专题2.9反比例函数的图象与性质大题专练（分层培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2022春•镇平县期中）已知反比例函数y＝的图象经过A（2，﹣4）．
①求k的值．
②这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
③画出函数的图象．
④点B（﹣2，4），C（﹣1，5）在这个函数的图象上吗？
2．（2023•沭阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（n≠0）的图象与一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（a，﹣3）．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）结合图象，当y1＞y2时直接写出自变量x的取值范围．
3．（2022春•盐都区期中）已知函数经过点（1，4）．
（1）求k的值；
（2）完成下列表格，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）利用图象直接求出当x＞1时，y的取值范围是 ．
4．（2022秋•启东市月考）如图，反比例函数的图象经过点（2，4）和点A（a，2）．
（1）求该反比例函数的解析式和a的值；
（2）若点A先向左平移m（m＞0）个单位长度，再向下平移m个单位长度，仍落在该反比例函数的图象上，求m的值．
5．（2022秋•如皋市期中）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8．边BC落在x轴上，E是AB的中点，连接DE，反比例函数y＝的图象经过点E，与CD交于点F．
（1）若B（3，0），求F点坐标；
（2）若DF＝DE，求反比例函数的解析式．
6．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE＝2CE．
（1）求证：BD＝2AD；
（2）若四边形ODBE的面积是6，求k的值．
7．（2022春•淮安区期末）如图，A、B分别是x轴正半轴上和y轴正半轴上的点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）若点C坐标为（2，3），则k的值为 ；
（2）若A、B两点坐标分别A（2，0），B（0，2）；
①则k的值为 ；
②此时点D （填“在”、“不在”或者“不一定在”）该反比例函数的图象上；
（3）若C、D两点都在函数y＝的图象上，直接写出点C的坐标为 ．
8．（2022秋•顺德区期末）反比例函数．
（1）画出反比例函数的图象；
（2）观察图象，当y≥﹣1时，写出x的取值范围．
9．（2023•黔江区一模）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
10．（2021秋•神木市期末）已知反比例函数y＝（k为常数）．
（1）若函数图象在第二、四象限，求k的取值范围；
（2）若x＞0时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
11．（2021秋•富平县期末）已知反比例函数y＝，分别根据下列条件求出字母m的取值范围．
（1）函数图象位于第一、三象限；
（2）在每一象限内，y随x的增大而增大．
12．（2021秋•遵化市期末）已知反比例函数y＝（m﹣2）
（1）若它的图象位于第一、三象限，求m的值；
（2）若它的图象在每一象限内y的值随x值的增大而增大，求m的值．
13．（2021秋•城固县期末）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）取一个你认为符合条件的K值，写出反比例函数的表达式，并求出当x＝﹣6时反比例函数y的值．
14．（2021秋•淮南月考）类比反比例函数的图象与性质的学习过程，小欣进一步研究了函数的图象与性质．其过程如下：
（1）绘制函数图象
①列表：
②描点：根据表中的数值描点（x，y）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）
①函数值y随x的增大而减小： ．
②函数图象关于原点对称： ．
③函数图象与直线x＝﹣1没有交点： ．
15．（2022春•封丘县期中）阅读下列材料，完成任务：
我们知道，用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？其图象与函数的图象有何关系吗？下面是小明同学对函数的图象画法的部分探究过程：
解：（1）列表、取值（这里自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1）：
（2）描点连线．
任务：
Ⅰ请在下面的平面直角坐标系中将函数图象补充完整．
Ⅱ联想函数的图象和性质，根据下列要求，回答问题：
①函数的图象是由函数的图象向 平移 个单位长度得到的；
②仔细观察图象，归纳函数的函数值y随自变量x的增减变化情况．
16．（2021秋•潍坊期末）某校九年级数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，通过描点、连线的方式画出了该函数的图象如图所示．
请结合图象回答下列问题：
（1）①函数的自变量x的取值范围是 ；
②请尝试写出函数的一条性质： ．
（2）经观察发现，将函数的图象平移后可以得到函数的图象，请写出一种平移方法．
（3）在上述平面直角坐标系中，画出y＝x+2的图象，并结合图象直接写出不等式的解集．
17．（2021秋•景德镇期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程：
（1）画函数图象：
列表：
直接写出上表中a，b的值：a＝ ；b＝ ；并描点、连线得到函数图象：
（2）观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①该函数图象由两支曲线组成，两支曲线分别位于第一、三象限内；
②该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③y的值随x值的增大而减小；
④该函数最小值为﹣4，最大值为4．
其中错误的是 ；（请写出所有错误命题的序号）
（3）结合图象，直接写出不等式的解集： ．
18．（2022•兰考县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点，在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值时y＝1，求自变量x的值．
19．（2021秋•西华县期末）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y1），，，D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2.（填“＞”“＜”或“＝”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝﹣1右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3﹣y4，求x3+x4的值．
20．（2021春•卧龙区期中）在函数的学习过程中，我们经历了“确定函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习过程我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，写出该函数的增减性： ；
（3）函数的图象可由函数的图象得到，其对称中心的坐标为 ；
（4）根据上述经验回答：函数的图象可由函数的图象得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当y≤1时，x的取值范围是 ．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
21．（2021春•海淀区校级期中）已知函数y＝﹣3，对该函数及图象进行如下探究：
（1）写出函数的自变量取值范围： ；
（2）请把表格补充完整：
（3）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合上述函数的图象，直接写出方程﹣3＝x﹣1的一个近似解 （保留一位小数）．
22．（2021•沙坪坝区校级三模）学习函数时，我们经历“确定函数表达式、画函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用图象解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数y1＝性质及其应用的部分过程，请你按要求完成下列问题．（
1）列表，y1与x的几组对应值列表如下：m＝ ；n＝ ；
（2）描点、连线，在如图所示的平面直角坐标系中，根据上表中的数据绘制该函数图象，并写出该函数的一条性质： ．
（3）已知函数图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出当y1≤y2时，自变量x的取值范围是 ．（结果保留1位小数，误差不超0.2）
23．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……
探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．
（1）画出函数图象．
①列表：
②描点并连线．
（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：① ，② ；
（3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 平移 个单位，其对称中心的坐标为 ．
（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 时，y≥3．
24．（2022春•晋安区期末）已知函数y＝x+，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．下表是y与x的几组对应值：
请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．
（1）其中m＝ ．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律．
25．（2021秋•汤阴县期末）请根据学习函数的经验，将下列探究函数y＝图象与性质的过程补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值，请写出其中m、n的值；m＝ ，n＝ ；
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： ；
（5）根据图象直接写出＞﹣1时x的取值范围： ．
26．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．
（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；
（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．
27．（2021秋•长安区校级期末）反比例函数y＝（x＜0，k＜0）和y＝（x＜0）的图象如图所示，点P（m，0）是x轴上一动点，过点P作直线AB⊥x轴，交两图象分别于A、B两点．
（1）若m＝﹣1，线段AB＝9时，求点A、B的坐标及k值；
（2）雯雯同学提出一个大胆的猜想：“当k一定时，△OAB的面积随m值的增大而增大．”你认为她的猜想对吗？说明理由．
28．（2021•老河口市模拟）函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：表格法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数y＝+m的探究．下表是函数y与自变量x的几组对应值：
（1）函数y＝+m自变量x的取值范围为 ．
（2）根据表格中的数据，得k＝ ，m＝ ．并在右面平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（3）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质： ．
（4）利用所学函数知识，仔细观察上面表格和函数图象，直接写出不等式＞﹣m+2x﹣5的解集．
29．（2021•碑林区校级模拟）小明在学习过程中遇到了一个函数y＝+1，小明根据学习反比例函数y＝的经验，对函数y＝+1的图象和性质进行了探究．
（1）画函数图象：[问题1]函数y＝+1的自变量x的取值范围是 ；
①列表：如表．
②描点：点已描出，如图所示．
③连线：[问题2]请你根据描出的点，画出该函数的图象．
（2）探究性质：根据反比例函数y＝的图象和性质，结合画出的函数y＝+1图象，回答下列问题：
[问题3]①该函数的图象是具有轴对称性和中心对称性，其对称中心的坐标是 ；
[问题4]②该函数图象可以看成是由y＝的图象平移得到的，其平移方式为 ；
[问题5]③结合函数图象，请直接写出+1≥﹣1时x的取值范围 ．
30．（2021春•巢湖市期末）让我们一起用描点法探究函数y＝的图象性质，下面是探究过程，请将其补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
根据取值范围写出y与x的几组对应值，补全下面列表：
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各组对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察画出的函数图象，写出：
①y＝5时，对应的自变量x值约为 ；
②函数y＝的一条性质： ．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：60分钟）
31．（2020•渝中区校级开学）启航同学根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
（2）列表，找出y与x的几组对应值，列表如下：
其中，a＝ ．
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质： ．
32．（2020春•北仑区期末）小王为探究函数y＝（x＞3）的图象经历了如下过程．
（1）列表，根据表中x的取值，求出对应的y值，将空白处填写完整；
（2）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象；
（3）结合由y＝（x＞0）图象到y＝图象的变化，猜想由y＝的图象经过向 的平移变化可以得到y＝（x≠﹣3）图象．y＝（x≠﹣3）的对称轴是 ．
33．（2023•深圳模拟）小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
②描点：根据表中的数值描点（x，y）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质：下列说法不正确的是
A．函数值y随x的增大而减小
B．函数图象不经过第四象限
C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点
D．函数图象对称中心（﹣1，0）
（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝ ．
34．（2022秋•荥阳市校级期末）小吕在学习了反比例函数知识后，结合探究反比例函数图象与性质的方法，对新函数y＝﹣1及其图象进行如下探究．
（1）自变量x的取值范围是 ，x与y的几组对应值如表：
其中m＝ ．（结果保留根号）
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质： ．
（3）当﹣1＜4x时，x的取值范围为 ．
35．（2022秋•高新区校级期末）问题，我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【探索】
（1）该函数的自变量的取值范围为 ；
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值；
②描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整．
【应用】
观察你所画的图象，解答下列问题：
（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
36．（2022秋•广平县期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点A（2，2），B（m，1）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上；
（1）m＝ ；
（2）已知b＞0，过点C（﹣4b，0）、D点（0，b）作直线交双曲线y＝（x＞0）于E点，连接OB，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b的取值范围．
37．（2020秋•荆州期末）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题；
①当x＜0时，y随x增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数的图象是由函数的图象向 平移 个单位长度而得到；
③函数的图象关于点 成中心对称；（填点的坐标）
（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数的图象上的两点，且x1+x2＝0，试求y1+y2+3的值．
38．（2022•襄城区模拟）探究函数y＝的图象与性质并解决问题．
小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．则m的值为 ．
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
（4）获得性质，解决问题：通过观察、分析、证明，可知函数y＝的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ．
39．（2021秋•威县期末）如图，矩形ABCD的AB边长为8，点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（﹣1，0），E点是DC的中点，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点E，与AB边交于F点．
（1）求k的值；
（2）求F点坐标；
（3）连接矩形ABCD两对边AD与BC的中点M、N，设线段MN与反比例函数图象交于点P，将线段MN沿x轴向右平移n个单位，若MP＜NP，求n的取值范围．
40．（2022•南京模拟）阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，
①若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
②若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．
证明：任取x1＜x2，且x1＞0，x2＞0．
则．∵x1＜x2且x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，．∴（x1+x2）（x1﹣|x2）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）＝x2（x＞0）是增函数．根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，…f（10）＝ ；
（2）猜想是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
x
…

﹣2
﹣1
1
2
4
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4

1
…
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
1
…
x
……
﹣7
﹣5
﹣3
﹣1
0
2
3
5
7
9
……
y
……
﹣1
﹣2
﹣4
﹣8
8
4
2
1
……
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
2
3
4
5
…
y
…
﹣1
﹣2
a
…
4
2
b
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
1
2
1
0
1
2
…
x
…
﹣3
﹣1
0
2
3
5
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4
2
1
…
x
…
﹣1
0
1
1.5
2.5
3
4
5
…
y
…
﹣
﹣

﹣1
﹣1
﹣2
﹣

…
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
7
…
…
m
﹣2
2
6
3
1
n
﹣
﹣
﹣
﹣
…
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣4
4
2
1
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
4
3
2
m
2
3
4
…
序号
函数图象的特征
函数变化规律
示例1
在直线x＝1右侧，函数图象是呈上升状态
当x＞1时，y随x的增大而增大
示例2
函数预想经过点
当x＝2时，y＝2
①
函数图象的最低点是（1，2）

②
在直线x＝1左侧，函数图象呈下降状态

x
…
﹣2
﹣1
0
n
2
3
4
…
y
…
﹣
m
﹣1
﹣2
2
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
…
y
…
﹣0.5
﹣1
﹣2
﹣5
7
4
3
2.5
…
x
…
﹣6
﹣2
1
0
3
4
6
10
…
y
…
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