山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数中，属于无理数的是（ ）
A．﹣2B．0C．D．5
2．已知点的坐标为，则点在( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列命题是真命题的是( )
A．两直线平行，同旁内角相等B．同位角互补，两直线平行
C．三角形的外角等于它的两个内角的和D．对顶角相等
4．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．若点，都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．某铁工艺品商城某天销售了110件工艺品，其统计如表：
该店长如果想要了解哪个货种的销售量最大，那么他应该关注的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
7．如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为( )
A．B．C．D．
8．如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为、，于是他很快判断这个三角形是( )
A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形
9．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，则该三角形的面积为（ ）
A．10B．12C．D．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕顶点逆时针方向旋转一定角度后，点恰好与直线上的点重合，此时点恰好与点重合，则点的坐标为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．若电影院中的3排4号记作，则6排2号可以记作 ．
12．写出一个比大且比小的整数 ．
13．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ．
14．如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，若，则 ．
15．A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发 小时后和乙相遇．
16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点若的坐标为，设，则的值是 ．
三、解答题
17．计算：
18．解方程组：
19．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．

20．已知：如图，，平分，，，求的度数．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．

(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是______ ；
(2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______ ；
(3)在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标是______ ．
22．阳光中学积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验，虚拟机器人竞赛，国际象棋大赛，趣味篮球训练，经典影视欣赏……”等课程供学生自由选择一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．非常满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)该校抽样调查的学生人数为____________人，请补全条形统计图；
(2)样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为____________，“众数”所在等级为____________；（填“，，或”）
(3)若该校共有学生2000人，估计全校学生对课后延时服务满意的（包含，，三个等级）有多少人？
23．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元．
(1)求A，B两种品牌的足球的单价．
(2)该校打算通过“京东商城”网购20个足球共花w元，若购买A品牌的足球x个，求w与x的函数关系式．如果购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则学校最多需要花多少钱？
24．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
(2)求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
25．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
(1)请写出点A坐标 ，点B坐标 ，直线的函数解析式 ；
(2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．
26．综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：已知，在中，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接．
(1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系： ， ；
(2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
(3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长．
货种
A
B
C
D
E
销售量（件）
10
40
30
10
20
甲
乙
丙
环
参考答案：
1．C
【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可．
【详解】解:﹣2、0、5是有理数，是无理数．
故选：C．
【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键.
2．D
【分析】本题考查的是点的坐标，熟知第四象限内点的坐标特点是解题的关键．根据第四象限内点的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∴点A在第四象限．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握对顶角性质，三角形外角的性质，平行线的性质与判定．
根据对顶角性质，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，逐项判断即可．
【详解】解：A. 两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B. 同位角相等，两直线平行，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故此选项不符合题意；
D. 对顶角相等，原命题是真命题，故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，

，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键．
5．B
【分析】根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当 时，y随x增大而减小是解题的关键．
6．B
【分析】根据众数的概念：数据中出现次数最多的数，即可得出他应该关注的统计量．
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，所以想要了解哪个货种的销售量最大，应该关注的统计量是这组数据中的众数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查统计的相关知识，掌握平均数，众数，中位数，方差的意义是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数和二元一次方程（组的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组，注意自变量取值范围要符合实际意义．先把点，代入求出值，依据直线与直线相交于点，就可得到关于，的方程组的解．
【详解】解：把点，代入得，
，
，
关于，的方程组的解．
故选：D．
8．B
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和顶你，理解有两个角相等的三角形是等腰三角形是解决问题的关键．根据三角形的内角和定理求出被墨迹遮挡的角的度数即可判定该三角形的形状．
【详解】解：如图所示：
依题意得：，，
由三角形的内角和定理得：，
．
∴，
为等腰三角形．
故选：B．
9．B
【分析】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
x2+7x+12＝12+12＝24
∴该三角形的面积为，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
10．D
【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交轴于点，可证得；设点的横坐标为，则点的纵坐标为，则，，根据勾股定理可求得，的长度，即可求得答案．
【详解】如图所示，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作轴的垂线，交轴于点．
根据题意可知，．
根据图形旋转的性质可知，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中
∴．
∴，．
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，则，．
在中
．
即．
解得．
则，，
∴，．
∴．
∴点的坐标为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、图形旋转的性质、勾股定理，能根据题意绘制辅助线是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知“排”字前面的数字记为第一个数字，“号”字前面的为第二个数字，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵电影院中的3排4号记作，
∴6排2号可以记作，
故答案为：．
12．3（答案不唯一）
【分析】先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】解：∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键．
13．丙
【分析】本题考查方差的意义、平均数的意义，熟练掌握方差越大，表明这组数据偏离平均数越大即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．
根据甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定即可求解．
【详解】解：∵甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小，
∴丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定，
∴最合适的人选是丙，
故答案为：丙．
14．3
【分析】连接，可得，求出，然后根据含直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及含直角三角形的性质，作出合适的辅助线，构造出含的直角三角形是解题的关键．
15．
【分析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可．
【详解】由图象可得：y甲=4t（0≤t≤5）；
当1≤t≤2时，
y乙=2(t-1)=2t-2，
当t=2时，y乙=2t-2=2，
当2≤t≤4时，设y乙=kx+b，由题意得
，
∴，
∴y乙=9x-16，
∴y乙=；
由方程组，解得t=．
故答案为．
【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．
16．
【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母的值．】求出、、、的坐标，找到规律，即可求出的值．
【详解】解：根据题意，点的坐标为，
则，，，，
由此可知，每四次一循环，
因为，
所以，，
解得：，，
，
故答案为：
17．
【分析】根据二次根式的性质进行乘法运算后，再化为最简二次根式进行合并同类项即可．
【详解】
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质及其运算法则是解题的关键．
18．
【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握消元法解二元一次方程组的步骤是解题关键．
利用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入得，
解得：，
∴原方程组的解是．
19．证明见详解
【分析】要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt △ADC，进而得出角相等．
【详解】证明：∵AB⊥BC，AD⊥ DC，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt △ABC和Rt△ADC中，
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt △ADC（HL），
∴∠1= ∠2．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定是十分必要的，是正确解题的前提．
20．．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义．先利用三角形内角和定理求得的度数，再利用角平分线线的定义求得的度数，最后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
平分，
∴，
∵，
∴．
21．(1)5
(2)
(3)
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积以及关于轴、轴对称的点的坐标，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
（1）过作轴于，轴于，的面积，根据面积公式求出即可；
（2）根据点的坐标得出即可；
（3）先求出点的位置，再求出直线的解析式，再求出此时点的坐标即可．
【详解】（1）过作轴于，轴于，如图1，

的面积
，
故答案为：5；
（2）点与点关于轴对称，，
点的坐标为，
故答案为：；
（3）如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于，连接，则此时的值最小，

，
点的坐标是，
设直线的解析式是，
把点和点的坐标代入得：
，
解得：，
即直线的解析式是，
当时，，
解得：，
即点的坐标是，，
故答案为：，．
22．(1)，统计图见解析
(2)B，A
(3)估计全校学生对课后延时服务满意的（包含，，三个等级）有人
【分析】（1）用A等级的人数除以占比得出总人数，进而得出C等级的人数，并补充统计图；
（2）根据中位数与众数的定义即可求解；
（3）用样本估计总体，用2000乘以A，B，C等级的人数的占比即可求解．
【详解】（1）解：校抽样调查的学生人数为为（人），
则C等级的人数为（人），
补充统计图如图所示，
（2）解：根据题意，中位数为第个数的平均数，在B等级，A等级人数最多，则众数在B等级
∴样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为B，
“众数”所在等级为A，
故答案为：B，A；
（3）（人），
答：估计全校学生对课后延时服务满意的（包含，，三个等级）有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．(1)A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为120元；
(2)，元
【分析】（1）设A，B两种品牌的足球的单价分别为y元，z元，由等量关系：买6个A品牌足球的钱+买4个B品牌足球的钱=960元；买5个A品牌足球的钱+买2个B品牌足球的钱=640，即可列出方程组，解方程组即可；
（2）根据w=买x个A品牌足球的钱+买(20－x)个B品牌足球的钱，即可求得w与x的函数关系式；由3≤x≤7，根据所求函数的性质即可求得w的最大值．
【详解】（1）设A，B两种品牌的足球的单价分别为y元，z元
由题意得：
解方程组得：
即A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为120元
（2）
当3≤x≤7时，由于－40