2023-2024学年黑龙江省绥化市肇东四中高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市肇东四中高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|2C. {x|x<1或x≥4}D. {x|1≤x<4}
2.命题“∃x0∈R，x02+x0+1<0”的否定为( )
A. ∃x0∈R，x02+x0+1≥0B. ∃x0∉R，x02+x0+1≥0
C. ∀x∈R，x2+x+1≥0D. ∀x∉R，x2+x+1≥0
3.设a∈R，则“a=1”是“a2=1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数gx= 2+x+ln1−x的定义域为
( )
A. 1,+∞B. −2,1C. −2,+∞D. −2,1
5.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上为减函数，则以下关系正确的是( )
A. f(π)C. f(1)6.已知a=0.910，b=100.9，c=lg0.910，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. b>c>a
7.函数y1=lga(x+28)−3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A的横坐标为x0，函数y2=ax−x0+4的图象恒过定点B，则B点的坐标为( )
A. (−27,−3)B. (−3,5)C. (−27,5)D. (−2,5)
8.函数f(x)=3x+12x−2的零点所在的一个区间是( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列推理正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2B. 若aab>b2
C. 若a1bD. 若a>b>c，则a−ca−b>b−ca−c
10.下列命题正确的是( )
A. 若sinα=−13，且3π2<α<2π，则tanα=− 24
B. 若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
C. 扇形的周长为30cm，圆心角为3rad，则此扇形的面积为48cm2
D. 若α是第四象限角，则点P(csα,tanα)在第四象限
11.已知f(x)=|lnx|，当bA. 1a>1B. ab=1C. ea+eb>2eD. (1a)2−b+54≥1
12.已知函数f(x)=12x+1+a(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)可能是奇函数B. f(x)可能是偶函数
C. f(x)+f(−x)是偶函数D. f(x)−f(−x)是减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)满足f(x+1)=x，则f(2)= ______．
14.设函数f(x)={2x+4f(x+1),−1,x⩾3x<3，则f(1)= ______．
15.已知a>0，b>0，且1a+9b=1，则使得a+b≥u恒成立的u的取值范围是______．
16.已知函数f(x)为定义在[1−a,2]上的偶函数，在[0,2]上单调递增，并且f(−m2−a3)>f(−m2+2m−2)，则m的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算．
(1)(94)32−0.5−2+(π−1)0−1；
(2)lg327−lg0.01−ln1．
18.(本小题12分)
已知角α终边上有一点P(−1,2)，求下列各式的值．
(1)tanα；
(2)sinα+csαcsα−sinα；
(3)3sinαcsα−2cs2α1−2cs2α．
19.(本小题12分)
已知A={x|3≤x≤7}，B={x|2a(1)当a=1时，求A∩B和A∪B；
(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+3．
(1)求f[f(−1)]的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(ax2−x+1)，其中a>0且a≠1．
(1)当a=12时，求函数f(x)的值域；
(2)当f(x)在区间[14,32]上为增函数时，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知幂函数f(x)的图象经过点(3,13)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)=(x−2)⋅f(x)，试判断函数g(x)在区间[12,1]上的单调性，并求函数g(x)在区间[12,1]上的值域．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2则A∩B={x|2故选：A．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以：∃x0∈R，x02+x0+1<0的否定是：∀x∈R，x2+x+1≥0．
故选：C．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：若a=1，则a2=1成立，即充分性成立．
当a=−1，满足a2=1，但a=1不成立，即必要性不成立，
故“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查对数的性质．
根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意，得2+x≥01−x>0，所以−2≤x<1，
所以g(x)的定义域为[−2,1)．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：依题意，f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(−3)=f(3)，
f(x)在(−∞,0)为减函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数，
所以f(1)故选：B．
根据已知得到f(−3)=f(3)，f(x)在(0,+∞)上是增函数，即可得到f(1)本题主要考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查根据函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
【解答】
解：因为0<0.910<1，100.9>100=1，lg0.910所以b>a>c，故选B．
7.【答案】C
【解析】解：令x+28=1，解得x=−27，
当x=−27时，y1=−3，
故点A(−27,−3)，即x0=−27，
函数y2=ax−x0+4=ax+27+4，
令x+27=0，解得x=−27，
当x=−27时，y2=1+4=5，
故B点的坐标为(−27,5)．
故选：C．
根据已知条件，结合对数函数、指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查对数函数、指数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
先判定已知函数的单调性，然后结合选项检验区间端点的函数值的正负，然后结合零点判定定理即可求解
本题主要考查了函数的零点的判定定理的简单应用，属于基础试题
【解答】
解：由已知可知，函数f(x)=3x+12x−2单调递增且连续，
∵f(−2)=−269<0，f(−1)=−136<0，f(0)=−1<0，f(1)=32>0
∴f(0)⋅f(1)<0
由函数的零点判定定理可知，函数f(x)=3x+12x−2的一个零点所在的区间是(0,1)
故选C
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当0>a>b时，a2对于B，当aab，ab>b2，选项B正确；
对于C，当a1b，选项C正确；
对于D，当a>b>c时，0b−c>0，
则1a−b>1a−c>0，则a−ca−b>b−ca−c，选项D正确．
故选：BCD．
利用不等式的性质逐项分析判断即可．
本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由3π2<α<2π，则csα= 1−sin2α= 1−(−13)2=2 23，
所以tanα=sinαcsα=−132 23=− 24，故A正确；
对于B，由α是第二象限角，则π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z，
所以π4+kπ<α<π2+kπ,k∈Z，即α2是第一或第三象限角，故B正确；
对于C，由题意设扇形的周长为C，圆心角为θ，所在圆半径为R，
则2R+Rθ=C，则2R+3R=30，解得R=6cm，
扇形的面积S=12θR2=12×3×62=54cm2，故C错误；
对于D，由α是第四象限角，则csα>0，sinα<0，即tanα<0，
所以点P(csα,tanα)在第四象限，故D正确．
故选：ABD．
对于A，根据同角三角函数的平方式以及角的大小，利用同角三角函数的商式关系，可得答案；
对于B，根据象限角的取值范围，可得答案；
对于C，根据扇形的周长公式以及面积公式，可得答案；
对于D，根据象限角的三角函数取值范围，可得答案．
本题主要考查扇形面积公式以及象限角的求解，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：f(x)=|lnx|= lnx,x≥1−lnx,0因为f(a)=f(b)，所以|lna|=|lnb|，可得lna=−lnb，
因为b1，ab=1，故A错误，B正确；
对于C，因为a+b>2 ab，所以ea+eb>2 ea+b>2 e2=2e，故C正确；
对于D，(1a)2−b+54=b2−b+54=(b−12)2+1>1，故D正确．
故选：BCD．
根据f(a)=f(b)可得lna=−lnb，再由b本题考查对数函数性质，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：当a=−12时，f(x)=11+2x−12=1−2x2(1+2x)，则f(−x)=1−2−x2(1+2−x)=2x−12(1+2x)=−f(x)，A成立；
若f(−x)=f(x)，则11+2−x+a=11+2x+a，即2x1+2x+a=11+2x+a对于任意x恒成立，但此等式不恒成立，B错误；
y=f(x)+f(−x)=12x+1+a+11+2−x+a=1+2a为偶函数，C正确；
y=f(x)−f(−x)=11+2x−11+2−x=1−2x1+2x=−1+21+2x显然单调递减，D正确．
故选：ACD．
由已知结合函数的奇偶性的定义分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x+1)=x，
令x=1可得：f(2)=1．
故答案为：1．
根据题意，利用特殊值法，将x=1代入f(x+1)=x，计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题．
14.【答案】8
【解析】解：根据题意，因为f(x)={2x+4f(x+1),−1,x⩾3x<3，
所以f(1)=f(2)−1=f(3)−2=2×3+4−2=8．
故答案为：8．
根据题意，由函数的解析式，计算可得答案．
本题考查函数值的计算，注意分段函数的解析式，属于基础题．
15.【答案】(−∞,16]
【解析】解：因为a>0，b>0，且1a+9b=1，则a+b=(a+b)(1a+9b)=10+ba+9ab≥10+2 ba⋅9ab=16，
当且仅当b=3a，即a=4，b=12时取等号，
若使得a+b≥u恒成立，则u≤16．
故答案为：(−∞,16]．
由已知利用乘1法，结合基本不等式先求出a+b的范围，结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
16.【答案】(12,1]
【解析】解：由函数f(x)为定义在[1−a,2]上的偶函数，可得(1−a)+2=0，解得：a=3，
所以函数f(x)为定义在[−2,2]上的偶函数，在[0,2]上单调递增．
因为f(−m2−a3)>f(−m2+2m−2)，即f(−m2−1)>f(−m2+2m−2)，
所以−2≤−m2−1≤2−2≤−m2+2m−2≤2|−m2−1|>|−m2+2m−2|，解得12 即m的取值范围是(12,1]．
故答案为：(12,1]．
先由函数是偶函数求出a=3；再根据偶函数的特点及函数的单调性列出不等式组即可求解．
本题考查抽象函数奇偶性和单调性的综合运用．解题关键在于：先根据偶函数定义域关于原点对称列出方程求得a=3；再根据偶函数的特点及函数单调性列出不等式组即可求解．
17.【答案】解：(1)(94)32−0.5−2+(π−1)0−1
=[(32)2]32−(12)−2+1−1
=(32)3−4
=−58；
(2)lg327−lg0.01−ln1
=lg333−lg10−2−0
=3−(−2)
=5．
【解析】(1)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；
(2)由对数的运算性质化简求值．
本题考查有理指数幂与对数的运算性质，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为角α的终边过点P(−1,2)，
所以，由三角函数定义可得tanα=2−1=−2．
(2)由(1)知，tanα=−2，
所以，sinα+csαcsα−sinα=tanα+11−tanα=−2+11−(−2)=−13．
(3)原式=3sinαcsα−2cs2αsin2α−cs2α=3tanα−2tan2α−1=3×(−2)−2(−2)2−1=−83．
【解析】(1)根据任意角的三角函数定义可得；
(2)分子分母同时除以csα，化弦为切可解；
(3)利用平方关系将目标式化为齐次式，然后化弦为切可解．
本题主要考查三角函数的求值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)a=1时，A={x|3≤x≤7}，B={x|2故A∩B={x|3≤x<5}，A∪B={x|2(2)∵A={x|3≤x≤7}，B={x|2a∴当B=⌀时，2a≥a+4，则a≥4；
当B≠⌀时，2a得a<4a+4≤3或a<42a≥7解得a≤−1或72≤a<4，
综上可知，a的取值范围是(−∞,−1]∪[72,+∞)．
【解析】(1)a=1时，A={x|3≤x≤7}，B={x|2(2)当B=⌀时，2a≥a+4；当B≠⌀时，2a本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．
20.【答案】解：(1)f[f(−1)]=f[−f(1)]=f(0)=0；
(2)由题意知：f(−0)=−f(0)=f(0)，f(0)=0；
当x<0时，则−x>0，
因为当x>0时，f(x)=x2−4x+3，
所以f(−x)=(−x)2−4(−x)+3=x2+4x+3，
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(−x)=−f(x)，
所以f(x)=−x2−4x−3，
所以f(x)的表达式为：f(x)=−x2−4x−3,x<00,x=0x2−4x+3,x>0．
【解析】(1)f[f(−1)]=f[−f(1)]=f(0)=0；
(2)先根据f(x)是定义在R上的奇函数，得到f(0)=0，再设x<0时，则−x>0，结合题意得到f(−x)=(−x)2+(−x)−1=x2+4x+3，然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，x=0是此类题目的易忘点，此题属基础题．
21.【答案】解：(1)当a=12时，ax2−x+1=12x2−x+1=12[(x−1)2+1]>0恒成立，
故定义域为R，
又∵ax2−x+1=12[(x−1)2+1]≥12，且函数y=lg12x在(0,+∞)单调递减，
∴lg12(12x2−x+1)≤lg1212=1，即函数f(x)的值域为(−∞,1]；
(2)依题意可知，
i)当a>1时，由复合函数的单调性可知，必须ax2−x+1在[14,32]上递增，且ax2−x+1>0对x∈[14,32]恒成立．
故有x=12a≤14a⋅(14)2−14+1>0，解得：a≥2；
ii)当00对x∈[14,32]恒成立．
故有x=12a≥32a⋅(32)2−32+1>0，解得：29综上，实数a的取值范围为(29,13]∪[2,+∞)．
【解析】(1)把a=12代入函数解析式，可得定义域为R，利用配方法求出真数的范围，结合复合函数单调性求得函数f(x)的值域；
(2)对a>1和00对x∈[14,32]恒成立列不等式组求解a的取值范围，最后取并集得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查了复合函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，属中档题．
22.【答案】解：(1)设幂函数f(x)=xα，α为常数，由它的图象经过点(3,13)，
可得3α=13，α=−1，∴f(x)=x−1=1x．
(2)设函数g(x)=(x−2)⋅f(x)=x−2x=1−2x，
显然，函数g(x)在区间[12,1]上的单调递增，
故当x=12时，函数g(x)在区间[12,1]上的取得最小值为−3；
当x=1时，函数g(x)在区间[12,1]上的取得最大值为−1，
故函数g(x)在区间[12,1]上的值域为[−3,−1]．
【解析】(1)由题意利用待定系数法求幂函数的解析式．
(2)根据函数g(x)在区间[12,1]上的单调性，求得函数g(x)在区间[12,1]上的值域．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．

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