专题2.11反比例函数的应用大题专练（分层培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2023春•大丰区月考）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？
【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间．
【解答】解：（1）设y=kx，
∵点（24，50）在其图象上，
∴50=k24，
∴k＝1200，
∴所求函数关系式为y=1200x．
（2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠30×4＝120（米），
当x＝120时，y=1200120=10，
答：该工程队需要用10天才能完成此项任务．
2．（2022秋•崇川区期中）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件．
（1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式；
（2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别求得销量不低于80件的天数，相加后大于等于10天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5，
∴y＝5x；
当x≥20时，设y=k2x，把（20，100）代入得k2＝2000，
∴y=2000x；
（2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天；
当x＞20时，由2000x≥80，
解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天，
共有5+5＝10（天），
因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”．
3．（2022春•工业园区校级期中）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？
（3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
（2）将x＝2入（1）中所求解析式，即可得出y的值；
（3）根据0＜x≤2.5）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：xy＝1600×0.5，
则y=800x，
即y关于x的函数表达式为y=800x；
（2）∵y=800x，
∴当x＝2时，y=8002=400，
故当动力臂长为2动石头至少需要400N的力；
（3）他不能撬动这块石头，理由如下：
∵y=800x，
∴x=800y，
∵0＜x≤2.5，
∴0＜800y≤2.5，
∴y＝320，
∵320＞300，
∴不能撬动这块石头．
4．（2022春•吴中区校级月考）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试
验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？
【分析】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y＝2分别得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，
将（4，6）代入得：6＝4k，
解得：k=32，
故直线解析式为：y=32x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，
将（4，6）代入得：6=a4，
解得：a＝24，
故反比例函数解析式为：y=24x；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=32x（0≤x≤4），
下降阶段的函数关系式为y=24x（4≤x≤10）．
（2）当y＝2，则2=32x，
解得：x=43，
当y＝2，则2=24x，
解得：x＝12，
∵12−43=323（小时），
∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间323小时．
5．（2022春•海州区校级期末）某车队要把4000吨货物运到灾区，已知每天的运输量不变．
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（吨）与运输时间t（天）之间有怎样的函数表达式？
（2）因灾区道路受阻，实际每天比原计划少运20%，推迟2天完成任务，求原计划完成任务的天数．
【分析】（1）根据每天运量×天数＝总运量即可列出函数关系式；
（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟2天完成任务”列出方程求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：nt＝4000，
∴n=4000t（t＞0），
∴每天运输的货物吨数n（吨）与运输时间t（天）之间的函数表达式为n=4000t；
（2）设原计划x天完成，根据题意得：
4000x（1﹣20%）=4000x+2，
解得：x＝8，
经检验：x＝8是原方程的根，
答：原计划8天完成．
6．（2019春•相城区期中）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
【解答】解：（1）停止加热时，设y=kx，
由题意得：50=k18，
解得：k＝900，
∴y=900x，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为（9，100），
∴B点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y=900x（9＜x≤45）；
（2）把y＝90代入y=900x，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
7．（2019春•天宁区校级期中）《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为1.0mg/L．某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标．因此立即整改，并开始实时监测据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为5mg/L；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）是监测时间x（小时）的反比例函数其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 3 mg/L；
（3）按规定所排污水中硫化物的浓度不超过0.8mg/L时，才能解除实时监测，此次整改实时监测的时间至少为多少小时？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx，根据题意求出k的值即可；
（2）根据函数关系式求出当x＝100时y的值即可；
（3）根据函数关系式求出当y＝0.8时x的值即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx，
根据题意得：k＝xy＝60×5＝300，
∴y与x之间的函数关系式为y=300x；
（2）当x＝100时，y=300100=3（mg/L），
∴整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为3mg/L；
故答案为：3；
（3）当y＝0.8时，x=3000.8=375，
即此次整改实时监测的时间至少为375小时．
8．（2022春•姜堰区月考）实验数据显示，一般成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出一般成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上21：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
（2）根据题意得出y＝20时x的值进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y＝kx，
则150＝1.5k，
解得：k＝100，
故y＝100x，
当x＞1.5时，设函数关系式为：y=ax，
则a＝150×1.5＝225，
解得：a＝225，
故y=225x（x＞1.5），
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：y=100x(0≤x≤1.5)ax(x＞1.5)；
（2）（2）在y=225x中，令y＝20得x＝11.25，
21+11.25﹣24＝8.25（小时），
所以第二天最早上7：00不能驾车去上班．
9．（2022春•丹阳市期末）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系如图所示．
（1）该蓄水池的蓄水量为 18000 m3；
（2）如果每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t（h）满足的条件是 t≥9 ；
（3）由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）把V＝2000代入V=18000t，得t＝9，由V随t的增大而减小，即可求出t的范围；
（3）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，根据题意列方程即可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例函数关系，
设函数表达式为V=kt，把（6，3000）代入V=kt，
得3000=k6．
解得：k＝18000，所以V与t之间的函数表达式为：V=18000t；
蓄水池的蓄水量为18000m3，
故答案为：18000．
（2）把V＝2000代入V=18000t，得t＝9，
∵V随t的增大而减小，
∴每小时排水量不超过2000m3，那么排完水池中的水所用的时间t（h）满足的条件是t≥9．
故答案为：t≥9．
（3）设原计划每小时的排水量为xm3，则实际每小时的排水量为（1+25%）xm3，
18000x−18000(1+0.25)x=2，
解得x＝1800．
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
10．（2022•亭湖区校级开学）给定一个函数：y＝x+1x+1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当x＝ 1 ，y有最小值为 3 ；
（3）学以致用
某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x+1x+3．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为 5 千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ 12≤x≤2 ．
【分析】（1）①把x=12和x＝3分别代入解析式即可得出结论；
②把表格中x，y的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；
（2）根据图形得出结论；
（3）①根据（2）可得结论；
②令x+1x+3≤5.5，解不等式即可．
【解答】解：（1）①∵y＝x+1x+1（x＞0），
∴当x=12时，y=12+112+1=72，
当x＝3时，y＝3+13+1=133，
∴m=72，n=133；
②如图：
（2）由图象可得：当x＝1时，y的最小值为3，
故答案为：1，3；
（3）①由（2）可知，当x＝1时，x+1x+3的最小值为5，
∴水池总造价的最低费用为5千元，
故答案为：5；
②由题意x+1x+3≤5.5，
∵x＞0，
∴2x2﹣5x+2≤0，
解得：12≤x≤2，
故答案为：12≤x≤2．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
11．（2022春•宿豫区期末）码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（min）是装载货物速度x（t/min）的反比例函数，且当x＝2t/min时，y＝300min．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）如果要在180min内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到0.01t/min）？
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx，把x＝2，y＝300代入即可求解；
（2）利用函数关系式，当y＝180时，求出x，即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx，
把x＝2，y＝300代入，得300=k2，
解得k＝600，
所以y与x之间的函数表达式为y=600x；
（2）∵y=600x，
∴当y＝180时，180=600x，
解得x=103．
答：如果要在180min内装完货物，那么装载货物的速度至少为103t/min．
12．（2022春•亭湖区校级期末）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
（1）制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
（2）小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，分别求解y＝50，y＝23时x的值，从而可得答案．
【解答】解：（1）设生产1支单针疫苗需要amin，生产1支双针疫苗需要bmin．
根据题意得：3a+2b=192a+b=11，
解得：a=3b=5，
答：生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
（2）当x＞0.7时，设函数解析式为y=mx，
将（0.7，910）代入，
解得m＝637，故y=637x，
当y＝50时，则x=63750=12.74，
当y＝23时，则x=63723≈27.7，
所以小明应在打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到27天内．
13．（2022春•姜堰区期末）你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度．
【分析】（1）根据反比例函数图象经过点（4，32），利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）把x＝1.6代入函数解析式，计算即可求出总长度y的值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx，
∵反比例函数图象经过点（4，32），
∴k4=32，解得k＝128，
∴y与x的函数关系式是y=128x（x＞0）；
（2）当x＝1.6时，y=1281.6=80．
答：面条的总长度是80m．
14．（2022春•仪征市期末）如图，某养鸡场利用一面长为11m的墙，其他三面用栅栏围成矩形，面积为60m2，设与墙垂直的边长为xm，与墙平行的边长为ym．
（1）直接写出y与x的函数关系式为 y=60x ；
（2）现有两种方案x＝5或x＝6，试选择合理的设计方案，并求此栅栏总长．
【分析】（1）利用矩形的面积计算公式可得出xy＝60，变形后即可得出结论；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出当x＝5和x＝6时的y值，结合墙长11m，即可得出应选x＝6的设计方案，再将其代入2x+y中即可求出此栅栏的总长．
【解答】解：（1）依题意得：xy＝60，
∴y与x的函数关系式为y=60x．
故答案为：y=60x．
（2）当x＝5时，y=605=12，
∵12＞11，
∴不符合题意，舍去；
当x＝6时，y=606=10，
∵10＜11，
∴符合题意，此栅栏总长为2x+y＝2×6+10＝22．
答：应选择x＝6的设计方案，此栅栏总长为22m．
15．（2022春•盐城期末）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
②王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
②8点至11点30分时间长为72小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/小时，从而得答案．
【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v=480t（t≥4）．
（2）①8点至13点时间长为5小时，8点至14点时间长为6小时，
将t＝6代入v=480t得v＝80；
将t＝5代入v=480t得v＝96．
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤96．
②王老师不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为72小时，
将t=72代入v=480t得v=9607＞120千米/小时，超速了．
故王老师不能在当天11点30分前到达B地．
16．（2022春•洪泽区期末）如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
（1）直接写出y与x之间的函数表达式 y=3000x ；
（2）若图象的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间y（min）与速度x（m/min）之间的关系，则：
①老李家距离单位 3000 m；
②若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少m/min才能不迟到？
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义得出12|k|＝1500，结合图象所在的象限确定k的值，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②将y＝40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx．
∵点A是反比例函数图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500，
∴12|k|＝1500，
∴k＝±3000，
∵k＞0，
∴k＝3000，
∴y与x之间的函数表达式为y=3000x．
故答案为：y=3000x；
（2）①由题意可知，y=3000x，
∴老李家距离单位3000m．
故答案为：3000；
②∵y=3000x，
∴当y＝60﹣15﹣5＝40时，3000x=40，
解得x＝75．
∵在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∴老李步行速度至少为75m/min才能不迟到．
17．（2022春•海州区期末）如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为10℃，加热5分钟使材料温度达到20℃时停止加热．停止加热后，过一段时间，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．
（1）分别求出该材料加热过程中和材料温度逐渐下降过程中，y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）根据工艺要求，在材料温度不低于16℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？
【分析】（1）直接利用待定系数法分别得出一次函数与反比例函数解析式；
（2）利用y＝16，分别代入解析式进而得出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）设线段AB解析式为：y＝kx+b，代入（0，10）（5，20），
b=105k+b=20，
解得：k=2b=10，
可得：y＝2x+10（0≤x≤5），
双曲线CD解析式为：y=kx(k≠0)，
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y=200x(10≤x≤24)；
（2）把y＝16代入y=200x中，
解得：x=252，
y＝16代入y＝2x+10，
解得：x＝3，
∴252−3=192（分钟），
答：该材料进行特殊处理所用的时间192分钟．
18．（2022•仪征市二模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在24周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为T（单位：千套），当0＜x≤8时，T与x+4成反比；当8＜x≤24时，T﹣2与x成正比，并预测得到了如表中对应的数据．设第x周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K与x满足如图中的函数关系图象：
（1）求T与x的函数关系式；
（2）观察图象，当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为 K＝﹣x+44 ．
（3）设第x周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则：
①在这24周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由．
②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T的最小值和最大值．
【分析】（1）通过待定系数法求函数关系式．
（2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解．
（3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答案．
【解答】解：（1）当0＜x≤8时，设T=mx+4（m≠0），
根据表格中的数据，当x＝8时，T＝10，
∴10=m8+4，
解得：m＝120，
∴当8＜x≤24时，设T﹣2＝nx（n≠0），
根据表格中的数据，当x＝24时，T＝26，
∴26﹣2＝24n，
解得：n＝1，
∴T﹣2＝x，
∴T＝x+2，
综上所述T与x的函数关系式为：
∴120x+4(0＜x≤8)x+2(8＜x≤24)；
（2）当12≤x≤24时，设K与x的函数关系式为K＝kx+b，
将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20代入得：
12k+b=3224+b=20，
解得：k=−1b=44，
∴当12≤x≤24时，K与x的函数关系式为K＝﹣x+44，
故答案为：K＝﹣x+44；
（3）①存在，不变的值为240，
由函数图像得：当0＜x≤12时，设K与x的函数关系式为K＝k1x+b1，
将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32代入得：
b1=812k1+b1=32，
解得：k1=2b1=8，
∴当0＜x≤12时，K与x的函数关系式为K＝2x+8，
∴当0＜x≤8时，y＝KT＝（2x+8）120x+4=240；
当8＜x≤12时，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16；
当12＜x≤24时，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88，
综上所述，在这24周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为240．
②当8＜x≤12时，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣3，
∴（Ⅰ）当8＜x≤12时，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
当2（x+3）2﹣2＝286时，
解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）；
当x＝12时，y取最大值，最大值为448，满足286≤y≤504；
当x＝9时，周销售量T的最小值为11；当x＝12时，T取最大值14；
（Ⅱ）当12＜x≤24时，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x﹣21）2+529，抛物线的对称轴为x＝21，
当x＝12时，y取最小值，最小值为448，满足286≤y≤504；
当﹣（x﹣21）2+529＝504时，
解得：x1＝16，x2＝26（舍去）；
当x＝12时，周销售量T取最小值为14；当x＝16时，T取最大值18；
综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504时，对应周销售量T的最小值是11千套，最大值是18千套．
19．（2022春•玄武区期末）已知A，B两地相距480千米，小明驾车从A地出发，匀速驶往B地参加活动．
（1）设小明行驶的时间为x小时，行驶速度为y千米/时，写出y关于x的函数表达式 y=480x ；
（2）若从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/时，小明早上8：00出发，则他到达B地最早的时刻是 12：00 ；
（3）活动结束后，小明按原路返回．返回的速度比他出发的速度每小时快10千米，返回到A地所需时间是他从A地到B地所需时间的56倍，求小明返回到A地所需时间．
【分析】（1）根据等量关系列出函数表达式即可；
（2）根据速度×时间＝路程计算即可；
（3）根据题目中的等量关系正确列出分式方程解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知：y关于x的函数表达式为y=480x；
（2）当从A地到B地全程速度为120千米/时，所需要的时间为480120=4小时，
∴从A地到B地全程速度限定为不超过120千米/时，最少需要4小时，
∵小明早上8：00出发，
∴他到达B地最早的时刻是12：00；
（3）设小明从A地到B地的时间为t小时，
根据题意可得：480t+10=48056t，
解得：t=485，
经检验：t=485是原分式方程的解且符合实际，
当t=485时，56t=8，
答：小明返回到A地所需时间为8小时．
20．（2022春•秦淮区期末）某工厂接到任务，紧急生产规定数量的口罩，下表是每小时生产口罩的数量x（万只）与完成任务需要的时间y（小时）的部分对应数值．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若完成这项任务不超过18小时，则每小时至少需要生产多少口罩？
【分析】（1）根据表格中数据得出每时生产口罩的数量与时间的积一定，即可得出反比例函数解析式；
（2）由于完成这项任务不超过18小时，所以y≤18，进而将y≤18代入求出答案．
【解答】解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例，
∴xy＝2×72＝144，
即：y=144x．
（2）∵完成这项任务不超过18小时，
∴144x≤18，
即x≥8，
∴每小时至少需要生产8万只口罩．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
21．（2022春•南京期末）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车的速度v与时间t的函数表达式；
（2）如果该司机必须在5h之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？
【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式；
（2）由题意可得480v≤5，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，两地路程为80×6＝480（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v=480t．
（2）由v=480t，得t=480v，
又由题知：t≤5，
∴480v≤5．
∵v＞0
∴480≤5v．
∴v≥96．
答：返程时的平均速度不能低于96km/h．
22．（2022•滨海县模拟）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得b=2010k+b=100，
解得：k=8b=20，
∴此函数解析式为：y＝8x+20；
（2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y=mx，
依据题意，得：100=m10，
即m＝1000，
故y=1000x，
当y＝20时，20=1000t，
解得：t＝50；
（3）∵70﹣50＝20＞10，
∴当x＝20时，y=100020=50，
答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃．
23．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等．
【数学概念】
点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）=y2−y1x2−x1．
【数学理解】
（1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值．
（2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y=5x（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 （12，10） ．
（3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围．
【问题解决】
（4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表：
当x＝100时，y的值为 56 ．
【分析】（1）根据题目中k（AA，B）的计算方法代入计算即可得出结果；
（2）根据题意得出x3•x4=54，与题中已知条件联立求解即可得；
（3）先根据题意得出k（E，FE），利用不等式的性质即可得出结果；
（4）利用题中结论将数据代入求解即可．
【解答】（1）证明：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，
∴y1＝﹣2x1+4，y2＝﹣2x2+4，
∴k（A，B）=y2−y1x2−x1=−2x2+4−(−2x1+4)x2−x1=−2x2+4+2x1−4x2−x1=−2(x2−x1)x2−x1=−2，
∴k（A，B）是一个定值，这个定值为﹣2；
（2）解：∵点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y=5x（x＞0）图象上不同的两点，
∴y3=5x3，y4=5x4，
∴k（C，D）=y4−y3x4−x3=5x4−5x3x4−x3=−5x3⋅x4=−4，
∴x3•x4=54，
又∵x4﹣x3＝2，
∴联立方程组x4−x3=2x3⋅x4=54，
解得x3=12x4=52，
∴y3=5x3=512=10，
∴C（12，10），
故答案为：（12，10）；
（3）解：∵点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，
∴y5＝﹣2x 52+8x5﹣3，y6＝﹣2x 62+8x6﹣3，
∴k（E，F）=y6−y5x6−x5=−2x62+8x6−3+2x52−8x5+3x6−x5=8﹣2（x5+x6），
∵x5+x6＜2，
∴﹣2（x5+x6）＞﹣4，
∴﹣2（x5+x6）+8＞4，
∴k（E，F）＞4；
（4）解：∵y与x的关系是二次函数，
∴设y与x的函数解析式为y＝ax2+bx+c，
把x＝80，y＝36.8，x＝82，y＝38.54，x＝90，y＝45.9代入解析式得：
6400a+80b+c=36.86724a+82b+c=38.548100a+90b+c=45.9，
解得：a=0.005b=0.06c=0，
∴y与x的函数解析式为y＝0.005x2+0.06x，
∴当x＝100时，y＝0.005×10000+0.06×100＝56．
故答案为：56．
24．（2022春•兴化市月考）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物点燃后的时间x（min） 成正比例关系，药物燃尽后，y与x成反比例关系（如图）．已知药物点燃8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．
（1）分别求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间函数的表达式．
（2）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体是安全的，那么从开始药薰，至少经过多少时间后，学生才能进教室？
（3）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
【分析】（1）利用待定系数法可得出答案；
（2）当y＝1.6时，代入y=48x可得出答案；
（3）将y＝3分别代入y=34x，y=48x，得出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k=34，
所以药物燃烧时y关于x的函数关系式是y=34x，自变量 x 的取值范围是0≤x≤8；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y=mx，
把（8，6）代入得：
m＝48，
所以药物燃烧后y与x的函数关系式为y=48x，
（2）当y＝1.6时，代入y=48x，
得x＝30，
那么从药薰开始，至少需要经过 30 分钟后，学生才能回到教室；
（3）此次灭蚊有效，
将y＝3分别代入y=34x，y=48x，
得，x＝4和x＝16，
那么持续时间是16﹣4＝12（min）＞10min，
所以能有效杀灭室内的蚊虫．
25．（2022春•姑苏区校级期中）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为 300 千米；
（2）求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（3）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由．
【分析】（1）根据s＝vt，即可得s的值．
（2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设v=kt，利用待定系数法求出k即可．
（3）根据时间t＝2.5，求出速度，即可判断．
【解答】解：（1）由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设v=kt，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
即s＝300．
故答案为：300．
（2）由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，
设v=kt，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300，
∴v=300t（t≥3）．
（3）不能，理由：
∵10﹣7.5＝2.5，
∴t＝2.5时，v=3002.5=120＞100，
∴汽车上午7：30从甲地出发，不能在上午10：00之前到乙地．
26．（2021秋•海门市期末）某汽车油箱的容积为70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？
【分析】（1）利用公式：路程=总容积平均耗油，即可得出汽车能够行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）之间的函数关系式；
（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．
【解答】解：（1）汽车能够行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）之间的函数关系为：
s=70b（b＞0）；
（2）去省城的耗油量＝300×0.1＝30（升），
返回县城的油耗量＝30×2＝60（升），
∵30+60＞70，
∴还需加油30+60﹣70＝20（升）．
答：不加油不能回到县城，还需加油20升．
27．（2021秋•如皋市期末）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．
【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y=kx，
∵点（1，180）在该函数图象上，
∴180=k1，得k＝180，
∴y=180x，
当x＝4时，y=1804=45，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，
∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上，
∴4a+b=455a+b=60，
解得a=15b=−15，
∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，
180x≤9015x−15≤90，
解得2≤x≤7
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
28．（2022春•靖江市校级期末）我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当x≤20时，y与x是正比例函数关系；当x≥20时，y与x是反比例函数关系）．
（1）根据图象求当x≥20时，y与x之间的函数关系式；
（2）当x≥20时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始？
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
（2）结合所求解析式，把y＝140代入求出答案．
【解答】解：（1）设当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y=kx，
图象过（20，280），
则k＝20×280＝5600，
解得：k＝5600，
y与x之间的函数关系式是y=5600x；
（2）当x≤20时，140＝14x，
解得：x＝10．
当x≥20时，140=5600x，
解得：x＝40，
答：体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第40天开始．
29．（2022春•江都区校级月考）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息：信息1：第一场销售产品49台，第二场销售产品48台，且销售量y与x是一次函数关系；信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场至第29场浮动价与销售场次x成正比，第30场至第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式 y＝50﹣x ；
（2）求p与x函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）设第x场产品的销售量为y（台），根据信息1：已知第一场销售产品49台，第二场销售产品48台，即可求出y与x之间满足的函数关系式；
（2）设基本价为b，①当1≤x≤29时，设D与x的函数关系式为p＝ax+b；②当30≤x≤40时，设p与x的函数关系式为p=mx+b，根据题意列方程即可得到结论；
（3）设每场获得的利润为w（万元）．根据利润＝（销售单价﹣每台成本）×销售量，分①1≤x≤29；②30≤x≤40两种情况，分别列出w与x的解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围求出w的最大值，最后比较即可．
【解答】解：（1）由题意，可得y与x的函数关系式为y＝50﹣x；
故答案为：y＝50﹣x；
（2）设基本价为b，
①当1≤x≤29时，
设D与x的函数关系式为p＝ax+b；
依题意得3a+b=10⋅610a+b=12，
解得a=15b=10，
∴p=15x+10，
②当30≤x≤40时，
设p与x的函数关系式为p=mx+b，
即p=mx+10．
依题意得14.2=m25+10，
解得m＝105，
∴p=105x+10；
（3）设每场获得的利润为w（万元）．
①当1≤x≤29时，w=(15x+10−10)(50−x)=−15x2+10x=−15(x−25)2+125，
∵抛物线的开口向下，
∴当x＝25时，w最大，最大利润为125（万元）；
②当30≤x≤40时，w=(105x+10−10)(50−x)=5250x−105，
∵w随x的增大而减小，
∴当x＝30时，w最大，最大利润为525030−105=70（万元），
∵70＜125，
∴在这40场产品促销会中，第25场获得的利润最大，最大利润为125万元．
30．（2021春•金坛区期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
（2）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝10代入y=200x中，即可求得结论．
【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：y=kx（k≠0），
∵C（10，20），
∴k＝200，
∴双曲线CD的解析式为：y=200x（10≤x≤24）；
（2）把y＝10代入y=200x中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
31．（2022春•兴化市期末）对某种气体来说，质量不变时，它的密度ρ（kg/m3）跟它的体积V（m3）成反比例．当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3．
（1）求ρ与V的函数关系式；
（2）当V＝2m3时，求这种气体的密度ρ．
【分析】（1）因为某种气体的密度ρ（kg/m3）跟它的体积V（m3）成反比例，所以设出函数解析式，当V＝10时，ρ＝1.43，代入即可求解；
（2）令V＝2，利用解析式求出ρ．
【解答】解：（1）∵这种气体的密度ρ（kg/m3）跟它的体积V（m3）成反比例，
∵设ρ=kV，
∵当V＝10m3时，ρ＝1.43kg/m3，
∴k10=1.43，
∴k＝14.3，
∴ρ与V的函数关系式为ρ=14.3V；
（2）当V＝2时，ρ=14.3V=14.32=7.15
∴这种气体的密度ρ为7.15kg/m3
32．（2021春•海州区期末）已知蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A，那么该用电器的可变电阻至少是多少？
【分析】（1）反比例函数经过点（10，4），代入反比例函数式，即可求得函数解析式．
（2）I≤8时，根据反比例函数的单调递减性质，求电阻R的范围．
【解答】解（1）设反比例函数表达式为I=kR （k≠0）
将点（10，4）代入得4=k10
∴k＝40
∴反比例函数的表达式为I=40R
（2）由题可知，当I＝8时，R＝5，
且I随着R的增大而减小，
∴当I≤8时，R≥5
∴该用电器的可变电阻至少是5Ω．
33．（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求得x的取值范围，从而确定天数；
（3）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当0＜x≤30时，设y＝k1x，把（30，120）代入得k1＝4，∴y＝4x；
当x≥30时，设y=k2x，把（30，120）代入得k2＝3600，
∴y=3600x；
（2）当0＜x≤30时，由4x＜36，
解得：x＜9，
即0＜x＜9；
当30＜x≤100时，由3600x＜36，
解得：x＞100，
不合条件，
∴共有8天；
（3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天；
当x＞30时，由3600x≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天，
共有6+6＝12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
34．（2021春•江都区校级期末）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.9毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）根据（1）中的解析式列出关系式，进一步求解可得答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤12时，设y＝ax（a≠0）；当x≥12时，设y=kx（k≠0）．
将（12，9）代入y＝ax，
得：9＝12a，解得：a=34，
∴y=34x（0≤x≤12）．
将（12，9）代入y=kx，
得：9=k12，解得：k＝108，
∴y=108x（x≥12）．
故正比例函数解析式是y=34x（0≤x≤12），反比例函数解析式是y=108x（x≥12）；
（2）当y＝0.9时，108x=0.9，
解得：x＝120，
120分钟＝2小时，
答：从药物释放开始，至少需要经过2小时后，学生才能进入教室．
35．（2022秋•如皋市校级月考）为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．
（1）求每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；
（2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以写出每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以分别求得两段对应的利润的最大值，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y与x的函数关系式为y=kx，
∵点（4，40）在该函数图象上，
∴40=k4，得k＝160，
∴当4≤x≤8时，y与x的函数关系式为y=160x，
当8＜x≤28时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
8a+b=2028a+b=0，
解得a=−1b=28，
即当8＜x≤28时，y与x的函数关系式为y＝﹣x+28，
由上可得y=160x(4≤x≤8)−x+28(8＜x≤28)；
（2）设利润为w元，
当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）•160x=160−640x，
∵k＝﹣640，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，w取得最大值，此时w＝160−6408=80，
当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）（﹣x+28）＝﹣（x﹣16）2+144，
∴当x＝16时，w取得最大值，此时w＝144，
∵144＞80，
∴当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元，
答：当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元．
36．（2021春•宝应县期末）为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系式为y＝2x，其图象为图中线段OA，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n），当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，如果后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能否能让人进入教室？请通过计算说明．
【分析】根据题意确定点A（5，10），则反比例函数表达式为y=50x，当x＝55时，y=5055＜1，即可求解．
【解答】解：一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，
当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），
设反比例函数表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，
故反比例函数表达式为y=50x，
当x＝55时，y=5055＜1，
故一班学生能安全进入教室．
37．（2021春•仪征市期末）你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）是面条粗细横截面积xcm2 的反比例函数，当x＝0.04时，y＝3200．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若面条的总长度是6400cm，求面条的横截面积．
【分析】（1）根据反比例函数图象经过点（0.04，3200），利用待定系数法进行解答；
（2）把y＝6400代入函数解析式计算即可求出面条的横截面积．
【解答】解：（1）设反比例函数图象设解析式为：y=kx，
由图得，反比例函数上一点坐标为（0.04，3200）代入：y=kx，
有3200=k0.04，
解得：k＝128，又题中实际意义需x＞0，
∴y与x的函数表达式为：y=128x（x＞0）；
（2）令y＝6400得：6400=128x，
解得：x＝0.02，
答：面条的横截面积0.02cm2．
38．（2021春•建邺区校级期末）某商场出售一批衬衫，衬衫的进价为80元/件．在试销售期间发现，定价在某个范围内时，该衬衫的日销售量w（件）是日销售价a（元）的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每天可售出30件．
（1）求出w与a之间的函数表达式；
（2）若商场计划销售此种衬衫的日销售利润为1000元，则其售价应定为多少元？
【分析】（1）因为w与a成反比例函数关系，可设出函数式w=ka，然后根据当售价定为100元/件时，每天可售出30件可求出k的值．
（2）设单件是a元，根据每天可售出30件，且利润为1000元，根据利润＝售价﹣进价可列方程求解．
【解答】解：（1）设函数式为w=ka，
30=k100，
解得：k＝3000，
故w与a之间的函数表达式为：w=3000a；
（2）根据题意可得：
3000a（a﹣80）＝1000，
解得：a＝120．
经检验：a＝120是原分式方程的解．
答：此种衬衫的日销售利润为1000元，其售价应定为120元．
39．（2021春•盐城期末）为防控新冠疫情，某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，先进行5min的药物喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风．教室内每立方米空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系．
（1）求药物喷洒后空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数表达式；
（2）如果室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于20分钟，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？
【分析】（1）分类讨论：当5≤x＜15时，利用y＝10﹣0.2（x﹣5）得到y与x的关系式；当x≥15时，y与x为反比例函数关系式，k＝8×15；
（2）计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与20比较大小即可判断此次消毒是否有效．
【解答】解：（1）当5≤x＜15时，设含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（5，10）和（15，8）代入y＝kx+b得，10=5k+b8=15k+b，
解得：k=−0.2b=11，
∴y＝﹣0.2x+11；
当x≥15时，设含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数表达式为y=mx，
把（15，8）代入y=mx得，8=m15，
∴m＝120，
∴y=120x；
（2）此次消毒有效．
理由如下：
当y＝5时，2x＝5，解得x＝2.5，
当y＝5时，120x=5，解得x＝24，
因为24﹣2.5＝21.5＞20，
所以此次消毒有效．
40．（2021春•江都区期末）我们已经学习了正比例函数y＝kx和反比例函数y=mx的图象和性质，下面，我们研究函数y＝kx+mx的图象和性质．
我们不妨特殊化，设k＝1，m＝1，即y＝x+1x．
（1）①函数y＝x+1x的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
②容易发现，当x＞0时，y＞0；当x＜0时，y＜0．由此可见，图象在第 一、三 象限；
③阅读材料：当x＞0时，y＝x+1x=(x)2+(1x)2=(x−1x)2+2≥2．
当x=1x时，即x＝1，y有最小值是2．
请仿照上述过程，求出当x＜0时，y的最大值；
（2）为了画函数y＝x+1x的图象，小明通过列表，描点画出了如图，请连线；
（3）观察图象，当y随着x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 x≤﹣1或x≥1 ；
（4）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为d=19v2，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值．
【分析】（1）①借助分式分母不能为零求解；②根据横纵坐标符号，判断象限；③将x代入表达式仿照x＞0时求证．
（2）用光滑的曲线连接．
（3）直接用图象可求得答案．
（4）依据题意，车队行驶的路程为（185+4×10+9×d）m，速度是v，时间=路程速度，列出解析式求最值．
【解答】（解：（1）①函数y＝x+1x，根据分式分母不能为零得，x≠0，
故答案为x≠0．
②当x＞0时，y＞0，点在第一象限；当x＜0时，y＜0．点在第三象限，
故答案为一、三．
③当x＜0时，x＝﹣（−x）2，
y＝x+1x
＝﹣（−x）2﹣（1−x）2
＝﹣[（−x−1−x）2+2]
＝﹣（−x−1−x）2﹣2≤﹣2，
即当−x=1−x，x＝﹣1时，y有最大值﹣2．
（2）如图，
（3）由图象可得，当y随着x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 x≤﹣1或x≥1．
（4）每辆车长4m，相邻两车的距离d（m），从第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道车队走过路程为（185+4×10+9d）m，
∴t=185+4×10+9dv，
∵d=19v2，
∴t＝v+225v，
由题意知，当v=225v时，t有最小值，此时解得v＝15，
∴t的最小值为t＝15+15＝30（s）．
x
…
14
13
12
1
2
3
4
…
y
…
214
133
m
3
72
n
214
…
x/周
8
24
T/千套
10
26
x
2
3
4
6
y
72
48
36
24
汽车速度x
78
80
82
84
86
88
90
停车距离y
35.1
36.8
38.54
40.32
42.14
44
45.9
v（千米/小时）
50
60
75
80
t（小时）
6
5
4
3.75
x（场）
3
10
35
p（万元）
10.6
12
13