记数法应表示为（　　）
A．3.2874×106 B．3.2874×107 C．3.2874×108 D．32.874×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3287.4万＝328740000＝3.2874×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（4分）将一副三角板按如图方式放置，使EF∥AB，则∠α的度数是（　　）

A．95° B．100° C．120° D．105°
【分析】根据平行线的性质得到∠1＝∠E＝60°，根据三角形的外角性质得到∠α＝∠1+∠B，代入即可求出答案．
【解答】解：如图，

∵EF∥AB，
∴∠1＝∠E，
∵∠E＝90°﹣30°＝60°，∠B＝∠C＝45°，
∴∠α＝∠1+∠B＝60°+45°＝105°．
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行线的性质，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能利用性质进行推理是解此题的关键，题型较好，难度适中．
6．（4分）某校为了了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生某一周主题阅读文章的篇数，并绘制成统计图表．
文章阅读的篇数
3
4
5
6
7及以上
人数
20
28
m
16
12
某校抽查学生主题阅读的情况统计图
根据统计数据，本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数是（　　）

A．4 5 B．5 4 C．5 5 D．4 4
【分析】根据6篇的人数和所占的百分比，求出抽取的学生总数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案．
【解答】解：抽取的学生数有：16÷16%＝100（人），
则m＝100﹣20﹣28﹣16﹣12＝24，
∵共有100人，中位数是第50、51个数的平均数，
∴中位数是：＝5（篇），
∵4出现了28次，出现的次数最多，
∴众数是4篇；
故选：B．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝105°，则∠BOD的度数是（　　）

A．150° B．105° C．75° D．165°
【分析】首先利用邻补角求得∠BCD的度数，然后利用圆周角定理求得答案即可．
【解答】解：∵∠BCE＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BCE＝180°﹣105°＝75°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝150°，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，难度不大．
8．（4分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0（a，c为常数，且a≠0）一定有实数根的是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．c＞0 D．c＝0
【分析】先计算判别式得到Δ＝16﹣4ac，当ac异号或c＝0时，一定有△≥0，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4ac＝16﹣4ac，
∴当ac异号或c＝0时，△≥0，方程一定有两实数解．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（4分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x米，
∵tan65°＝，
∴OF＝xtan65°米，
∴BF＝（3+x）米，
∵tan35°＝，
∴OF＝（3+x）tan35°米，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5米，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15米，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65米，
故选：C．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
10．（4分）如图，⊙O中，＝，过点A作BC的平行线交过点C的圆的切线于点D，若∠ABC＝46°，则∠ADC的度数是（　　）

A．74° B．67° C．66° D．60°
【分析】连接OA，由圆周角定理求出∠OCB＝∠OBC＝23°，由切线的性质求出∠OCD＝90°，由平行线的性质可求出答案．
【解答】解：连接OA，

∵＝，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OB＝OC，OB＝OA，
∴∠BCO＝∠OBC，∠OAC＝∠OBA，
∴∠OBA＝∠CBO，
∵∠ABC＝46°，
∴∠OCB＝∠OBC＝23°，
∵CD是圆的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCO+∠OCD＝113°，
∵CB∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣113°＝67°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
11．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为，经过点（﹣2，0），下列结论：
①a＝b；②abc＜0；③；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，当时，y1＜y2；⑤m为任意实数，都有4am2+4bm≥a﹣2b．其中正确结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＞0，
∴abc＜0，
∴①正确，②正确；
∵抛物线过点（﹣2，0）．
∴4a﹣2b+c＝0，
∴4a﹣2a+c＝0，
∴2a+c＝0，
∴a+＝0，
∴③正确．
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣，
∴当x≥﹣时，y随x的增大而增大，
∴④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣，
∴当x＝﹣时，函数有最小值，
∴对任意实数m，当x＝m时的函数值不小于x＝﹣时的函数值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，
∴4am2+4bm≥a﹣2b，
∴⑤正确，
∴正确结论有①②③⑤，共4个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，OB＝5，OA＝2，点C是y轴上一动点，连接AC，将AC绕点A顺时针方向旋转60°得到AD，连接BD，则BD的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】将线段AB绕点A逆时针旋转60°到线段AB′，连接CB′，易证△ABD≌△AB′C（SAS），可得BD＝CB′，再根据垂线段最短可知BH′的长度即为所求，易证B′H＝OM，根据含30°角的直角三角形的性质求出AM的长度，进一步求出OM的长度即可确定BD的最小值．
【解答】解：将线段AB绕点A逆时针旋转60°到线段AB′，连接CB′，如图所示：

则有AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∵AC绕点A顺时针方向旋转60°得到AD，
∴AD＝AC，∠CAD＝60°，
∴∠CAB′＝∠DAB，
∴△ABD≌△AB′C（SAS），
∴BD＝CB′，
∵点C是y轴上一动点，
过点B′作B′M⊥OB于点B，过点B′作B′H⊥y轴于点H，
则B′H的长即为线段BD的最小值，
∵∠AOC＝90°，∠B′MO＝90°，∠B′HO＝90°，
∴四边形OMB′H是矩形，
∴B′H＝OM，
∵OB＝5，OA＝2，
∴AB′＝AB＝3，
∵∠B′AM＝60°，∠B′MA＝90°，
∴∠AB′M＝30°，
∴AM＝AB′＝，
∴OM＝2+＝，
∴BD的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°角的直角三角形的性质，本题难度较大，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，满分18分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（1，4），点C（4，2），将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点C的对应点C′的坐标是 　（3，7）　．

【分析】利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A′，C′即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知C′（3，7）．

故答案为：（3，7）
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝45°，点C为OB的中点，以点C为圆心，以OC的长为半径画半圆交OA于点D，若OB＝2，则阴影部分的面积为　﹣　．

【分析】连接OD，根据圆周角定理得到∠DCB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD，
∵∠O＝45°，
∴∠DCB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△ODC﹣S扇形DCB＝﹣×1×1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积的计算，圆周角定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）若关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是　﹣3≤m＜﹣2　．
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出1≤4+m＜2，解之可得．
【解答】解：解不等式2x+5＞0，得：x＞﹣，
解不等式x≤2+，得：x≤4+m，
∵不等式组有4个整数解，
∴1≤4+m＜2，
解得：﹣3≤m＜﹣2，
故答案为：﹣3≤m＜﹣2．
【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．
16．（3分）如图，将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD′，若∠BAC＝90°，DE＝5，CE＝4，则线段AC的长度为　12　．

【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝DE+CE＝9，AB∥CD，可得∠ECD'＝90°，由折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，由勾股定理可求CD'的长，AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD＝DE+CE＝9，AB∥CD
∴∠BAC＝∠ACD＝90°
∴∠ECD'＝90°
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD′，
∴D'E＝DE＝5，AD＝AD'
∴CD'＝＝3
∴AD'＝AC+3＝AD＝BC
∵BC2＝AB2+AC2，
∴（AC+3）2＝81+AC2，
∴AC＝12
故答案为：12
【点评】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD'的长是本题的关键．
17．（3分）如图所示，菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE，AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：
①△ABF≌△CAE；②∠FHC＝∠B；③∠AEH＝∠DAH；④AE•AD＝AH•AF．其中结论是 　①②③④　．（将所有正确结论的序号都填入）．

【分析】由菱形ABCD中，AB＝AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B＝∠EAC＝60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，由外角性质可得∠FHC＝∠B，可判断①②，利用三角形的外角和补角的定义判断出③，通过证明△AEH∽△CEA，可得＝，可得AE•AD＝AH•AF，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形，
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF＝∠ACE，EC＝AF，
∵∠FHC＝∠ACE+∠FAC＝∠BAF+∠FAC＝∠BAC＝60°，
∴∠FHC＝∠B，
故①正确，②正确；
∵∠BAF＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠CFA，
∴∠AEH＝∠DAH，故③正确；
∵∠ACE＝∠BAF，∠AEH＝∠AEC，
∴△AEH∽△CEA，
∴＝，
∴AE•AC＝AH•EC，
∴AE•AD＝AH•AF，故④正确；
结论正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等或相似是解题的关键．此题难度较大，注意数形结合思想的运用．
18．（3分）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n⋅i＝（i4）n⋅i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i2+i3+i4+⋯+i2020+i2021+i2022的值为 　﹣1　．
【分析】利用题中的新定义化简，再将算式中每4个数作为一组结合，得到每组的和为0，由于一共2021个数相加，2021÷4＝505…1，而i2022＝i2＝﹣1，进而得出答案即可．
【解答】解：依题意有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，
∵2021÷4＝505…1，
∴原式＝﹣1﹣i+1+i+…+1+i﹣1
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（8分）计算：
先化简，再求值：，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出x2+x＝6，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝•
＝•
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x2+x＝6，
∴原式＝﹣x2﹣x＝﹣（x2+x）＝﹣6．
【点评】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（10分）近日，教育部发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》．2022年秋季开学起，劳动课将成为中小学生的一门独立课程．消息一出，引发了不少家长和老师的关注和热议．某校为了解学生对“劳动课”重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：

（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 　162°　，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生2400人，请你估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数；
（3）对“劳动课”“非常重视”的4人有一名男生，三名女生，若从中随机抽取两人作为“劳动教育宣传大使”，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到都是女生的概率．
【分析】（1）先计算出调查的总人数，再用360°乘以样本中“比较重视”的人数所占的百分比得到“比较重视”所占的圆心角的度数，然后计算出“重视”的人数后补全条形统计图；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两名都是女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的总人数为：16÷20%＝80（人），
所以在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
“重视”的人数为80×30%＝24（人），
补全条形统计图为：

故答案为：162°；
（2）2400×＝120（人），
所以估计该校对“劳动课”“非常重视”的学生人数为120人；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽到都是女生的结果数为6，
所以恰好抽到都是女生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
21．（10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+b图象分别与x轴、y轴相交于点A，B两点，且与反比例函数的图象相交于点C，D两点，AB＝3BC，点C的横坐标为﹣1．
（1）求反比例函数表达式；
（2）以AB为边作▱ABEF，使点F在x轴负半轴上，点E在第二象限，若．线段EF与反比例函数在第二象限的交点为M，求点M的坐标．

【分析】（1）过点C作CN⊥y轴于点N，由△CNB∽△AOB，得，可得点A的坐标，从而求出直线AB的解析式，进而解决问题；
（2）根据平移的规律可得直线EF的解析式，再利用反比例函数与一次函数求交点即可．
【解答】解：（1）过点C作CN⊥y轴于点N，

∴∠CNB＝∠BOA＝90°，
∴∠CBN＝∠ABO，
∴△CNB∽△AOB，
∴，
∴OA＝3CG，
∴OA＝3，
∴A（3，0），
将A（3，0）代入y＝﹣2x+b得：b＝6，
∴y＝﹣2x+b中，当x＝﹣1时y＝8，
∴C（﹣1，8），
∴m＝﹣1×8＝﹣8，
∴；
（2）∵▱ABEF，
∴AB∥EF，
∵，
∴＝﹣2x﹣15，
令，
解得：（舍），x2＝﹣8，
∴M（﹣8，1）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平移的特征得出直线EF的解析式是解题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接ME，MF．连接CM交AE于点G．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求证：∠MFE＝45°；
（3）若DE＝6，DF＝2，求线段DM长．

【分析】（1）根据AAS证明△ACE≌△CBF，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据等腰直角三角形的性质易证△CEM≌△BFM（SAS），根据全等三角形的性质可得△EMF为等腰直角三角形，进一步即可得证；
（3）先证明△AED∽△BFD，设BF＝x，则AE＝3x，表示出AE和CF，根据AE＝CF列方程，求出x的值，进一步可得AD、BD和BM的长，即可求出DM的长．
【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
又∵CA＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴CE＝BF；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB，AM＝BM＝CM，
∴∠CMD＝∠BFD＝90°，
又∵∠CDM＝∠BDF，
∴∠MCE＝∠MBF，
又∵CE＝BF，
∴△CEM≌△BFM（SAS），
∴EM＝MF，∠CME＝∠BMF，
∴∠EMF＝∠CMB＝90°，
∴△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MFE＝45°；
（3）解：∵∠AED＝∠BFD＝90°，∠BDF＝∠ADE，
∴△AED∽△BFD，
∵DE＝6，DF＝2，
∴，
设BF＝x，则AE＝3x，
∴CF＝8+x，
由（1）得△ACE≌△CBF，
∴AE＝CF，
∴3x＝8+x，
解得x＝4，
∴BF＝4，AE＝12，
∴，，
∴AB＝，BM＝，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（12分）2020年至2022年，某区计划三年集中攻坚农村公路，提升修建200公里农村公路．已知A施工队每天修建公路长度是B施工队每天修建公路长度的2倍，若A、B两个施工队分别独立完成整个任务，A施工队比B施工队少用25天．
（1）求B施工队每天修建公路长度是多少公里；
（2）若该区需付给A施工队的费用为每天40万元，需付给B施工队的费用为每天12万元．考虑到要不超过20天完成整个工程，该区安排B施工队先单独完成一部分，剩下的部分两个施工队再合作完成．求B施工队先单独做多少天，该区需付的全部费用最低？最低费用是多少万元？
【分析】（1）根据题意，列方式方程解决问题；
（2）先列出全部费用与B施工队先单独做的天数的关系，再求出B施工队先单独做的天数的取值范围，根据函数思想和取值范围，即可求出值．
【解答】解：（1）设B每天修x公里，则A每天修2x公里，根据题意有，
，解得x＝4，经检验x＝4，符合题意，
∴B每天修4公里；
（2）设甲单独做m天，总费用为W元，根据题意有，
＝，
∵，
∴W随m的增大而减小，
完成工程需要的总天数为（m+）天，
m+≤20，解得m≤5，
∴当m＝5时，W的值最小，W＝﹣×5+＝8400，
∴B施工队先单独做5天，该区需付的全部费用最低，最低费用是8400万元．
【点评】本题考查了学生对分式方程的应用、以及用函数思想解决实际应用问题，综合性很强，难度较难．
24．（12分）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；
（3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得tan∠PCO＝2，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据b2﹣4ac＝0，求得m的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）以CD为斜边作等腰直角三角形DEC，设C（t，t2﹣2t+1），从而表示出D（t﹣3，t2﹣2t+4），将点D坐标代入抛物线的解析式求得t的值，进而求得C，D两点坐标，进一步求△COD的面积；
（3）作直角三角形COE，使∠COE＝90°，作CG⊥x轴于G，作EF⊥x轴于F，可证得△COG∽△OEF，进而求得点E的坐标，进一步求得CE的解析式，进一步可求得结果．
【解答】解：（1）由题知，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
∴m＝1，
∴y＝x2﹣2x+1；
（2）如图1，


由题意得：OA＝OB＝1，
∴△AOB是等腰直角三角形，
以CD为斜边作等腰直角三角形DEC，
∵CD＝3AB＝3，
∴DE﹣CE＝3，
设C（t，t2﹣2t+1），
∴D（t﹣3，t2﹣2t+4），
∵D为抛物线上，
∴（t﹣3）2﹣2（t﹣3）+1＝t2﹣2t+4t＝2，
∴t＝2，
当t＝2时，y＝22﹣2×2+1＝1，
∴C（2，1），
∴D（﹣1，4），
延长DE交x轴于G，作CF⊥x轴于G，
∴S△COD＝S梯形CFDG﹣S△COF﹣S△DOG＝﹣﹣＝；
（3）如图2，

作直角三角形COE，使∠COE＝90°，作CG⊥x轴于G，作EF⊥x轴于F，
∴∠EFO＝∠CGO＝90°，∠COG+∠EOF＝90°，
∴∠OCG+∠COG＝90°，
∴∠OCG＝∠EOF，
∴△COG∽△OEF，
∴＝2，
∵OC＝，
∴OE＝2，OF＝2，EF＝4，
∴E（﹣2，4），
∴CE的解析式为：y＝﹣x+，
由得，
x1＝2（舍取），，
当x＝﹣时，y＝（﹣﹣﹣1）2＝，
∴．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，两个函数图象的交点与方程（组）之间的关系，等腰三角形的判定和性质，点的坐标平移，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是辅助线，构造相似三角形．
25．（14分）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：DG•BC＝DF•BG；
（2）连接CF，求∠CFB的大小；
（3）作点C关于直线DE的对称点H，连接CH，FH．猜想线段DF，BF，CH之间的数量关系并加以证明．

【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，证明∠BGC＝∠FGD，得到△BGC∽△DGF，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）连接BD，证明△BGC∽△DGF，根据相似三角形的性质得到∠BDG＝∠CFG，根据正方形的性质解答；
（3）在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，连接DM，证明△BDM∽△CDF，得到BM＝CF，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝CF，证明结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠BCD＝∠GFD，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG•BC＝DF•BG；
（2）解：如图1，连接BD，
∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
∵∠BGD＝∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG＝∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠BDG＝∠ADC＝45°，
∴∠CFB＝45°；
（3）解：BF＝CH+DF，
理由如下：如图2，在线段FB上截取FM，使得FM＝FD，连接DM，
∵∠BFD＝90°，
∴∠MDF＝∠DMF＝45°，DM＝DF，
∵∠BDG＝45°，
∴∠BDM＝∠CDF，
∵△BGD∽△CGF，
∴∠GBD＝∠DCF，
∴△BDM∽△CDF，
∴，
∴BM＝CF，
∵∠CFB＝45°，BF⊥DE，
点C关于直线DE的对称点H，
∴∠EFH＝∠EFC＝45°，
∴∠CFH＝90°，
∵CF＝FH，
∴CH＝CF，
∴BM＝CH，
∴BF＝BM+FM＝CH+DF．


【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、关于直线对称的特征是解题的关键．
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