山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．1B．C．D．
2．下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A．B．C．D．
5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等
6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为上三点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在Rt中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为，同时点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当为何值时，与相似（ ）
A．3B．C．或D．3或
10．对于任意的实数、，定义符号的含义为之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，的取值范围为（ ）
A．或B．或
C．D．或
二、填空题
11．若，则 ．
12．如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 ．（写出一个即可）
14．如图，在等腰中，，以为圆心，以长为半径作弧，交于点，则阴影部分的面积 （结果保留）．
15．如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数的图象上，则k的值为 ．
16．如图，矩形中，，动点从点出发向终点运动，连接，并过点作，垂足为．以下结论：①；②的最小值为；③在运动过程中，扫过的面积等于；④在运动过程中，点的运动路径的长为，其中正确的有 （填写序号）
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．
20．随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（微信，支付宝，现金，其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)______，______，在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为______度；
(2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式随机选2名居民参加线上支付方式培训，请用列表法或树状图求这2名居民恰好都是女性的概率．
21．数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点处测得塔楼顶端点的仰角，则（参考数据：）
(1)点到的距离为多少米？
(2)塔顶到地面的高度约为多少米？
22．如图，点是直径延长线上一点，与相切于点延长线于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的半径长．
23．在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．
(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．
(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？
24．如图，直线与双曲线交于，两点，与轴，轴分别交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位后，与双曲线有唯一交点，的值为______．
25．如图，在矩形中，，点分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．
（1）如图②，当时，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
26．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点作于点，求坐标为何值时最大，并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了相反数的定义，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值以及相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴的相反数是．
故选：B．
2．A
【分析】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．根据主视图的特点解答即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．C
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴此函数的顶点坐标为，
故选：C．
4．B
【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是，
∴这两个相似三角形的相似比是，
∴它们的周长比是；
故选：B．
5．A
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
6．D
【分析】过作于，首先根据勾股定理求出，然后在中即可求出的值．
【详解】如图，过作于，则，
AC＝＝5．
．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，由圆周角定理求出，由等腰三角形的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，
点的坐标为，即，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．由勾股定理求出长，分两种情况，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；分别列出关于t的方程，求出t，即可解决问题．
【详解】解：由勾股定理得：，
由题意得：，
当时，
∵，
，
此时，
∴；
当时，
∵，
，
此时，
∴，
∴当t为或时，与相似．
故选：C．
10．A
【分析】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键．符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题．画出函数图象，结合图象解答即可．
【详解】解：令，
如图所示，则的值为函数较大的值，
比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．
联立方程，
解得，，
由图象可得：或时，，
此时，当时，
解得：，
当时，
或，
由图象可得：时，，
此时，当时，
解得，
当时，，
综上，时，的取值范围为或，
故选：A．
11．
【分析】由，设则再代入求值即可.
【详解】解： ，设则

故答案为：
【点睛】本题考查的是比例的性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解本题的关键.
12．/
【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵假设每个正方形的面积都为1，总面积为，其中阴影部分面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
13．1（答案不唯一，满足的值均可）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△≥0，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围．
【详解】解：由题意可得：△＝4−4a≥0，
解上式得a≤1．
故答案为：1（答案不唯一，满足的值均可）．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程的根的情况求参数，当一元二次方程的判别式△≥0时，方程有实数根，建立关于a的不等式，求得a的取值范围．
14．
【分析】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用，根据，分别求出的面积和扇形的面积即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，
，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
15．-12
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，然后结合相似三角形的性质、三角函数以及k的几何意义，即可求解．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
∴∠BDO=∠OCA=90°，
∴∠OBD+∠BOD=90°，
∵，
∴∠BOD+∠COA=90°，
∴∠OBD=∠COA，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵反比例函数的图象位于第二象限，
∴k<0，
∴k=-12．
故答案为；-12．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的性质以及三角函数，解题时注意掌握数形结合的应用，注意掌握辅助线的作法．
16．①②③④
【分析】由四边形是矩形，，得，则，即可证明，可判断①正确；取的中点E，连接，可求得，由勾股定理求得，因为，所以，则，即可求得的最小值是，可判断②正确；当点P与点D重合时，则为与矩形的对角线重合，可求得扫过的面积为，可判断③正确；可求得，则点H的运动路径的长为，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴， 故①正确；
如图1，取的中点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是，故②正确；
如图2，点H的运动路径为以的中点E为圆心，半径长为的一段圆弧，
当点P与点D重合时，则为与矩形的对角线重合，
∴扫过的面积为，故③正确；
，
，
，
，
，
∴，
∴点H的运动路径的长为，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定、旋转的性质、两点之间线段最短、解直角三角形、勾股定理的应用、三角形的面积公式、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．
【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18．，
【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
【详解】解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．见解析
【分析】根据已知和菱形的性质证明，即可得出．
【详解】证明：四边形是菱形，
，
、分别是和的中点，
，，
，
又，
，
．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
20．(1)20，18，36
(2)
【分析】本题考查了统计图，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）根据统计图中的信息列式计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是女性的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）解：（人），（人），
在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为：，
故答案为：20，18，36；
（2）解：设男生为A，女生为B，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率．
21．(1)10米
(2)47米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）过点作于点，根据坡度设，则，根据勾股定理得到方程解题即可；
（2）延长交于点，则，则四边形为矩形，在和根据解直角三角形建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
为直角三角形．
由，可设，则，
由，得，
解得或（舍去），
米，
点到的距离为10米；
（2）解：延长交于点，则，则四边形为矩形，如图，
，，
由（1）可知米，
设米，
在中，，
即，
米，
在中，，
即：，
解得．
答：塔顶到地面的高度约为47米．
22．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定与性质．
（1）根据切线的性质，得到，进而得到，由平行线的性质即可证明；
（2）由（1）可得，得到，代入数值即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，
．
．
又，
．
，
即：平分；
（2）解：在中，，
，
，
，
，
，
，即，
，
的半径为5．
23．(1)
(2)能达到50万人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案．
【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，得：
，
解得：（舍去）；
答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．
（2）解：8月份接待游客人数：（万人）
9月份接待游客人数：（万人）
第三季度接待游客总人数为：（万人）
答：第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人．
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作点A关于y轴的对称点D，连接，交y轴于点P，则此时的周长最小，先根据点B、D坐标求得直线的解析式，再结合直线的解析式，求得点P的坐标；
（3）根据平移的规律得到，令，整理得，由题意可知，据此得到关于t的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵双曲线过，两点，
∴，
∴，
∴反比例函数为，，
将点代入，得：，
解得：，
∴一次函数为；
（2）解：作点A关于y轴的对称点D，连接，交y轴于点P，则此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
代入B、D的坐标得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点P的坐标为；
（3）解：将直线向下平移t个单位后，得到，
由题意可知方程有两个相同的解，
整理得，，
∴，
解得或18，
故答案为：2或18．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查待定系数法求函数解析式、一次函数图象与几何变换，轴对称的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与方程的关系是解题的关键．
25．（1）；（2）与之间的数量关系发生变化，；（3）线段的长为或
【分析】（1）根据题意得出，即可推出，根据矩形的性质得出，则，即可得出；
（2）根据题意得出，进而得出，则
，连接，通过证明，即可得出结论；
（3）当点N在线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出，则可求出；当点M在线段上时，同理可求，则，同理可求出．
【详解】解：（1）当，则，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：；
（2）与之间的数量关系发生变化，．理由如下：
如图（1）在矩形和矩形中，
∵当时，，
∴，
∴，
如图（3），连接，
∵矩形绕点A顺时针旋转，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段的长为或．理由如下：
如图3.1，当点N在线段上时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴；
如图3.2，当点M在线段上时，
同理可求，
∴，
∴．
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．(1)
(2)当点运动到时，最大值为
(3)点的坐标为或或或
【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先通过勾股定理求出N点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算H的坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
即，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：令得：，
∴C点的坐标为，
∴为等腰直角三角形，，
设的解析式为，将与代入得：，
解得：，
∴，
过P点作轴交于点M，
∴设，则，，其中，
由题可知，为等腰直角三角形，
∴，
由二次函数的性质可得，当时，有最大值为，
∴P点纵坐标为：，
∴此时P点坐标为；
∴P坐标为时最大，最大值为；
（3）解：在平面直角坐标系中存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形；理由如下：
由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点；
①以为边，作交对称轴于，可构造矩形，如图2，
设，
∴，
，
∵，
∴，
解得，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴；
②同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，如图2，
设，
∵，
∴，
解得，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴；
③以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，如图3，
设，
∵，
∴，
解得，即，
此时设，由四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴；
设，由四点的相对位置关系可得：，
解得：，
∴；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角函数定义，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．